八年級數(shù)學暑假專題輔導 函數(shù)解題中的數(shù)學思想應用

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1、八年級數(shù)學暑假專題輔導 函數(shù)解題中的數(shù)學思想應用 重點、難點 數(shù)學思想的應用 【典型例題】 一. 方程思想的應用 例1. 已知點P（x，x+y）與點Q（y+5，x-7）關于x軸對稱，則點Q坐標為______。 分析：P點關于x軸對稱時，橫坐標不變，縱坐標相反 構(gòu)造方程組 解得： ∴Q點坐標為（4，-3） 例2. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，求m的值。 分析：一次函數(shù)條件：x的次數(shù)為1 即： 得： 解得： 而當 此時圖像經(jīng)過一、三、四象限

2、 不符合題意，舍去 故m=3 例3. 已知：在△ABC中，，P為AB上一動點（P不與A、B重合），過點P作PE//BC交AC于E，連結(jié)BE，設AP=x，△BPE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系，并求自變量x的取值范圍。 分析： ∴知道PE的長、EC的長是關鍵，而PE、EC與三角形相似有關。 所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關系。 即：用含x的式子表示PE、EC，進而得到函數(shù)關系式。 解： 二. 數(shù)形結(jié)合思想的應用 例1. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第_______象限。

3、 分析：充當中的k，此時大于0 充當中的b，此時小于0 則依據(jù)直線，當?shù)膱D象示意圖：可知圖像經(jīng)過一、三、四象限。 例2. 已知反比例函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的三個點，若，試判斷的大小關系。 分析：反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限 只需將在圖像上找到相對應的點，則可確定相應的函數(shù)值。從而根據(jù)位置判斷大小。 y軸上，越往上數(shù)越大，所以。 例3. 如圖所示，一次函數(shù)的圖像過第一、三、四象限，且與雙曲線的圖像交于A、B兩點，與y軸交于C，是終邊上的一點，若，原點O到A點的距離為 （1）求A點坐標； （

4、2）求反比例函數(shù)的解析式； （3）若，求一次函數(shù)的解析式。 分析：此題關鍵是在平面直角坐標系中借助及，在Rt△中求A點坐標。從而進一步借助到y(tǒng)軸距離等于，求出b，確定一次函數(shù)的解析式。 解：（1）設點A坐標為（a，b），且 過A作軸交x軸于M 則 在 所以點A坐標為（5，1） （2）此反比例函數(shù)解析式為 （3），且（OC=|b|，C在x軸下方） ∴一次函數(shù)解析式為： 又∵直線過點 ∴一次函數(shù)解析式為 三. 分類討論思想的應用

5、 例1. 已知點N在x軸下方，且到x軸距離為2，到y(tǒng)軸距離為，則點N的坐標為_________。 分析：設點N坐標為（x，y） 由題意得： 則 又∵點N在x軸下方，y<0 例2. 已知直線與直角坐標系的兩坐標軸圍成的三角形的面積為9，則直線解析式為__________。 分析：設直線與x軸交點為A，與y軸交點為B 則 ∴直線解析式為 例3. 已知點A為平面直角坐標系內(nèi)第四象限夾角平分線上一點，且OA=5，試在坐標軸上找一點C，使得△AOC為等腰三角形，并寫出C點坐標。

6、 分析：首先應分別在x軸和y軸上找點C 其次，△AOC應分類找：（1）OA為腰；（2）OA為底 當C點在x軸上時 當C點在y軸上時 四. 轉(zhuǎn)化思想的應用 例1. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過二、三、四象限，求k的取值范圍。 分析：直線經(jīng)過二、三、四象限 則 得： 所以 例2. 待定系數(shù)解題（轉(zhuǎn)化為方程組） 如：已知與成正比例，其中m，n是常數(shù)，當時，；當時，，求y與x的函數(shù)關系。 分析：設 當時，得： 當時，得： 解方程組

7、 解得： 所求函數(shù)關系式為： 例3. 如圖所示，直線與y軸交于點A（0，3）與x軸交于點B，正方形OPQR的兩邊在坐標軸上，Q在直線AB上，OP：PB=1：2，求直線的解析式。 分析：求直線AB解析式，需要知道A、B坐標。而A點（0，3），則OA=3，求B點即可，即求OB長，此問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。 又知PQRO為正方形，設正方形邊長為x，則 ∴B點坐標為（6，0） ∴直線解析式為 五. 幾何解題思想的綜合應用 例：已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+1，

8、b+k）兩點。 （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）如圖所示，已知點A是上述兩個函數(shù)的圖象在第一象限的交點，求點A的坐標； （3）利用（2）的結(jié)果，回答：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由。 分析：（1）由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點（a，b），（a+1，b+k），代入消去a，b，可得k=2，進而可確定反比例函數(shù)的關系式。 （2）將聯(lián)立成方程組，易求出點A的坐標； （3）應根據(jù)OA為腰和底進行分類，結(jié)合（2）探求出點P的存在性。 解：（1）依題意可得：

9、 兩式相減，得 所以反比例函數(shù)的解析式為 （2）由，得， 經(jīng)檢驗都是原方程組的解。 因為A點在第一象限，所以A點坐標為（1，1） （3），OA與x軸所夾銳角為45° 如圖下所示①，當OA為腰時，由OA=OP，得 由，得 ②當OA為底時，得 所以這樣的點有4個，分別是、 【模擬試題】（答題時間：30分鐘） 1. 反比例函數(shù)的圖象上兩點，，當時，有，則m的取值范圍是_____________。 2. 已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第___________象

10、限。 3. 直線與y軸的交點在x軸上方，且y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是__________。 4. 三角形三邊長為3cm，5cm，xcm，則三角形的周長為與的函數(shù)關系式是______________，自變量x的取值范圍是___________。 5. 當m取何值時，函數(shù)是x的一次函數(shù)？它是否是正比例函數(shù)？ 6. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，求m的取值范圍。 7. 直線和直線的交點在第__________象限。 8. 兩個一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點A，分別交x軸于點B、C，如圖所示，若已知|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且△AB

11、C的面積是16，求兩函數(shù)的解析式。 9. 在平面直角坐標系中，已知點在第二象限，且m為整數(shù)，則過點A的反比例函數(shù)的解析式為________________。 10. 如果一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為10，則此一次函數(shù)為_________________。 11. 已知點A是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的交點 （1）求點A的坐標； （2）如果直線經(jīng)過點A且與x軸交于點C，求b及點C的坐標。 12. 如圖所示，在第四象限內(nèi)的矩形OABC，兩邊在坐標軸上，一個頂點在一次函數(shù)的圖象上，當點A從左向右移動時，矩形的周長與面積也隨之發(fā)生

12、變化，設線段OA長m，矩形的周長為，面積為s。 （1）試分別寫出與m的函數(shù)關系； （2）能否求出當m取何值時，矩形的周長最大？為什么？ （3）你能否估計矩形的面積是否有最大值，簡單說一下你的想法？ 【試題答案】 1. 2. 三 3. 4. 5. 解：， 則 ，它是一次函數(shù)也是正比例函數(shù)。 6. 解：， 7. 三 8. 解：設 ∴直線AB解析式為，直線AC解析式為 9. 10. 11. 解：（1），解得：（不合題意，舍去） （2）經(jīng)過點 則 12. 解：（1）①由題意得， ② （2）周長的一次函數(shù)，且的增大而增大。是否有最大值，關鍵在于m的取值范圍。與x軸交點為（6，0），所以，m越接近6，周長越大。但不能等于6，所以周長無最大值。 （3）當點A接近于（0，0）時，面積接近于0，隨著點A逐漸右移，面積逐漸增大。而當點A接近于（6，0），面積也接近于0，隨著點A位置變化，可知面積先隨m的增大而增大，到一定程度時，開始隨x的增大而減小，估計在m取某一值時，面積為最大值。