2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-3 1-3-2 極大值與極小值

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-3 1-3-2 極大值與極小值 [對應(yīng)學(xué)生用書P16] 極　值 已知y＝f(x)的圖象(如圖)． 問題1：當(dāng)x＝a時，函數(shù)值f(a)有何特點？ 提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值． 問題2：當(dāng)x＝b時，函數(shù)值f(b)有何特點？ 提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值． 1．觀察下圖中的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象在點P處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠?函數(shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減)，這時在點P附近，點P的位置最高，亦即f(x1

2、)比它附近點的函數(shù)值都要大，我們稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值． 2．類似地，上圖中f(x2)為函數(shù)的一個極小值． 3．函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值． 極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察圖(Ⅰ)． 問題1：試分析在函數(shù)取得極大值的x1的附近左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化？ 提示：左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0. 問題2：試分析在函數(shù)取得極小值的x2的附近左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化？ 提示：左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0. 1．極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系如下表： x x1左側(cè) x1 x1右側(cè) f′(x) f′(x)>0 f′(x)＝0 f′(

3、x)<0 f(x) 增 極大值f(x1) 減 2．極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系如下表： x x2左側(cè) x2 x2右側(cè) f′(x) f′(x)<0 f′(x)＝0 f′(x)>0 f(x) 減 極小值f(x2) 增 1．極值是一個局部概念，它只是某個點的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在整個定義域內(nèi)是最大或最?。? 2．函數(shù)的極值并不惟一(如圖所示)． 3．極大值和極小值之間沒有確定的大小關(guān)系，如圖所示，f(x1)是極大值，f(x4)是極小值，而f(x4)>f(x1)． 求函數(shù)的極值 [例1]　求

4、下列函數(shù)的極值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝. [思路點撥]　按求函數(shù)極值的步驟求解，要注意函數(shù)的定義域． [精解詳析]　(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定義域為R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值10  極小值－22  因此，函數(shù)f(x)的極大值為f(－1)＝10； 極小值為f(

5、3)＝－22. (2)函數(shù)f(x)＝的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值  因此函數(shù)f(x)的極大值為f(e)＝，沒有極小值． [一點通]　(1)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： ①求導(dǎo)數(shù)f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值． (2)注

6、意事項： ①不要忽視函數(shù)的定義域； ②要正確地列出表格，不要遺漏區(qū)間和分界點． 1．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有________個極小值． 解析：由圖可知，在區(qū)間(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)內(nèi)f′(x)>0； 在區(qū)間(x1，x2)，(x3，b)內(nèi)f′(x)<0. 即f(x)在(a，x1)內(nèi)單調(diào)遞增， 在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減， 在(x2，x3)內(nèi)單調(diào)遞增， 在(x3，b)內(nèi)單調(diào)遞減． 所以，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值， 極小值為f(x2)

7、． 答案：1 2．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2有下列命題，其中正確命題的序號是________． ①f(x)是增函數(shù)；②f(x)是減函數(shù)，無極值；③f(x)的增區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(0,2)；④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值． 解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，則x＝0或x＝2. 易知當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)，減區(qū)間是(0,2)；極大值為f(0)，極小值為f(2)． 答案：③④

8、 3．設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解：(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1， 故f′(x)＝－＋. 由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減

9、函數(shù)； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0， 故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 已知函數(shù)極值求參數(shù) [例2]　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0.求a，b的值． [思路點撥]　解答本題可先求f′(x)，利用x＝－1時有極值0這一條件建立關(guān)于a，b的方程組．解方程組可得a，b的值，最后將a，b代入原函數(shù)驗證極值情況． [精解詳析]　∵f(x)在x＝－1時有極值0且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ∴即 解得或 當(dāng)a＝1，b＝3時， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以

10、f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去． 當(dāng)a＝2，b＝9時， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－3，－1)時，f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)． 所以f(x)在x＝－1時取得極小值，因此a＝2，b＝9. [一點通]　已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時，注意兩點： (1)常根據(jù)取極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解． (2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點取極值的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性． 4．已

11、知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則ab＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由題意可知： 即 得或 當(dāng)a＝－3，b＝3時， f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2， 易知在x＝1的左右兩側(cè)都有f′(x)＞0， 即函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的， 因此f(x)在x＝1處并不存在極值， 故ab＝－44. 答案：－44 5．已知函數(shù)y＝3x－x3＋m的極大值為10，則m的值為________ . 解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)， 令y′＝0得x1＝－1，x2＝1， 經(jīng)判斷知極大值為f(1)＝2

12、＋m＝10，m＝8. 答案：8 6．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值． 解：∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3， 依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1， x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(－1)＝2是極大值，f(1)＝

13、－2是極小值． 極值的綜合應(yīng)用 [例3]　已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖象(草圖)； (2)當(dāng)a為何值時，方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根？ [精解詳析]　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a， 得f′(x)＝－3x2＋3， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－1,1)時，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0. 所以函數(shù)f(x)的極小值為f(－1)＝a－2； 極大值為f(1)＝a＋2. 由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示

14、．這里，極大值a＋2大于極小值a－2. (2)結(jié)合圖象，當(dāng)極大值a＋2＝0或極小值a－2＝0時，曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)＝0恰有兩個實數(shù)根． 綜上，當(dāng)a＝±2時，方程恰有兩個實數(shù)根． [一點通]　極值問題的綜合應(yīng)用主要涉及極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合，題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想在解題中的應(yīng)用，在解題過程中，熟練掌握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關(guān)鍵． 7．在例3中當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y＝f(x) 與x軸僅有一個交點？ 解：函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示： 當(dāng)函數(shù)f(x)

15、的極大值a＋2<0或極小值a－2>0時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，所以所求實數(shù)a的范圍是a<－2或a>2. 8．已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個極值點． (1)求a； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍． 解：(1)因為f′(x)＝＋2x－10， 所以f′(3)＝＋6－10＝0，因此a＝16. (2)由(1)知， f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)． f′(x)＝，當(dāng)x∈(－1,1)∪(3，＋∞)時， f′(x)>0，當(dāng)x∈(1,3)時，f

16、′(x)<0， 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)． (3)由(2)知，f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1或x＝3時，f′(x)＝0， 所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln 2－9， 極小值為f(3)＝32ln 2－21， 所以要使直線y＝b與y＝f(x)的圖象有3個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)

17、以有多個數(shù)值不同的極大(小)值； (2)極大(小)值是局部充分小的領(lǐng)域內(nèi)的最大(小)值； (3)極大(小)值只能在區(qū)間的內(nèi)點取得，常數(shù)函數(shù)沒有極大值，也沒有極小值； (4)f′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0取得極值的必要條件，不是充分條件． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(七)]　 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上極大值點的個數(shù)為________． 解析：極大值點在導(dǎo)函數(shù)f′(x0)＝0處，且滿足x0左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由圖象知有3個． 答案：3 2．(新課標(biāo)全

18、國卷Ⅰ改編)函數(shù)f(x) 在x＝x0 處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則p是q的________條件． 解析：設(shè)f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x＝0處不存在極值，故若p則q是一個假命題，由極值的定義可得若q則p是一個真命題．故p是q的必要不充分條件． 答案：必要不充分 3．若函數(shù)f(x)＝x·2x在x0處有極小值，則x0＝________. 解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2， 令f′(x)＝0，得x＝－. 答案：－ 4．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R取極值的點大于0，則a的取值范圍是_______

19、_． 解析：令x＝f(x)，則f′(x)＝aeax＋3， 函數(shù)f(x)取極值的點大于0， 即f′(x)＝aeax＋3＝0有正根． 當(dāng)f′(x)＝aeax＋3＝0成立時，顯然有a＜0， 此時x＝ln， 由x＞0可得a＜－3. 答案：(－∞，－3) 5．(福建高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是________． ①?x∈R，f(x)≤f(x0)； ②－x0是f(－x)的極小值點； ③－x0是－f(x)的極小值點； ④－x0是－f(－x)的極小值點． 解析：不妨取函數(shù)f(x)＝x3－x，則x＝－為f(x)的極大值

20、點，但f(3)>f，∴排除①；取函數(shù)f(x)＝－(x－1)2，則x＝1是f(x)的極大值點，但－1不是f(－x)的極小值點，∴排除②； －f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的極小值點，∴排除③， ∵－f(－x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得－x0應(yīng)為函數(shù)－f(－x)的極小值點，∴填④. 答案：④ 二、解答題 6．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4，求函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的大致圖象． 解：(1)f′(x)＝x2－4. 解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2. 當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2

21、 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)   －  從上表看出，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(－2)＝； 而當(dāng)x＝2時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(2)＝－. 函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4的圖象如圖所示． 7．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 當(dāng)a<0時，對x∈R，有f′(x)>0，

22、 ∴當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當(dāng)a>0時，由f′(x)>0解得x<－，或x>， 由f′(x)<0解得－0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0. ∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1， 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知， f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1， 在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. ∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)

23、的圖象有三個不同的交點， 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知m的取值范圍是(－3,1)． 8．(重慶高考)已知函數(shù)f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線的斜率為4－c. (1)確定a，b的值； (2)若c＝3，判斷f(x)的單調(diào)性； (3)若f(x)有極值，求c的取值范圍． 解：(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c， 由f′(x)為偶函數(shù)，知f′(－x)＝f′(x)， 即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b. 又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b

24、＝1. (2)當(dāng)c＝3時，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0， 故f(x)在R上為增函數(shù)． (3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c， 而2e2x＋2e－2x≥2＝4， 當(dāng)x＝0時等號成立． 下面分三種情況進(jìn)行討論． 當(dāng)c<4時，對任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此時f(x)無極值； 當(dāng)c＝4時，對任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此時f(x)無極值； 當(dāng)c>4時，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有兩根t1,2＝>0， 即f′(x)＝0有兩個根x1＝ln t1或x2＝ln t2. 當(dāng)x1x2時，f′(x)>0，從而f(x)在x＝x2處取得極小值． 綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，＋∞)．