2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第2節(jié) 古典概型教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　古典概型 [考綱傳真]　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 1．古典概型 具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)． (1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果； (2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 確定基本事件個(gè)數(shù)的三種方法 (1)列舉法：此法適合基本事件較少的古典概型． (2)列表法(坐標(biāo)法)：此法適合多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)． (3)樹狀圖法：適合有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個(gè)數(shù)的探求． [

2、基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件． (　　) (2)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同． (　　) (3)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改編)從1,2,3,4,5中隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的基本事件個(gè)數(shù)為(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7

3、C　[任取三個(gè)數(shù)和為偶數(shù)共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6個(gè)，選C．] 3．(教材改編)袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(　　) A． B． C． D． A　[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝.] 4．(教材改編)一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則在先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是________． 　[先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球

4、和3個(gè)黑球，因此概率為.] 5．現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人參加某項(xiàng)活動，則甲被選中的概率為________． 　[從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人參加某項(xiàng)活動，有甲乙，甲丙，乙丙三種可能，則甲被選中的概率為.] 古典概型的概率計(jì)算 【例1】　(1)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A．　　 B．　　　　C．　　　　D． (2)袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中1個(gè)白球，1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色

5、不同的概率為________． (1)D　(2)　[(1)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D． (2)設(shè)取出的2個(gè)球顏色不同為事件A，基本事件有：(白，紅)，(白，黃)，(白，黃)，(紅，黃)，(紅，黃)，(黃，黃)，共6種，事件A包含5種，故P(A)＝.] (3)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游． ①若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率； ②若從亞洲國家和歐洲國家中

6、各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率． [解]?、儆深}意知，從6個(gè)國家中任選兩個(gè)國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)． 所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)，則所求事件的概率為P＝＝. ②從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A

7、1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝. [拓展探究]　(1)本例(2)中，若將4個(gè)球改為顏色相同，標(biāo)號分別為1,2,3,4的四個(gè)小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率． (2)本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率． [解]　(1)基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(

8、3,4)，共4種， 所以P(A)＝＝. (2)基本事件為(白，白)，(白，紅)，(白，黃)，(白，黃)，(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黃)，(黃，黃)，(黃，白)，(黃，紅)，(黃，黃)，(黃，黃)，(黃，白)，(黃，紅)，(黃，黃)，共16種，其中顏色相同的有6種， 故所求概率P＝＝. [規(guī)律方法]　求古典概型概率的步驟 (1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； (2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m； (3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率． (1)(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，

9、只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A． B． C． D． (2)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)D　[(1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有

10、15種． ∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝. (2)如表所示 　　第二次 第一次　　 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種， 所以所求概率為＝.故選D．] 古典概型與統(tǒng)

11、計(jì)的綜合應(yīng)用 【例2】　空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄2018年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示． (1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共30天計(jì)算) (2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI＞100)的這些天中，隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo)，求該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率． [解]　

12、(1)從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為3，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為＝，估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×＝12. (2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為a1，a2，a3，a4；為中度污染的共1天，記了b；為重度污染的共1天，記為c.從中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15個(gè)． 其中空氣質(zhì)量等級恰好不同

13、的結(jié)果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9個(gè)． 所以該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率為＝. [規(guī)律方法]　求解古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯問題的思路 (1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉出需要的信息． (2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算． 交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動車購買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，且保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)

14、越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表： 交強(qiáng)險(xiǎn)浮動因素和費(fèi)率浮動比率表 浮動因素 浮動比率 A1 上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% A3 上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% A4 上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10% A6 上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下

15、一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 (1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率； (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元．且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題： ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率； ②若該銷售商一次購進(jìn)12

16、0輛(年齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值． [解]　(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為＝. (2)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌(年齡已滿三年)的二手車有2輛事故車，設(shè)為b1，b2.4輛非事故車設(shè)為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機(jī)挑選2輛車的情況有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種． 其中2輛車恰好有一輛為事故車的情

17、況有(b1，a1) ，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種． 所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛為事故車的概率為. ②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)120輛該品牌(車齡已滿三年)的二手車有事故車40輛，非事故車80輛， [(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元). 1．(2018·全國卷Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社會服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　) A．0.6　　　B．0.5　　　C．0.4　　　D．0.3 D　[將2名男同學(xué)

18、分別記為x，y,3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝＝0.3. 故選D．] 2．(2016·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A． B． C． D． C　[從4

19、種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種法有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種法有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C．] 3．(2015·全國卷Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． C　[從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C．] - 8 -