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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 (IV)
一、選擇題(本大題共12題,每題5分,滿分60分,每小題只有一個(gè)正確答案)
1.給出命題“方程x2+ax+1=0沒有實(shí)數(shù)根”,則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. -3
2.已知a,b∈R,命題“若a+b=1,則a2+b2≥”的否命題是( )
A. 若a2+b2<,則a+b≠1
B. 若a+
2、b=1,則a2+b2<
C. 若a+b≠1,則a2+b2<
D. 若a2+b2≥,則a+b=1
3.設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù),且滿足=-1,則曲線y=f(x)上點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為( )
A. 2 B. -1 C. 1 D. -2
4.已知條件p:x<-3或x>1,條件q:x>a,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)≥-1 B.a(chǎn)≤1 C.a(chǎn)≥1
3、D.a(chǎn)≤-3
5.已知p:?x0∈R,mx+2≤0.q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. [1,+∞) B. (-∞,-1] C. (-∞,-2] D. [-1,1]
6.已知雙曲線my2-x2=1(m∈R)與橢圓+x2=1有相同的焦點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x
7.已知橢圓C:+=1(a
4、>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn).若△AF1B的周長為4,則C的方程為( )
A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
8.已知拋物線y2=x,點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO的面積之和的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. D.
9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+bx+c的
5、圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是( )
10.過曲線y=上一點(diǎn)P的切線的斜率為-4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. B.或
C. D.
11.如圖,橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,A1,A2,B1,B2為橢圓頂點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),延長B1F2與A2B2交于點(diǎn)P,若∠B1PB2為鈍角,則該橢圓離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.函數(shù)f(x)=x+lnx在(0,6)
6、上是( )
A. 單調(diào)增函數(shù)
B. 單調(diào)減函數(shù)
C. 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)
D. 在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)
第II卷 非選擇題 (共90分)
二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分)
13.若曲線y=xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
14.已知函數(shù)f(x)=
7、x4+ax2-bx,且f′(0)=-13,f′(-1)=-27,則a+b等于________.
15.設(shè)雙曲線-=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B,則△AFB的面積為________.
16.點(diǎn)P在橢圓x2+=1上,點(diǎn)Q在直線y=x+4上,若|PQ|的最小值為,則m=________.
三、解答題(共6小題,共70分)
17. (10分)已知命題p:函數(shù)f(x)=x2-2mx+4在[2
8、,+∞)上單調(diào)遞增,命題q:關(guān)于x的不等式mx2+4(m-2)x+4>0的解集為R.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求m的取值范圍.
18.(12分)已知橢圓+=1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左,右兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為2,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn)M(0,)滿足|MA|=|MB|,求直線l的斜率k的值.
19. (12分)雙曲線的方程是-y2=1.
(1)直線l的傾斜角為,被雙曲線截得的弦長為,求直線l的方程;
(2)過點(diǎn)P(3,1)作直線l′,使其被雙曲線截得的弦恰被P點(diǎn)平分,求直線l′的方程.
20.
9、 (12分)斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y=x2的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若線段|AB|的長為8.
(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)求直線的斜率k.
21. (12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值.
22.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)=x3-ax(a為實(shí)數(shù)).
(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)
10、,求f(x)的解析式;
(2)若a>3,試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)是否存在a,使得x∈(0,1]時(shí),f(x)有最大值1?
高二數(shù)學(xué)(文科)試題答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.A
8.B
9.D
10.B
11.C
12.A
13.(e,e)
14.18
15.
16.3
17.若命題p為真,因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為x=m,則m≤2.
若命題q為真,當(dāng)m=0時(shí)原不等式為-8x+4>0,顯然不成立.
當(dāng)m≠0時(shí),則有?1
11、或
解得m≤1或2<m<4.
18.解 (1)由題意知,|PF1|+|PF2|=2a=2,
所以a=.
又因?yàn)閑==,
所以c=×=1,
所以b2=a2-c2=2-1=1,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)已知F2(1,0),直線斜率顯然存在,
設(shè)直線的方程為y=k(x-1),
A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立直線與橢圓的方程得
化簡得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,
y1+y2=k(x1+x2)-2k=.
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
①當(dāng)k≠0時(shí),AB的中垂線方程為y-=-(x-),
因?yàn)閨MA|=|MB
12、|,
所以點(diǎn)M在AB的中垂線上,
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得,
+=,
即2k2-7k+=0,
解得k=或k=;
②當(dāng)k=0時(shí),AB的中垂線方程為x=0,滿足題意.
所以斜率k的取值為0,或.
19.解 (1)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入雙曲線方程,得3x2+8mx+4(m2+1)=0,
Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0,
∴m2>3.
設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),
則x1+x2=-m,x1x2=.
由弦長公式|AB|=|x1-x2|,得
,
∴=,即m=±5,滿足m2>3,
∴直線l的方程為y=x
13、±5.
(2)設(shè)直線l′與雙曲線交于A′(x3,y3)、B′(x4,y4)兩點(diǎn),
點(diǎn)P(3,1)為A′B′的中點(diǎn),則x3+x4=6,y3+y4=2.
由=4,=4,
兩式相減得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0,
∴=,
∴l(xiāng)′的方程為y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
把此方程代入雙曲線方程,整理得5y2-10y+=0,
滿足Δ>0,
即所求直線l′的方程為3x-4y-5=0.
20.解 (1)化y=x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=4y,
由此,可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y
14、2),
由拋物線的定義知|AF|=y(tǒng)1+1,|BF|=y(tǒng)2+1,
于是|AB|=y(tǒng)1+y2+2,
又|AB|=8,所以y1+y2=6,
由(1)得,拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),
所以直線l的方程為y=kx+1,
所以kx1+1+kx2+1=6,k(x1+x2)=4,
由直線l的方程與拋物線方程得kx+1=,
即x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,
代入k(x1+x2)=4,得k2=1,k=±1.
21.(1)由7x-4y-12=0得y=x-3.
當(dāng)x=2時(shí),y=,∴f(2)=,①
又f′(x)=a+,∴f′(2)=,②
由①,②得解之得.
15、
故f(x)=x-.
(2)證明 設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y′=1+知
曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為
y-y0=(1+)(x-x0),
即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0得y=-,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-).
令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0).
所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為|-||2x0|=6.
故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.
22.(1)f(x)=-x3+ax.
(
16、2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,證明見解析.(3)存在a=,使f(x)在(0,1]上有最大值1
【解析】(1)設(shè)x∈(0,1],則-x∈[-1,0).
∵f(x)為偶函數(shù),
∴f(x)=f(-x)=-x3+ax,
即x∈(0,1]時(shí),f(x)=-x3+ax.
(2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,證明如下:
f′(x)=-3x2+a,x∈(0,1],
∴-3x2∈[-3,0).
又a>3,∴a-3x2>0,即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.
(3)當(dāng)a>3時(shí),f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(1)=a-1=1.
∴a=2與a>3矛盾.
當(dāng)0≤a≤3時(shí),令f′(x)=a-3x2=0,
得x=或x=-(舍去).
x∈時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在上單調(diào)遞增.
x∈時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在上單調(diào)遞減.
又函數(shù)f(x)在x=處連續(xù),
∴f(x)max=f=-3+a=1.
解得a=,
當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=a-3x2<0,
∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,f(x)在(0,1]上無最大值.
綜上,存在a=,使f(x)在(0,1]上有最大值1.