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1、2022高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程真題押題精練 理
1. (2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．
由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．
2、記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.
由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．
當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．
當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.
經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當k＝時，l2與C2沒有公共點．
綜上，所
3、求C1的方程為y＝－|x|＋2.
2．(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．
(1)求α的取值范圍；
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．
解析：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.
當α＝時，l與⊙O交于兩點．
當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
綜上，α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為
.
設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，
則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsi
4、n α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又點P的坐標(x，y)滿足
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是
.
3．(2017·高考全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程；
(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．
解析：(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
設P(x
5、，y)，由題設得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
聯(lián)立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交點M的極徑為.
1.已知橢圓C：(φ為參數(shù))，A，B是橢圓C上的動點，且滿足OA⊥OB(O為坐標原點)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為(4，)．
(1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程；
6、(2)利用橢圓C的極坐標方程證明＋為定值，并求△AOB面積的最大值．
解析：(1)點D的直角坐標為(2,2)．
由題意可設點A的坐標為(2cos α，sin α)，
則AD的中點M的坐標為(1＋cos α，＋sin α)，
所以點M的軌跡E的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
消去α可得E的普通方程為(x－1)2＋4(y－)2＝1.
(2)證明：橢圓C的普通方程為＋y2＝1，化為極坐標方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，變形得ρ＝ .
由OA⊥OB，不妨設A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，
所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)．
所以△AOB的面積S＝ρ1ρ2
＝＝
＝ .
易知當sin 2
7、θ＝0時，△AOB的面積取得最大值1.
2．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ－)．
(1)求圓C的直角坐標方程；
(2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ－)的公共點，求x＋y的取值范圍．
解析：(1)因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ－)，
所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sin θ－cos θ)．
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
故圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)設z＝x＋y.由圓C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圓C的圓心是(－1，)，半徑是2.
將代入z＝x＋y，得z＝－t，
又直線l過C(－1，)，圓C的半徑是2，
所以|t|≤2，解得－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，即－2≤z≤2.
故x＋y的取值范圍是[－2,2]．
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