（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 第1節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 理 新人教B版

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1、 第1節(jié)　合情推理與演繹推理 最新考綱　1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理；3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 知 識 梳 理 1.合情推理 類型 定義 特點(diǎn) 歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的全部對象都具有這種性質(zhì)的推理 由部分到整體、由個別到一般 類比推理 根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理 由特殊到特殊 2.演繹推理 (1) 定義

2、：由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過程，通常叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(　　) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(　　) (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(　　) (4)在演繹

3、推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.(　　) 解析　(1)類比推理的結(jié)論不一定正確. (3)平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適. (4)演繹推理是在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.數(shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　) A.28 B.32 C.33 D.27 解析　5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x－20＝12，所以x＝32. 答案　B 3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1

4、)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確. 答案　C 4.(2018·咸陽模擬)觀察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n(n∈N+)個不等式是______________________. 解析　根據(jù)所給不等式可得第n個不等式是＋＋…＋<. 答案?。? 5.(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N+)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn

5、}中，若b9＝1，則b1b2b3…bn＝________. 答案　b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N+) 考點(diǎn)一　歸納推理 【例1】 (1)(2018·煙臺一模)所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù))，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此規(guī)律，8 128可表示為__________. (2)(2018·濟(jì)寧模擬)已知ai>0(i＝1，2，3，…，n)，觀察

6、下列不等式： ≥； ≥； ≥； …… 照此規(guī)律，當(dāng)n∈N+，n≥2時，≥________. 解析　(1)由題意，如果2n－1是質(zhì)數(shù)，則2n－1(2n－1)是完全數(shù)，例如：6＝21＋22＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，…；若2n－1(2n－1)＝8 128，解得n＝7，所以8 128可表示為26(27－1)＝26＋27＋…＋212. (2)根據(jù)題意有≥(n∈N+，n≥2). 答案　(1)26＋27＋…＋212　(2) 規(guī)律方法　歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解. (2

7、)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解. (3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可. (4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡? 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·鄭州一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，知這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{an}，那么a10的值為(　　) A.45 B.55 C.65 D.6

8、6 (2)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù)　　　　　N(n，3)＝n2＋n， 正方形數(shù) N(n，4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n，5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n，6)＝2n2－n …… 可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計算N(10，24)＝____________. 解析　(1)第1個圖中，小石子有1個， 第2個圖中，小石子有3＝1＋2個， 第3個圖中，小石子有6＝1＋2＋3個， 第4個圖中，小

9、石子有10＝1＋2＋3＋4個， …… 故第10個圖中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55個，即a10＝55. (2)三角形數(shù)　N(n，3)＝n2＋n＝， 正方形數(shù)　N(n，4)＝n2＝， 五邊形數(shù)　N(n，5)＝n2－n＝， 六邊形數(shù)　N(n，6)＝2n2－n＝， k邊形數(shù)　N(n，k)＝， 所以N(10，24)＝＝＝1 000. 答案　(1)B　(2)1 000 考點(diǎn)二　類比推理 【例2】 (1)(一題多解)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A.d

10、n＝ B.dn＝ C.dn＝ D.dn＝ (2)(2018·湖北八校聯(lián)考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子.他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.設(shè)由橢圓＋＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖)，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于________. 解析　(1)法一　從商類比開方，從和類比積，則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故d

11、n的表達(dá)式為dn＝. 法二　若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}為等比數(shù)列，故選D. (2)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2＝ πb2a. 答案　(1)D　(2)πb2a 規(guī)律方法　1.進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想

12、進(jìn)行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. 2.類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等. 【訓(xùn)練2】 (1)(2017·安徽江南十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定出來x＝2，類似地不難得到1＋＝(　　) A. B. C. D. (2)如圖(1)所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連

13、接AO，BO，CO，并延長交對邊于A1，B1，C1，則＋＋＝1，類比猜想：點(diǎn)O是空間四面體VBCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點(diǎn)V1，B1，C1，D1，則有________________. 解析　(1)令1＋＝x(x>0)，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故選C. (2)利用類比推理，猜想應(yīng)有＋＋＋＝1. 用“體積法”證明如下： ＋＋＋＝＋＋＋＝＝1. 答案　(1)C　(2)＋＋＋＝1 考點(diǎn)三　演繹推理 【例3】 數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝S

14、n(n∈N+).證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. 證明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2·，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問

15、的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 規(guī)律方法　演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略. 【訓(xùn)練3】 (2017·全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則(　　) A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績 C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績 解析　由甲說：“我還是不知道

16、我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”.乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績、丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績. 答案　D 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1.觀察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，則式子3?5是第(　　) A.22項 B.23項 C.24項 D.25項 解析　兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和

17、為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5為和為8的第3項，所以為第24項，故選C. 答案　C 2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(　　) A.使用了歸納推理 B.使用了類比推理 C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤 D.使用了“三段論”，但小前提錯誤 解析　由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤. 答案　C 3.觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)

18、，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x) 解析　由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x). 答案　D 4.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A.28 B.76 C.123 D.199 解析　觀察規(guī)律，歸納推理. 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 答案　C 5.老師帶甲

19、、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下： 甲說：“我們四人都沒考好”； 乙說：“我們四人中有人考的好”； 丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”； 丁說：“我沒考好”. 結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則四名學(xué)生中說對的兩人是(　　) A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 解析　甲與乙的關(guān)系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確. 答案　D 6.(2018·鄭州調(diào)研)平面內(nèi)凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，以此類推

20、，凸13邊形對角線的條數(shù)為(　　) A.42 B.65 C.143 D.169 解析　可以通過列表歸納分析得到. 凸多邊形 4 5 6 7 8 … 對角線條數(shù) 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋6 … ∴凸13邊形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65條對角線. 答案　B 7.(2018·青島模擬)如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于(　　) A. B. C.－1 D.＋1 解析　設(shè)“黃金雙曲線”方程為－＝1

21、， 則B(0，b)，F(xiàn)(－c，0)，A(a，0). 在“黃金雙曲線”中，因為⊥， 所以·＝0. 又＝(c，b)，＝(－a，b). 所以b2＝ac. 又b2＝c2－a2， 所以c2－a2＝ac. 在等號兩邊同除以a2，得e＝. 答案　A 8.如圖，有一個六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個點(diǎn)，第3層每邊有3個點(diǎn)，…，依此類推，如果一個六邊形點(diǎn)陣共有169個點(diǎn)，那么它的層數(shù)為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　由題意知，第1層的點(diǎn)數(shù)為1，第2層的點(diǎn)數(shù)為6，第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6，第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6，第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6，…，第

22、n(n≥2，n∈N+)層的點(diǎn)數(shù)為6(n－1).設(shè)一個點(diǎn)陣有n(n≥2，n∈N+)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0， 所以n＝8，故共有8層. 答案　C 二、填空題 9.仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●…，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個○和●中，●的個數(shù)是________. 解析　進(jìn)行分組 ○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…， 則前n

23、組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 答案　14 10.觀察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為________. 解析　觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個等式為13＋23＋…＋n3＝＝. 答案　13＋23＋…＋n3＝ 11.(2018·重慶模擬)在等差數(shù)列{an}中，若公差為d，且a1＝d，那么有am＋an＝ am＋n，類比上述性質(zhì)，寫出在等比數(shù)列{an}中類似的性質(zhì)：_______________________

24、_____________________________________________. 解析　等差數(shù)列中兩項之和類比等比數(shù)列中兩項之積，故在等比數(shù)列中，類似的性質(zhì)是“在等比數(shù)列{an}中，若公比為q，且a1＝q，則am·an＝am＋n.” 答案　在等比數(shù)列{an}中，若公比為q，且a1＝q，則am·an＝am＋n 12.已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論＞a成立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x

25、(x∈(0，π))的圖象上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有________成立. 解析　對于函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)A， B，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論＞a成立；對于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方， 類比可知應(yīng)有＜sin 成立. 答案?。約in 能力提升題組 (建議用時：15分鐘) 13.(2018·包頭調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2

26、 016a2 017>1，<0，下列結(jié)論中正確的是(　　) A.q<0 B.a2 016a2 018－1>0 C.T2 016是數(shù)列{Tn}中的最大項 D.S2 016>S2 017 解析　由a1>1，a2 016a2 017>1得q>0，由<0，a1>1得a2 016>1，a2 017<1，0

27、，…，從點(diǎn)O到點(diǎn)A1的回形線為第1圈(長為7)，從點(diǎn)A1到點(diǎn)A2的回形線為第2圈，從點(diǎn)A2到點(diǎn)A3的回形線為第3圈…，依此類推，第8圈的長為________. 解析　第1圈的長為2(1＋2)＋1＝7， 第2圈的長為2(3＋4)＋1＝15， 第3圈的長為2(5＋6)＋1＝23， 則第n圈的長為2[(2n－1)＋2n]＋1＝8n－1， 當(dāng)n＝8時，第8圈的長度為8×8－1＝63. 答案　63 15.若P0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a>b>0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是＋＝1，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線

28、－＝1(a>0，b>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________. 解析　設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則P1，P2的切線方程分別是－＝1，－＝1. 因為P0(x0，y0)在這兩條切線上， 故有－＝1，－＝1， 這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線－＝1上， 故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是－＝1. 答案?。? 16.(2017·北京卷)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件： (1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； (2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； (3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為________. ②該小組人數(shù)的最小值為________. 解析　設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x，女學(xué)生人數(shù)為y，教師人數(shù)為z，由已知得且x，y，z均為正整數(shù). ①當(dāng)z＝4時，8>x>y>4，∴x的最大值為7，y的最大值為6，故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6. ②x>y>z>，當(dāng)x＝3時，條件不成立，當(dāng)x＝4時，條件不成立，當(dāng)x＝5時，5>y>z>，此時z＝3，y＝4. ∴該小組人數(shù)的最小值為12. 答案?、?　②12 13