(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第5講 計數(shù)原理與二項式定理學(xué)案 理 新人教A版
《(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第5講 計數(shù)原理與二項式定理學(xué)案 理 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第5講 計數(shù)原理與二項式定理學(xué)案 理 新人教A版(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講計數(shù)原理與二項式定理兩個計數(shù)原理考法全練1甲、乙兩人都計劃在國慶節(jié)的七天假期中,到東亞文化之都泉州“二日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有()A16種 B18種C20種 D24種解析:選C任意相鄰兩天組合在一起,一共有6種情況:,.若甲選或,則乙各有4種選擇,若甲選或或或,則乙各有3種選擇,故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有244320(種)2如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275),那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A240 B204C729 D920解析:選A分8類,當(dāng)中間數(shù)為2時,有122(個);當(dāng)
2、中間數(shù)為3時,有236(個);當(dāng)中間數(shù)為4時,有3412(個);當(dāng)中間數(shù)為5時,有4520(個);當(dāng)中間數(shù)為6時,有5630(個);當(dāng)中間數(shù)為7時,有6742(個);當(dāng)中間數(shù)為8時,有7856(個);當(dāng)中間數(shù)為9時,有8972(個)故共有26122030425672240(個)3某社區(qū)新建了一個休閑小公園,幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域,如圖社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域,要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉的顏色不能相同,則不同種植方法的種數(shù)為()A96 B114C168 D240解析:選C先在a中種植,有4種不同方法,再在b中種植,有3種不同
3、方法,再在c中種植,若c與b同色,則d有3種不同方法,若c與b不同色,c有2種不同方法,d有2種不同方法,再在e中種植,有2種不同方法,所以共有4313243222168(種),故選C4用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù),這樣的四位數(shù)有_個解析:當(dāng)千位上的數(shù)字為4時,滿足條件的四位數(shù)有A24(個);當(dāng)千位上的數(shù)字為3時,滿足條件的四位數(shù)有A24(個)由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有242448(個)答案:485將3張不同的奧運會門票分給10名同學(xué)中的3人,每人1張,則不同分法的種數(shù)是_解析:按分步來完成此事第1張有10種分法,第2張有9種分法,第3張有
4、8種分法,故共有1098720種分法答案:7206在學(xué)校舉行的田徑運動會上,8名男運動員參加100米決賽,其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上,則安排這8名運動員比賽的方式共有_種解析:分兩步安排這8名運動員第一步,安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排,所以安排方式有43224(種);第二步,安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排,所以安排方式有54321120(種)所以安排這8名運動員的方式共有241202 880(種)答案:2 880應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的方法(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時,一般
5、先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理(2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化 排列、組合的應(yīng)用考法全練1(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個班級中,要求每個班級至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為()A6 B12C24 D36解析:選B由題意可知,可以分兩類,第一類,甲與另一人一同被分到A班,分法有CA6(種);第二類,甲單獨被分到A班,分法有CA6(種)所以共有12種,故選B2(一題多解)(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責(zé)人座談,其中甲企業(yè)有2人到會,其余5家企業(yè)
6、各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A15 B30C35 D42解析:選B法一:甲企業(yè)有2人,其余5家企業(yè)各有1人,共有7人,所以從7人中任選3人共有C種情況,發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有CC種,所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有CCC30(種),故選B法二:發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的情況有CC20(種);發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的情況有C10(種),所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有201030(種),故選B3(2019合肥市第二次質(zhì)量檢測)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行A,B,C,D,E,F(xiàn)六
7、項不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B,C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A36種 B44種C48種 D54種解析:選B由題意知任務(wù)A,E必須相鄰,且只能安排為AE,由此分三類完成,(1)當(dāng)AE排第一、二位置時,用表示其他任務(wù),則順序為AE,余下四項任務(wù),先全排D,F(xiàn)兩項任務(wù),然后將任務(wù)B,C插入D,F(xiàn)兩項任務(wù)形成的三個空隙中,有AA種方法(2)當(dāng)AE排第二、三位置時,順序為AE,余下四項任務(wù)又分為兩類:B,C兩項任務(wù)中一項排在第一位置,剩余三項任務(wù)排在后三個位置,有AA種方法;D,F(xiàn)兩項任務(wù)中一項排第一位置,剩余三項任務(wù)排在后三個位置,且任
8、務(wù)B,C不相鄰,有AA種方法(3)當(dāng)AE排第三、四位置時,順序為AE,第一、二位置必須分別排來自B,C和D,F(xiàn)中的一個,余下兩項任務(wù)排在后兩個位置,有CCAA種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有AAAAAACCAA44(種),故選B4(2019成都市第二次診斷性檢測)用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中大于420 789的正整數(shù)個數(shù)為()A479 B480C455 D456解析:選C當(dāng)首位為7,8,9時,六位數(shù)共有3A354321360(個);當(dāng)首位為4,第二位為7,8,9時,六位數(shù)共有3A3432172(個);當(dāng)首位為4,第二位為2,第三位為7,8,9時,六位
9、數(shù)共有3A332118(個);當(dāng)首位為4,第二位為2,第三位為0,第四位為8,9時,六位數(shù)共有2A2214(個);當(dāng)首位為4,第二位為2,第三位為0,第四位為7,第五位為9時,六位數(shù)共有1個所以大于420 789的正整數(shù)共有360721841455(個)5(一題多解)(2019長沙市統(tǒng)一模擬考試)為培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng),某校準備在高二年級開設(shè)A,B,C,D,E,F(xiàn),共6門選修課程,學(xué)校規(guī)定每個學(xué)生必須從這6門課程中選3門,且A,B兩門課程至少要選1門,則學(xué)生甲共有_種不同的選法解析:通解:根據(jù)題意,可分三類完成:(1)選A課程不選B課程,有C種不同的選法;(2)選B課程不選A課程,有C種不同的選
10、法;(3)同時選A和B課程,有C種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理,得CCC66416(種),故學(xué)生甲共有16種不同的選法優(yōu)解:從6門課程中選3門不同選法有C種,而A和B兩門課程都不選的選法有C種,則學(xué)生甲不同的選法共有CC20416(種)答案:166(2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)中國詩詞大會(第三季)亮點頗多,在“人生自有詩意”的主題下,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味若沁園春長沙、蜀道難、敕勒歌、游子吟、關(guān)山月、清平樂六盤山排在后六場,且蜀道難排在游子吟的前面,沁園春長沙與清平樂六盤山不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有_種(用數(shù)字作答)
11、解析:分兩步完成:(1)蜀道難、敕勒歌、游子吟、關(guān)山月進行全排有A種,若蜀道難排在游子吟的前面,則有A種;(2)沁園春長沙與清平樂六盤山插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中,插入法有A種由分步乘法計數(shù)原理,知滿足條件的排法有AA144(種)答案:144排列、組合應(yīng)用問題的8種常見解法(1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法(2)相鄰問題捆綁法(3)不相鄰問題插空法(4)定序問題縮倍法(5)多排問題一排法(6)“小集團”問題先整體后局部法(7)構(gòu)造模型法(8)正難則反,等價轉(zhuǎn)化法 二項式定理考法全練1.的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20C40 D80 解析:選CTr1
12、C(x2)5rC2rx103r,由103r4,得r2,所以x4的系數(shù)為C2240.2(2019武漢部分學(xué)校調(diào)研)若的展開式中含有常數(shù)項,則n的最小值等于()A8 B10C11 D12解析:選C的展開式的通項Tr1C(x4)nr(1)rCx,當(dāng)4nr0,即nr時展開式中存在常數(shù)項,所以n的最小值為11,選C3(2019四省八校雙教研聯(lián)考)二項式(1xx2)(1x)10展開式中x4的系數(shù)為()A120 B135C140 D100解析:選B(1x)10的展開式的通項Tr1C(x)r(1)rCxr,分別令r4,r3,r2,可得展開式中x4的系數(shù)為(1)4C(1)3C(1)2C135,故選B4(x2xy
13、)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A10 B20C30 D60解析:選C(x2xy)5(x2x)y5,含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C5若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5,則a12a23a34a45a5()A80 B120C180 D240解析:選D由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5兩邊求導(dǎo),可得15(3x1)4a12a2x3a3x25a5x4,令x1得,15(31)4a12a23a35a5,即a12a23a34a45a5240,故選D6(2019廣州市調(diào)研測試)已知(2x)4a0a1xa2x2
14、a3x3a4x4,則(a0a2a4)2(a1a3)2_解析:因為(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,所以取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3);取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3).相乘得(a0a2a4)2(a1a3)2(2)4(2)4()222416.答案:16對于“多項式乘二項式”型的二項式問題,通用的解法是系數(shù)配對法,即將多項式中的每一項xk的系數(shù)與后面二項式展開式中xrk的系數(shù)相乘,然后把所有這些滿足條件的情況相加,即得到xr項的系數(shù)提醒關(guān)注2個常失分點:(1)混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”概念,項的系數(shù)與a,b有關(guān),可正可負,二項式系數(shù)只與n有關(guān),恒為正(2
15、)注意“常數(shù)項”“有理項”“系數(shù)最大的項”等概念 一、選擇題1在某夏令營活動中,教官給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù)已知:食物投擲地點有遠、近兩處;由于Grace年齡尚小,所以要么不參與該項任務(wù),但此時另需一位小孩在大本營陪同,要么參與搜尋近處投擲點的食物;所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組,一組去遠處,一組去近處那么不同的搜尋方案有()A10種 B40種C70種 D80種解析:選B若Grace不參與任務(wù),則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有C種挑法,再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處,有C種挑法,最后剩下的2位小孩搜尋近處,因此一共有CC30種搜尋方案;若Grace參加任
16、務(wù),則其只能去近處,需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處,有C種挑法,剩下3位小孩去搜尋遠處,因此共有C10種搜尋方案綜上,一共有301040種搜尋方案,故選B2(2019合肥市第一次質(zhì)量檢測)若的展開式的常數(shù)項為60,則a的值為()A4 B4C2 D2解析:選D的展開式的通項為Tr1C(ax)6r(1)ra6rCx6r,令6r0,得r4,則(1)4a2C60,解得a2,故選D3(2019重慶市七校聯(lián)合考試)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15 B20C30 D35解析:選C由多項式乘法知,若求(1x)6展開式中x2的系數(shù),只需求(1x)6展開式中x2和x4的系數(shù)(1x)6展開式中含x2
17、和x4的項分別是Cx215x2和Cx415x4,所以(1x)6展開式中x2的系數(shù)是30.故選C4若4個人按原來站的位置重新站成一排,恰有1個人站在自己原來的位置,則不同的站法共有()A4種 B8種C12種 D24種解析:選B將4個人重排,恰有1個人站在自己原來的位置,有C種站法,剩下3人不站原來位置有2種站法,所以共有C28種站法,故選B5設(shè)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10,則a1等于()A80 B80C160 D240解析:選D因為(x23x2)5(x1)5(x2)5,所以二項展開式中含x項的系數(shù)為C(1)4C(2)5C(1)5C(2)416080240,故選D6(2019廣州
18、市綜合檢測(一)(2x3)(xa)5的展開式的各項系數(shù)和為32,則該展開式中x4的系數(shù)是()A5 B10C15 D20解析:選A在(2x3)(xa)5中,令x1,得展開式的各項系數(shù)和為(1a)532,解得a1,故(x1)5的展開式的通項Tr1Cx5r.當(dāng)r1時,得T2Cx45x4,當(dāng)r4時,得T5Cx5x,故(2x3)(x1)5的展開式中x4的系數(shù)為2555,選A7(2019柳州模擬)從1,2,3,10中選取三個不同的數(shù),使得其中至少有兩個數(shù)相鄰,則不同的選法種數(shù)是()A72 B70C66 D64解析:選D從1,2,3,10中選取三個不同的數(shù),恰好有兩個數(shù)相鄰,共有CCCC56種選法,三個數(shù)相
19、鄰共有C8種選法,故至少有兩個數(shù)相鄰共有56864種選法,故選D8(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師),其中甲和乙不能都去,甲和丙都去或都不去,則不同的選派方案有()A900種 B600種C300種 D150種解析:選B第一類,甲去,則丙一定去,乙一定不去,再從剩余的5名教師中選2名,不同的選派方案有CA240(種);第二類,甲不去,則丙一定不去,乙可能去也可能不去,從乙和剩余的5名教師中選4名,不同的選派方案有CA360(種)所以不同的選派方案共有240360600(種)故選B9已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9,則
20、(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值為()A39 B310C311 D312解析:選D對(x2)9a0a1xa2x2a9x9兩邊同時求導(dǎo),得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8,令x1,得a12a23a38a89a9310,令x1,得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312,故選D10現(xiàn)有紅色、藍色和白色的運動鞋各一雙,把三雙鞋排列在鞋架上,僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是()A72 B144C240 D288解析:選D
21、首先,選一雙運動鞋,捆綁在一起看作一個整體,有CA6種選法,則現(xiàn)在共有5個位置,若這雙鞋在左數(shù)第一個位置,共有CAA8種情況,若這雙鞋在左數(shù)第二個位置,則共有CC8種情況,若這雙鞋在中間位置,則共有AAAA16種情況,左數(shù)第四個位置和第二個位置的情況一樣,第五個位置和第一個位置的情況一樣所以把三雙鞋排列在鞋架上,僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是6(282816)288.故選D11(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目,考慮整體效果,對節(jié)目演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前三位,且節(jié)目丙、丁必須排在一起,則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()A120種 B156種C188種 D240種解析:選A
22、法一:記演出順序為16號,對丙、丁的排序進行分類,丙、丁占1和2號,2和3號,3和4號,4和5號,5和6號,其排法分別為AA,AA,CAA,CAA,CAA,故總編排方案有AAAACAACAACAA120(種)法二:記演出順序為16號,按甲的編排進行分類,當(dāng)甲在1號位置時,丙、丁相鄰的情況有4種,則有CAA48(種);當(dāng)甲在2號位置時,丙、丁相鄰的情況有3種,共有CAA36(種);當(dāng)甲在3號位置時,丙、丁相鄰的情況有3種,共有CAA36(種)所以編排方案共有483636120(種)12(2019河北省九校第二次聯(lián)考)第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦,為宣傳地方特色,某電視臺派出3名男記
23、者和2名女記者到民間進行采訪報導(dǎo)工作過程中的任務(wù)劃分為:“負重扛機”“對象采訪”“文稿編寫”“編制剪輯”四項工作,每項工作至少一人參加,但2名女記者不參加“負重扛機”工作,則不同的安排方案數(shù)共有()A150 B126C90 D54解析:選B根據(jù)題意,“負重扛機”可由1名男記者或2名男記者參加,當(dāng)由1名男記者參加“負重扛機”工作時,有C種方法,剩余2男2女記者可分為3組參加其余三項工作,共有A種方法,故由1名男記者參加“負重扛機”工作時,有CA種方法;當(dāng)由2名男記者參加“負重扛機”工作時,剩余1男2女3名記者各參加一項工作,有CA種方法故滿足題意的不同安排方案數(shù)共有CACA10818126.故選
24、B二、填空題13在的展開式中,x3的系數(shù)是_解析:的展開式的通項Tr1C(4)5r,r0,1,2,3,4,5,的展開式的通項Tk1Cxrk4kCxr2k,k0,1,r.令r2k3,當(dāng)k0時,r3;當(dāng)k1時,r5.所以x3的系數(shù)為40C(4)53C4C(4)0C180.答案:180.14(2019福州市質(zhì)量檢測)(1ax)2(1x)5的展開式中,所有x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為64,則正實數(shù)a的值為_解析:設(shè)(1ax)2(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7,令x1得0a0a1a2a3a4a5a6a7,令x1得(1a)225a0a1a2a3a4a5a6a7,得:(1a)
25、2252(a1a3a5a7),又a1a3a5a764,所以(1a)225128,解得a3或a1(舍)答案:315(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為_解析:法一:從16張不同的卡片中任取3張,不同取法的種數(shù)為C,其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為CC,其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為CC,所以3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為CCCCC472.法二:若沒有紅色卡片,則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張,若都不同色,則不同取法的種數(shù)為CCC64
26、,若2張顏色相同,則不同取法的種數(shù)為CCCC144.若紅色卡片有1張,則剩余2張不同色時,不同取法的種數(shù)為CCCC192,剩余2張同色時,不同取法的種數(shù)為CCC72,所以不同的取法共有6414419272472(種)答案:47216紅海行動是一部現(xiàn)代化海軍題材影片,該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事撤僑過程中,海軍艦長要求隊員們依次完成A,B,C,D,E,F(xiàn)六項任務(wù),并對任務(wù)的順序提出了如下要求,重點任務(wù)A必須排在前三位,且任務(wù)E,F(xiàn)必須排在一起,則這六項任務(wù)完成順序的不同安排方案共有_種解析:因為任務(wù)A必須排在前三位,任務(wù)E,F(xiàn)必須排在一起,所以可把A的位置固定,E,F(xiàn)捆綁后分類討論當(dāng)A在第一位時,有AA48(種);當(dāng)A在第二位時,第一位只能是B,C,D中的一個,E,F(xiàn)只能在A的后面,故有CAA36(種);當(dāng)A在第三位時,分兩種情況:E,F(xiàn)在A之前,此時應(yīng)有AA種,E,F(xiàn)在A之后,此時應(yīng)有AAA種,故而A在第三位時有AAAAA36(種)綜上,共有483636120種不同的安排方案答案:120- 11 -
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