2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-2 1-2-3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

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1、 1．2.3 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-2 1-2-3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [對應(yīng)學(xué)生用書P11] 已知函數(shù)f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2. 問題1：這兩個函數(shù)是復(fù)合函數(shù)嗎？ 提示：是復(fù)合函數(shù)． 問題2：試說明g(x)＝(3x＋2)2是如何復(fù)合的？ 提示：函數(shù)g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2復(fù)合而成的． 問題3：試求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的導(dǎo)數(shù)． 提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3. 問題4：觀察問

2、題3中導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？ 提示：g′(x)＝g′(u)·u′. 若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y′x＝y(tǒng)′u·a. 1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量． 2．利用復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)前，若函數(shù)關(guān)系可以化簡，則先化簡再求導(dǎo)會更簡單． 3．判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的一般方法是：從外向里分析，最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式，各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系，這樣一層一層分析，最里層應(yīng)是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)或關(guān)于自變量x的基本函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的函數(shù)． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) [例1]　求下列函數(shù)的

3、導(dǎo)數(shù)． (1)y＝； (2)y＝e－0.05x＋1； (3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ為常數(shù))； (4)y＝log2(5－3x)． [思路點撥]　先分清函數(shù)自身結(jié)構(gòu)，再合理地選取中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解． [精解詳析]　(1)y＝＝(2x＋3)－是函數(shù)y＝u－，u＝2x＋3的復(fù)合函數(shù)， 所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′ ＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－. (2)y＝e－0.05x＋1是函數(shù)y＝eu，u＝－0.05x＋1的復(fù)合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′ ＝－0.05eu＝－0.0

4、5e－0.05x＋1. (3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的復(fù)合函數(shù)， 所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′ ＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)． (4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的復(fù)合函數(shù)， 所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3· ＝＝. [一點通]　對于簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，其一般步驟為“分解——求導(dǎo)——回代”，即：(1)弄清復(fù)合關(guān)系，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)形式；(2)利用求導(dǎo)法則分層求導(dǎo)；(3)最終結(jié)果要將中間變量換成自變量． 1．若函數(shù)f(x)＝ln

5、，則f′(x)＝________. 解析：f(x)＝ln是f(u)＝ln u與u＝的復(fù)合函數(shù)， 所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(ln u)′·′ ＝·＝－. 答案：－ 2．函數(shù)y＝sin3x＋sin x3的導(dǎo)數(shù)為________． 解析：y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2·cos x3. 答案：3sin2xcos x＋3x2·cos x3 3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝. 解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x， 所以y′

6、x＝y(tǒng)′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′ ＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x. (2)∵y＝＝(1－3x)－4， ∴可設(shè)y＝u－4，u＝1－3x， ∵y′u＝－4u－5，u′x＝－3， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5. 求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用 [例2]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝31－xsin(2x－1)； (2)y＝. [思路點撥]　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求解． [精解詳析]　(1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′ ＝－31－xln 3·sin(2x－

7、1)＋31－x·2cos(2x－1) ＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]． (2)y′＝ ＝ ＝ ＝ . [一點通]　(1)利用加減乘除四則運算與復(fù)合生成函數(shù)的方法，都能由基本初等函數(shù)生成一些新的函數(shù)，認(rèn)清這一點可幫助我們分析函數(shù)結(jié)構(gòu)． (2)認(rèn)清函數(shù)結(jié)構(gòu)之后，不要急于求導(dǎo)，應(yīng)注意恰當(dāng)利用代數(shù)、三角變換方法，化簡函數(shù)解析式，以達(dá)到準(zhǔn)確套用法則，明確求導(dǎo)過程的目的． 4．若函數(shù)f(x)＝xcos 2x，則f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′ ＝cos 2x－2xsin 2x. 答案：cos

8、 2x－2xsin 2x 5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝；(2)y＝sin2(1－x)． 解：(1)y′＝ ＝ ＝ . (2)∵y＝sin2(1－x)＝[1－cos(2－2x)] ＝－cos(2－2x)＝－cos(2x－2)． ∴y′＝sin(2x－2)． 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 　[例3]　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，設(shè)曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，若l與圓C：x2＋y2＝相切，求a的值． [思路點撥]　→→→→. [精解詳析]　∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′ ＝2ax－， ∴f′(1)＝2a－2，

9、又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切線l的方程為y－a＝2(a－1)(x－1)， 即2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直線l與圓C：x2＋y2＝ 相切， ∴圓心(0,0)到直線l的距離為， 所以有＝，解得a＝. ∴a的值為. [一點通]　有了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以求導(dǎo)的函數(shù)類型更加豐富了．在實際應(yīng)用中，先要準(zhǔn)確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后注意切線的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的求法的綜合應(yīng)用． 6．函數(shù)y＝cos 2x在點處的切線方程是________． 解析：∵y′＝－2sin 2x，∴k＝－2sin＝－2. ∴切線方程為y－0＝－2， 即2x＋y－＝0. 答案

10、：2x＋y－＝0 7．求y＝ln(2x＋3)的導(dǎo)數(shù)，并求在點處切線的傾斜角． 解：令y＝ln u，u＝2x＋3，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝. 當(dāng)x＝－時，y′＝＝1， 即在處切線的傾斜角的正切值為1， 所以傾斜角為. 8．設(shè)曲線y＝e－x(x≥0)在點M(t，e－t)處的切線l與x軸，y軸圍成的三角形面積為S(t)． (1)求切線l的方程； (2)求S(t)的解析式． 解：∵y＝e－x， ∴y′＝(e－x)′＝－e－x， ∴y′|x＝t＝－e－t. 故切線方程為y－e－t＝－e－t(x－t)， 即x＋ety－(t＋1)＝0. (

11、2)令y＝0得x＝t＋1. 令x＝0得y＝e－t(t＋1)． ∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1) ＝(t＋1)2e－t(t≥0)． 求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的技巧及注意點 (1)對于分式、根式、三角函數(shù)式、指數(shù)式、對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵仍然在于分析清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，熟用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，迅速正確地求出導(dǎo)數(shù)． (2)在復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，對于經(jīng)過多次復(fù)合及四則運算而成的復(fù)合函數(shù)，可以直接應(yīng)用公式和法則，從最外層開始由表及里逐層求異． (3)靈活運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，正確地進(jìn)行求導(dǎo)運算，樹立多角度、換方位思考問題

12、的意識，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(五)]　 一、填空題 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(4x－2)，則f′(x)＝________. 解析：∵f(x)＝sin(4x－2)， ∴f′(x)＝[sin(4x－2)]′＝4cos(4x－2)． 答案：4cos(4x－2) 2．(全國大綱卷改編)曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于________． 解析：y′＝ex－1＋xex－1，故曲線在點(1,1)處切線的斜率為y′|x＝1＝2. 答案：2 3．設(shè)曲線y＝f(x)＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a

13、＝________. 解析：∵切線與直線x＋2y＋1＝0垂直， ∴切線的斜率k＝2. 又∵f′(x)＝(eax)′＝aeax， ∴k＝f′(0)＝a＝2. 答案：2 4．函數(shù)y＝xsincos的導(dǎo)數(shù)為________． 解析：∵y＝xsincos＝sin(4x＋π)＝－sin 4x， ∴y′＝′sin 4x＋·(sin 4x)′ ＝－sin 4x－2xcos 4x. 答案：－sin 4x－2xcos 4x 5．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________． 解析：設(shè)切點為(x0，y0)，則y0＝x0＋1， 且y0＝ln(x0＋a)，所以x

14、0＋1＝ln(x0＋a)① 對y＝ln(x＋a)求導(dǎo)得y′＝， 則＝1，x0＋a＝1，② 由①②可得x0＝－1，所以a＝2. 答案：2 二、解答題 6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝5log2(2x＋1)； (2)y＝cos(π－7x)； (3)y＝(2x－1)5. 解：(1)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1. 則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝×2＝＝. (2)設(shè)y＝cos u，u＝π－7x. 則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝－sin u×(－7)＝7sin. (3)設(shè)y＝u5，u＝2x－1， 則y′＝y(tǒng)′u·u′x＝5u4×2＝10u4＝10(2x－1)4. 7．已知函數(shù)f(x

15、)＝ln(1＋x)－x＋x2.求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程． 解：f′(x)＝－1＋2x. 由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝， 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為 y－ln 2＝(x－1)， 即3x－2y＋2ln 2－3＝0. 8．已知A(1，f′(x))是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象上的一點，點B的坐標(biāo)為(x，ln(2－x))，向量a＝(1,1)，設(shè)f(x)＝AB―→·a，試求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式． 解：∵AB―→＝(x，ln(2－x))－(1，f′(1)) ＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))， a＝(1,1)， ∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1 ∴f′(x)＝·(2－x)′＋1＝＋1， ∴f′(1)＝0， ∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.