2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-3 1-3-3 最大值與最小值

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-3 1-3-3 最大值與最小值 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P19] 1．問(wèn)題：如何確定你班哪位同學(xué)最高？ 提示：方法很多，可首先確定每個(gè)學(xué)習(xí)小組中最高的同學(xué)，再比較每組的最高的同學(xué)，便可確定班中最高的同學(xué)． 2．如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象． 問(wèn)題1：試說(shuō)明y＝f(x)的極值． 提示：f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值． 問(wèn)題2：你能說(shuō)出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值嗎？ 提示：函數(shù)的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函數(shù)的最大值是f(b)，f(

2、x1)，f(x3)中最大的． 3．函數(shù)y＝g(x)，y＝h(x)在閉區(qū)間[a，b]的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)． 問(wèn)題1：兩函數(shù)的最大值和最小值分別是什么？ 提示：函數(shù)y＝g(x)的最大值為g(a)，最小值是其極小值g(c)；函數(shù)y＝h(x)的最大值為h(b)，最大值為h(a)． 問(wèn)題2：函數(shù)的最大值和最小值是否都在區(qū)間的端點(diǎn)處取得？ 提示：不一定． 問(wèn)題3：函數(shù)的極值與函數(shù)的最值是同一個(gè)問(wèn)題嗎？ 提示：不是． 1．最大值與最小值 (1)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值．

3、 最大值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一． (2)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最小值．最小值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一． 2．求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟 (1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值； (2)將第(1)步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值． 1．函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較，具有相對(duì)性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的

4、情況，是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較． 2．函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有惟一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒(méi)有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值． 3．極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值． 求函數(shù)的最大值與最小值 [例1]　求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值． [思路點(diǎn)撥]　→→→→→ [精解詳析]　f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)

5、＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  極大值4  極小值3  極大值4  －5 所以當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60； 當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4. [一點(diǎn)通]　求函數(shù)的最值需要注意的問(wèn)題： (1)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值與求函數(shù)的極值方法類似，在給定區(qū)間是閉區(qū)間時(shí)，極值要和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，

6、并且要注意取極值的點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)； (2)當(dāng)函數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)大于2或用傳統(tǒng)方法不易求解時(shí)，可考慮用導(dǎo)數(shù)的方法求解． 1．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m.則M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 計(jì)算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 2．求函數(shù)f(x)＝ex(3－x2)在區(qū)間[2,5]上的最值． 解：∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2

7、x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在區(qū)間[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是單調(diào)遞減函數(shù)， ∴x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)＝－e2； x＝5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)＝－22e5. 已知函數(shù)的最值求參數(shù) [例2]　已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在區(qū)間[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值． [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論． [精解詳析]　由題設(shè)知a≠0，否則f(x

8、)＝b為常數(shù)函數(shù)，與題設(shè)矛盾． 取導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)． 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍)． (1)∵當(dāng)a＞0時(shí)，如下表： x (－1,0) 0 (0,2) f′(x) ＋ 0 － f(x)  最大值  ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3， ∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2. (2)∵當(dāng)a＜0時(shí)，如下表： x (－1,0) 0 (0,2) f′(x) － 0 ＋ f(x)  最小值 

9、∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值， ∴b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29， ∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2. 綜上，或 [一點(diǎn)通]　解決由函數(shù)的最值來(lái)確定參數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值，同時(shí)由于系數(shù)a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響，其最值也受a的符號(hào)的影響，因此，需要進(jìn)行分類討論．本題是運(yùn)用最值的定義，從逆向出發(fā)，由已知向未知轉(zhuǎn)化，通過(guò)待定系數(shù)法，列出相應(yīng)的方程，從而得出參數(shù)的值． 3．已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x，a∈R. (1)若a＝2，求函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)求

10、f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值． 解：(1)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2ln x， f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1， 故切線方程為y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0. (2)依題意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x2－a)， ①a≤1時(shí)，因?yàn)閤∈[1，e]，1≤x2≤e2，所以f′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，最小值為f(1)＝. ②a≥e2時(shí)，因?yàn)?≤x2≤e2，所以f′(x)≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝e，a＝e2時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，最小值為f(e)＝e2－a. ③1＜a＜e

11、2時(shí)，解f′(x)＝(x2－a)＝0得x＝±(負(fù)值舍去)，f′(x)的符號(hào)和f(x)的單調(diào)性如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x)  最小值  f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f＝a－aln a. 綜上所述，a≤1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝； 1＜a＜e2時(shí)，f(x)的最小值為f＝a－aln a； a≥e2時(shí)，f(x)的最小值為f(e)＝e2－a. 4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值； (2)當(dāng)a＝3

12、，b＝－9時(shí)，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b. 因?yàn)榍€y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)， 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b， 解得a＝3，b＝3. (2)記h(x)＝f(x)＋g(x)，當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1. h(x)與h′(x)在(－∞，2]上的變化情況如下： x (－∞，－3)

13、 －3 (－3,1) 1 (1,2) 2 h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x)  28  －4  3 由此可知： 當(dāng)k≤－3時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為h(－3)＝28； 當(dāng)－30)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m，對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [思路點(diǎn)撥]　(1)可

14、通過(guò)配方求函數(shù)f(x)的最小值； (2)h(t)<－2t＋m，即m>h(t)＋2t恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求h(t)＋2t的最大值問(wèn)題解決． [精解詳析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1. 則g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)． 令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)． 列表： t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t)  極大值1

15、 由表可知，g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值1. ∵h(yuǎn)(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等價(jià)于m>g(t)在(0,2)內(nèi)恒成立． ∴m>1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)． [一點(diǎn)通]　有關(guān)恒成立問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．求解時(shí)要確定這個(gè)函數(shù)，看哪一個(gè)變量的范圍已知，即函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù)． 一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 5．已知g(x)＝ln x－a，若g(x)ln x－x2，

16、故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立． 設(shè)h(x)＝ln x－x2，則h′(x)＝－2x＝， 由h′(x)＝0及00，當(dāng)0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 解：(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋

17、∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，則f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增． 若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 所以，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減， 在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由于a＝1， 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于 k<＋x(x>0)．① 令g(x)＝＋x，則 g′(x)＝＋1＝. 由(1)知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．而h(1)<

18、0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零點(diǎn)．故g′(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)． 當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)． 又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等價(jià)于k

19、)上連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值． 2．設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下 (1)求f(x)在(a，b) 內(nèi)的極值． (2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，確定f(x)的最大值與最小值． 3．求實(shí)際問(wèn)題的最大值(最小值)的方法 在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(八)]　 一、填空題 1．函數(shù)f(x)＝x－sin x，x∈的最大值是________． 解析：∵f(x)＝x－

20、sin x，∴f′(x)＝1－cos x≥0. ∴函數(shù)f(x)＝x－sin x在上為單調(diào)增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝π時(shí)，f(x)取最大值π. 答案：π 2. 函數(shù)y＝的最大值為________． 解析：y′＝＝， 令y′＝0，則x＝e. 因此函數(shù)f(x)的最大值為f(e)＝. 答案： 3．函數(shù)f(x)＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值為________． 解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)， 令f′(x)＝0，得x＝1. 而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝. 因此函數(shù)f(x)的最小值為0. 答案：0 4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在[a,2]上

21、的最大值為，則a＝________. 解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1. 而f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠，∴a>－1. 而f(2)＝－4－4＋3＝－5， 因此f(a)＝－a2－2a＋3＝， 解得a＝－(舍去)或a＝－. 答案：－ 5．函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4])上的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝________. 解析：f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])． 由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3時(shí)，f(x)取到最小值為b－27a. 又f(1)＝b－3a，f(4)＝b， 因此f(4)

22、為最大值． 由解得 所以a＋b＝. 答案： 二、解答題 6．已知函數(shù)f(x)＝aln x＋1(a＞0)． (1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在(e，f(e))處的切線方程； (2)當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f(x)－1≥a. 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2ln x＋1， f′(x)＝，f(e)＝3，k＝f′(e)＝， 所以函數(shù)f(x)在(e，f(e))處的切線方程為 y－3＝(x－e)， 即2x－ey＋e＝0. (2)令g(x)＝f(x)－1－a ＝aln x－a(x＞0)， 則g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1. 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(

23、0,1)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以g(x)在x＝1處取得極小值，也是最小值． 因此g(x)≥g(1)＝0，即f(x)－1≥a. 7．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值． 解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3) ＝－3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)<0，則－3(x＋1)(x－3)<0， 解得x<－1或x>3. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．

24、 (2)結(jié)合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3. 又∵x∈[－2,2]，∴x＝－1. 當(dāng)－20. ∴x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，該極小值也就是函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最小值， 即f(x)min＝f(－1)＝a－5. 又函數(shù)f(x)的區(qū)間端點(diǎn)值為 f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22， f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2. ∵a＋22>a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2. 此時(shí)f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7. 8．已知函數(shù)f(x)＝ax4ln x＋bx4－

25、c(x＞0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)．若對(duì)任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范圍． 解：由題意知f(1)＝－3－c. 因此b－c＝－3－c，從而b＝－3. 對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)． 由題意知f′(1)＝0， 得a＋4b＝0，解得a＝12. 因?yàn)閒′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令f′(x)＝0，解得x＝1. 當(dāng)01時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)． 所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c， 并且此極小值也是最小值． 所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立， 只需－3－c≥－2c2即可． 整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1. 所以c的取值范圍為(－∞，－1]∪.