（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第31講 平面向量的綜合應(yīng)用學(xué)案 理

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1、 第31講　平面向量的綜合應(yīng)用 考試要求　1.用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題(A級要求)；2.用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線.(　　) (2)解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決.(　　) (3)實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(　　) (4)在△ABC中，若·＜0，則△ABC為鈍角三角形.(　　) 解析　(4)中，與的夾角為π－B，是鈍角，只能說明B為銳角. 答案　(1)

2、√　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材改編)已知力F＝(2，3)作用在一物體上，使物體從A(2，0)移動到B(－2，3)，則F對物體所做的功為________. 解析　由已知位移s＝＝(－4，3)， ∴力F做的功為W＝F·s＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案　1 3.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，則這個(gè)三角形的形狀是________. 解析　∵＝(2，－2)，＝(6，6)， ∴·＝12－12＝0， ∴⊥，∴△ABC為直角三角形. 答案　直角三角形 4.在四邊形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，則該四邊形的面積為

3、________. 解析　·＝(1，2)·(－4，2)＝0，則⊥，故四邊形ABCD的對角線互相垂直，面積S＝||||＝××2＝5. 答案　5 5.(2018·蘇州調(diào)研)在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P為梯形ABCD所在平面上一點(diǎn)，且滿足＋＋4＝0，·＝||||，Q為邊AD上的一個(gè)動點(diǎn)，則||的最小值為________. 解析　設(shè)AB中點(diǎn)為E，則四邊形BCDE為平行四邊形，且＋＝2，所以＝2，D，E，P三點(diǎn)共線，||＝6，||＝2.又·＝·＝3· ＝3||||cos∠ADE＝||||， 所以cos∠ADE＝，sin∠ADE＝. 要使||最小，即PQ⊥AD. 此時(shí)||＝||si

4、n∠ADE＝. 答案　 知 識 梳 理 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧： 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點(diǎn)共線等問題 向量共線定理 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a為非零

5、向量 (2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟： 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題. 2.平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決. (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角). 3.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識. 4.向量在解析幾何中

6、的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述.它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體. 考點(diǎn)一　平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn).若·＝1，則AB的長為________. (2)(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研(二))在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________. 解析　(1)由題意，可知＝＋，＝－＋.因?yàn)椤ぃ?，所以(＋)·＝1， 即2＋·－

7、2＝1.① 因?yàn)閨|＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||， 因此①式可化為1＋||－||2＝1，解得||＝0(舍去)或，所以AB的長為. (2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則 P(1，4)，C(t，0)，B，BC：＋ty＝1，x＋t2y－t＝0， S△PBC＝××＝|4t＋－1|≥|2－1|＝，△PBC面積的最小值為. 答案　(1)　(2) 規(guī)律方法　向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決. (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底

8、，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解. 【訓(xùn)練1】 (1)在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則△ABC的形狀為________三角形. (2)在△ABC中，若·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的________(從“重心”“垂心”“內(nèi)心”“外心”中選填一個(gè)). 解析　(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知＋為∠BAC的平分線.因?yàn)椤ぃ?，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝··cos∠BAC＝， 所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝， 所以△ABC為等邊三角形. (2)∵·＝·， ∴·(－)

9、＝0， ∴·＝0， ∴OB⊥CA，即OB為△ABC底邊CA上的高所在直線. 同理·＝0，·＝0， 故O為△ABC的垂心. 答案　(1)等邊　(2)垂心 考點(diǎn)二　向量在解析幾何中的應(yīng)用 【例2】 (1)(2018·南京、鹽城模擬)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k＜0時(shí)，若k為直線的斜率，則過點(diǎn)(2，－1)的直線方程為________. (2)(2018·江蘇大聯(lián)考)已知P為單位圓O上的點(diǎn)，M，N為圓x2＋y2＝16上兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)＝|－x|(x∈R)，若函數(shù)f(x)的最小值為t，且當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動時(shí)，t的最大值為3，則線段M

10、N的長度為________. 解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(6，k－5)，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k＜0可知k＝－2，則過點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. (2)f(x)＝， t＝ ＝＝＝dP－MN， 由題意得(dP－MN)max＝3， 因此dO－MN＝2，MN＝2＝4. 答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)4 規(guī)律方法　向量在解析幾何中的作用： (1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向

11、量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題； (2)工具作用，利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·鹽城模擬)如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn)，則(＋)·的最小值為________. (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x，y)滿足·＝0，則＝________. 解析　(1)∵圓心O是

12、直徑AB的中點(diǎn)， ∴＋＝2， ∴(＋)·＝2·， ∵與共線且方向相反， ∴當(dāng)大小相等時(shí)，乘積最小.由條件知， 當(dāng)PO＝PC＝時(shí)，最小值為－2××＝－. (2)∵·＝0，∴OM⊥CM， ∴OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為y＝kx， 由＝，得k＝±， 即＝±. 答案　(1)－　(2)± 考點(diǎn)三　向量的其他應(yīng)用(多維探究) 命題角度1　向量在物理中的應(yīng)用 【例3－1】 如圖，一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為________. 解析　如題圖所示，由已知得F1

13、＋F2＋F3＝0，則F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2. 答案　2 命題角度2　向量在不等式中的應(yīng)用 【例3－2】 已知x，y滿足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是________. 解析　因?yàn)椋?x，1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)C(1，1)時(shí)，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)F(a，a)時(shí)，zmin＝2a＋a＝3a，所以3

14、＝8×3a，解得a＝. 答案　 命題角度3　向量在解三角形中的應(yīng)用 【例3－3】 (2018·蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)調(diào)研)已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且C＝，c＝2，當(dāng)·取得最大值時(shí)，的值為________. 解析　∵C＝.∴B＝π－A－C＝π－A－＝π－A， 由＝得b＝·sinB＝ ·sin ＝＝2cos A＋sin A； ∴·＝bccos A＝×2×cos A ＝4cos2A＋sin Acos A＝4×＋sin 2A ＝2＋2cos 2A＋sin 2A ＝2＋ ＝sin＋2. ∵A＋B＝π－c＝π，∴0

15、＝，即A＝時(shí)，·取最大值＋2. 此時(shí)B＝π－A＝π， ∴此時(shí)＝＝＝＝2＋. 答案　2＋ 規(guī)律方法　利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時(shí)通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化. 【訓(xùn)練3】 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于________. 解析　∵20a＋15b＋12c＝0， ∴20a(－)＋15b＋12c＝0， ∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0， ∵與不共線， ∴? ∴△ABC最小角為角A， ∴cos A＝ ＝＝， ∴sin A＝. 答

16、案　 一、必做題 1.(2018·揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心).若＝＋，則∠BAC等于________(用角度表示). 解析　取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則＋＝2 .由題意得3＝2，∴AD為BC的中線且O為重心.又O為外心，∴△ABC為正三角形，∴∠BAC＝60°. 答案　60° 2.(2018·南京師大附中模擬)在平面內(nèi)，若A(1，7)，B(5，1)，M(2，1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動點(diǎn)，且·＝－8，則cos∠APB＝________. 解析　由題意可得直線OM的方程為y＝x，設(shè)P(2y，y)，則＝(1－2y，7－y)，＝(5－2y，1－y)，所

17、以·＝(1－2y，7－y)·(5－2y，1－y)＝5y2－20y＋12＝－8，解得y＝2，所以P(4，2)，＝(－3，5)，＝(1，－1)，所以cos∠APB＝＝－＝－. 答案?。? 3.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)M是函數(shù)f(x)＝(x>0)的圖象上任意一點(diǎn)，過M點(diǎn)向直線y＝x和y軸作垂線，垂足分別是A，B，則·＝________. 解析　由題意可得∠AMB＝135°.設(shè)M(x>0)，則||＝＝，所以·＝||·||cos 135°＝·x·＝－2. 答案?。? 4.(2018·江蘇六校聯(lián)考)在△ABC中，已知AB＝8，AC＝6，點(diǎn)O為三角形的外心，則

18、·＝________. 解析　由點(diǎn)O為三角形的外心，可設(shè)AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N， 則MO⊥AB，ON⊥AC，從而(－)·＝0， 即·＝0，所以·＝2＝32， 同理(－)·＝0， 即·＝0，所以·＝2＝18， 所以·＝(－)·＝·－·＝(－18)－(－32)＝14. 答案　14 5.(2018·江蘇大聯(lián)考)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，則λ＝________. 解析　因?yàn)椋剑?，＝＋? 所以·＝(＋)·(＋) ＝·－·－·＋· ＝·－λ·2－(1－λ)·2＋λ(1－λ)·· ＝2×2×cos 60°－4λ－4

19、(1－λ)＋λ(1－λ)×2×2×cos 60° ＝－2λ2＋2λ－2＝－， 解得λ＝. 答案　 6.(2017·泰州中學(xué)第二次質(zhì)量檢測)已知△ABC中，BC＝2，G為△ABC的重心，且滿足AG⊥BG，則△ABC的面積的最大值為________. 解析　以為x軸的正半軸，BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則B(－1，0)，C(1，0)， 設(shè)A(x，y)，由G為△ABC的重心，得G， 所以＝，＝， 由AG⊥BG，得·＝·＝0， 所以x2＋3x＋y2＝0，即＋y2＝， 所以|y|≤， 故S△ABC＝BC·h＝|y|≤(h為BC邊上的高)， 所以△ABC的面積的最大值為.

20、 答案　 7.(2017·南京、鹽城二模)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4.若點(diǎn)D在邊BC上，且＝2，AD＝，則AC的長為________. 解析　由＝2得－＝2(－)?＝＋，又AD＝，所以＝，即2＋4·＋42＝28，因?yàn)椤鰽BC中，∠BAC＝120°，AB＝4，所以16－8||＋4||2＝28，從而||＝3(||＝－1舍去). 答案　3 8.(2018·蘇北四市調(diào)研)對任意兩個(gè)非零向量α，β，定義α°β＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝________. 解析　設(shè)a°b＝＝cos θ＝， 則b°a＝cos

21、 θ＝，兩式相乘，可得 cos2θ＝，因?yàn)棣取剩詋1，k2都是正整數(shù)， 0，所以k1＝3，k2＝1，a°b＝. 答案　 9.(2017·南京高三第三次模擬)已知向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，α∈. (1)若a－b＝，求t的值； (2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值. 解　(1)因?yàn)橄蛄縜＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)， 且a－b＝，所以cos α－sin α＝，t＝sin2α. 由cos α－sin α＝得(cos α－sin α)

22、2＝， 即1－2sin αcos α＝，從而2sin αcos α＝. 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝. 因?yàn)棣痢?，所以cos α＋sin α＝. 所以sin α＝＝， 從而t＝sin2α＝. (2)因?yàn)閠＝1，且a·b＝1， 所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α. 因?yàn)棣痢?，所以cos α≠0，從而tan α＝. 所以tan 2α＝＝. 所以tan＝＝＝. 10.(2018·南通調(diào)研)已知向量m＝，n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，

23、C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求f(A)的取值范圍. 解　m·n＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋×cos ＋＝sin＋. (1)∵m·n＝1，∴sin＝， cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C). ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0， ∴cos

24、 B＝，B＝.∴0＜A＜. ∴＜＋＜，＜sin＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sin＋， ∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜. 故f(A)的取值范圍是. 二、選做題 11.(2018·江蘇押題卷)在平面內(nèi)，·＝·＝·＝6，動點(diǎn)P，M滿足 ||＝2，＝，則||2的最大值是________. 解析　由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長為 2， 設(shè)O是△ABC的中心，則||＝||＝||＝2. 以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 如圖所示，則A(2，0)，B(－1，－)，C(－1，).設(shè)P(x，y)， 由已知||＝2，得(x－2)2＋y2＝4， ∵＝， ∴

25、M，∴＝， ∴||2＝，它表示圓(x－2)2＋y2＝4上的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)B′(－1，－3)的距離的平方的， ∵||max＝＋2＝＋2＝8， ∴(||)＝＝16. 答案　16 12.(2018·蘇州期中)如圖，半徑為1，圓心角為的圓弧上有一點(diǎn)C. (1)當(dāng)C為圓弧的中點(diǎn)時(shí)，D為線段OA上任一點(diǎn)，求|＋|的最小值； (2)當(dāng)C在圓弧上運(yùn)動時(shí)，D，E分別為線段OA，OB的中點(diǎn)，求·的取值范圍. 解　以O(shè)為原點(diǎn)，以為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， (1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)， C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝＋(0≤t≤1)， 當(dāng)t＝時(shí)，|＋|的最小值為. (2)設(shè)＝(cos α，sin α)，0≤α≤，E， 則＝－＝－(cos α，sin α)＝.又因?yàn)镈， 所以＝， 所以·＝ ＝sin＋， 因?yàn)?≤α≤，所以≤α＋≤， 所以sin∈[－1，1]， 則sin＋∈. 所以·∈. 16