（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第2講 參數(shù)方程學案

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1、 第2講　參數(shù)方程 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　參數(shù)方程的概念 　 在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)(*)，如果對于t的每一個允許值，由方程組(*)所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參數(shù)． 考點2　直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程 [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)參數(shù)方程(t≥1)表示的曲線為直線．(　　) (2)直線y＝x與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)為1.(　　) (3)直線(t為參數(shù))的傾

2、斜角α為30°.(　　) (4)參數(shù)方程表示的曲線為橢圓．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為3ρcosα－4ρsinα－9＝0，則直線與圓的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相離 C．直線過圓心 D．相交但直線不過圓心 答案　D 解析　圓的普通方程為x2＋y2＝4，直線的直角坐標方程為3x－4y－9＝0.圓心(0,0)到直線的距離d＝＝<2，所以直線與圓相交．顯然直線不過原點(0,0)，故選D. 3．[2018·安徽模擬]以平面直角坐標系的原點為極

3、點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由題意得直線l的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.則圓心到直線的距離d＝，故弦長＝2＝2. 4．[2018·湖南模擬]在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為________． 答案　3 解析　由題意知在直角坐標系下，直線l的方程為y＝x－a，橢圓的方程為＋＝1，所以其右頂點為(3,0

4、)．由題意知0＝3－a，所以a＝3. 5．[2018·天津模擬]已知拋物線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標是3，則p＝________. 答案　2 解析　由參數(shù)方程 (t為參數(shù))，p>0，可得曲線方程為y2＝2px(p>0)． ∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(拋物線定義)， ∴△MEF為等邊三角形， E的橫坐標為－，M的橫坐標為3. ∴EM中點的橫坐標為，與F的橫坐標相同． ∴＝，∴p＝2. 6．[2015·湖北高考]在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的

5、正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 答案　2 解析　因為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t得y2－x2＝4.由解得或不妨令A，B，由兩點間的距離公式得|AB|＝＝2. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　參數(shù)方程與普通方程的互化 例　1　[2017·全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上

6、的點到l距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝ ＝， 當a≥－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 觸類旁通 將參數(shù)方程化為普通方程的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?/p>

7、、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解． 【變式訓練1】　[2018·湖南長郡中學模擬]已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值． 解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1， C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標原

8、點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當t＝時，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M， 又C3的普通方程為x－2y－7＝0，則M到C3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝·|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5sin(θ－φ)＋13|， 所以d的最小值為. 考向　直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程的互化 例　2　[2018·寶雞模擬]在平面直角坐標系xOy中，已知C1：(θ為參數(shù))，將C1上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和2倍后得到曲線C2.以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，

9、已知直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4. (1)試寫出曲線C1的極坐標方程與曲線C2的參數(shù)方程； (2)在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求此最小值． 解　(1)把C1：(θ為參數(shù))，消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，故曲線C1的極坐標方程為ρ＝1. 再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程為2＋2＝1，即＋＝1.故曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，即x＋y－4＝0，設(shè)點P(cosθ，2sinθ)，則點P到直線的距離為 d＝＝， 故當sin＝1時，d取得最小值，此時，θ＝2kπ＋(k∈Z)，點P(1，)

10、，故曲線C2上有一點P(1，)滿足到直線l的距離的最小值為－. 觸類旁通 參數(shù)方程和直角坐標方程及 極坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化 (1)把C1消去參數(shù)化為普通方程為x2＋y2＝1，再化為極坐標方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程，再化為參數(shù)方程． (2)先求得直線l的直角坐標方程，設(shè)點P(cosθ，2sinθ)，求得點P到直線的距離為d＝，故當sin＝1時，即θ＝2kπ＋，k∈Z時，點P到直線l的距離最小，從而求得P的坐標以及此最小值． 【變式訓練2】　[2018·宜春模擬]在直角坐標系xOy中，圓C1和C2的參數(shù)方程分別是(φ為參數(shù))和(φ為參數(shù))，以O(shè)為極點，

11、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求圓C1和C2的極坐標方程； (2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點為O、P，與圓C2的交點為O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值． 解　(1)圓C1(φ為參數(shù))， 轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4， 即x2＋y2－4x＝0， 轉(zhuǎn)化成極坐標方程為ρ2＝4ρcosθ， 即ρ＝4cosθ 圓C2(φ為參數(shù))， 轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0 轉(zhuǎn)化成極坐標方程為ρ2＝2ρsinθ， 即ρ＝2sinθ. (2)射線OM：θ＝α與圓C1的交點為O、P，與圓C2的交點為O、Q， 設(shè)P，Q對應(yīng)的

12、極徑分別為ρ1，ρ2，則|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4|sin2α|. ∵(|sin2α|)max＝1，∴|OP|·|OQ|的最大值為4. 考向　直線的參數(shù)方程 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例　3　[2018·泉州模擬]已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)設(shè)點P的直角坐標為(1,2)，直線l與曲線C的交點為A，B，試求|AB|及|PA|·|PB|的值

13、． 解　(1)直線l的普通方程為x＋y－3＝0. ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)． (2)直線l的參數(shù)方程可化為(t′是參數(shù))， 把直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2－4x－4y＝0得，t′2＋t′－7＝0. 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′，則t1′＋t2′＝－，t1′t2′＝－7，點P(1,2)顯然在直線l上，故|AB|＝|t1′－t2′|＝＝，故|PA|·|PB|＝|t1′t2′|＝7. 觸類旁通 直線的參數(shù)方程的標準形式 過定點P0

14、(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)． 【變式訓練3】　[2018·哈爾濱模擬]在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心C的極坐標為，半徑為2，直線l與圓C交于M，N兩點． (1)求圓C的極坐標方程； (2)當φ變化時，求弦長|MN|的取值范圍． 解　(1)由已知，得

15、圓心C的直角坐標為(1，)，半徑為2， ∴圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－)2＝4， 即x2＋y2－2x－2y＝0， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0， 故圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (2)由(1)知，圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x－2y＝0，將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程中得， (2＋tcosφ)2＋(＋tsinφ)2－2(2＋tcosφ)－2(＋tsinφ)＝0， 整理得，t2＋2tcosφ－3＝0， 設(shè)M，N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3， ∴|MN|＝|t1

16、－t2|＝ ＝， ∵φ∈，∴cosφ∈，∴|MN|∈[，4]． 考向　極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例　4　[2018·鹽城模擬]已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)直接寫出直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程； (2)過曲線C上任意一點P作與直線l夾角為的直線m，設(shè)直線m與直線l的交點為A，求|PA|的最大值． 解　(1)由(t為參數(shù))，得l的普通方程為2x＋y－6＝0，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直線l的極坐標方程為2ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，由曲線C的極坐標方程，知ρ2＋3

17、ρ2cos2θ＝4，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線l的普通方程為2x＋y－6＝0，設(shè)曲線C上任意一點P(cosα，2sinα)，點P到直線l的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， ∴當sin＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 觸類旁通 極坐標與參數(shù)方程綜合應(yīng)用中注意的問題 (1)在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩時，可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決．轉(zhuǎn)化時要注意兩坐標系的關(guān)系，注意ρ，θ的取值范圍，取值范圍不同對應(yīng)的曲線不同． (2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時，首先要弄清

18、參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次要認真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡途徑． 【變式訓練4】　在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)． (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程； (2)若A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點，求線段AB的最小值． 解　(1)由消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為x2＝4y. 將代入到ρcosθ＋2ρsinθ＋4＝0(ρ≥0)中，得x＋2y＋4＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為x＋2y＋4＝0.

19、 (2)解法一：因為A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點，所以線段AB的最小值，即與曲線C2平行的直線與曲線C1相切時，切點到曲線C2的距離，設(shè)切線的方程為x＋2y＋m＝0， 由消去y得x2＋2x＋2m＝0， 所以Δ＝22－4×1×2m＝0，得m＝， 因此切點為，其到直線C2的距離d＝＝，即|AB|min＝. 解法二：因為A是曲線C1上的任意一點，B是曲線C2上的任意一點， 所以可設(shè)點A(4t,4t2)，線段AB的最小值即點A到直線C2的距離d的最小值， 所以d＝＝， 當t＝－時，dmin＝，即|AB|min＝. 核心規(guī)律 參數(shù)方程與普通方程互化的方法

20、(1)參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法． (2)普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)(或x＝f(t))． 滿分策略 參數(shù)方程應(yīng)用中的注意事項 (1)參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，要注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． (2)普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一樣．一般地，常

21、選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(或縱坐標)． (3)常見曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)都有幾何意義，注意利用幾何意義常能夠給解題帶來方便. 板塊三　模擬演練·提能增分 [基礎(chǔ)能力達標] 1．[2017·江蘇高考]在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解　直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離d＝ ＝. 當s＝時，dmin＝. 因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上的點P到直線l的距

22、離取到最小值. 2．[2017·全國卷Ⅲ]在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)， 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標方程

23、為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 聯(lián)立得 cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)． 故tanθ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 3．[2018·安陽模擬]已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，圓C的直角坐標系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，射線OM的極坐標方程為θ＝. (1)求圓C和直線l的極坐標方程； (2)已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長

24、． 解　(1)∵圓C的直角坐標系方程為x2＋y2＋2x－2y＝0， ∴圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0， 化簡得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，即ρ＝2sin. ∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消參得：x－y＋1＝0， ∴直線l的極坐標方程為ρcosθ－ρsinθ＋1＝0， 即ρ＝. (2)當θ＝時，|OP|＝2sin＝2， 故點P的極坐標為， |OQ|＝＝＝， 故點Q的極坐標為， |PQ|＝|OP|－|OQ|＝2－＝ 故線段PQ的長為. 4．[2018·長沙模擬]以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位

25、．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<φ<π)，曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝4sinθ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當φ變化時，求|AB|的最小值． 解　(1)由(t為參數(shù)，0<φ<π)，消去t，得xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0， 所以直線l的普通方程為xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0. 由ρcos2θ＝4sinθ，得(ρcosθ)2＝4ρsinθ， 把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝4y， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＝4y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2＝4y，得t2si

26、n2φ－4tcosφ－4＝0， 設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝. 當φ＝時，|AB|取得最小值，最小值為4. 5．[2018·榆林模擬]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρcos＝－2. (1)設(shè)P是曲線C上的一個動點，當a＝2時，求點P到直線l的距離的最小值； (2)若曲線C上的所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍． 解　(1)由ρcos＝－2，得(ρcosθ－ρsinθ)＝－2， 化成直

27、角坐標方程，得(x－y)＝－2，即直線l的方程為x－y＋4＝0. 依題意，設(shè)P(2cost,2sint)，則點P到直線l的距離d＝＝. 當t＋＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋，k∈Z時，dmin＝2－2. 故點P到直線l的距離的最小值為2－2. (2)∵曲線C上的所有點均在直線l的右下方， ∴對?t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立， 即cos(t＋φ)>－4恒成立， ∴<4，又a>0，∴0

28、)若α＝，求線段AB的中點M的直角坐標； (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直線l的斜率． 解　(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是＋y2＝1. 當α＝時，直線l的方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0， 設(shè)直線l上的點A，B，M對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t0. 則t0＝＝－，所以點M的直角坐標為. (2)設(shè)直線l上的點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. 將代入曲線C的普通方程＋y2＝1， 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0， 因為|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7， 所以＝7，得tan2α＝. 結(jié)合Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0可知tanα＝. 所以直線l的斜率為. 12