《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 解析幾何 專(zhuān)題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 解析幾何 專(zhuān)題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題 文（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 解析幾何 專(zhuān)題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題 文
1.已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0,1),且與直線y=-1相切.
(1)求圓心M的軌跡方程;
(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0,-2),且與點(diǎn)M的軌跡交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),求證:直線AC恒過(guò)定點(diǎn).
2.已知橢圓Γ:+y2=1(a>1)與圓E:x2+=4相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,圓E交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D.
(1)求橢圓Γ的離心率;
(2)過(guò)點(diǎn)D的直線交橢圓Γ于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)N與點(diǎn)N'關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),求證:直線MN'過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)
2、坐標(biāo).
3.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,圓C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直線l與拋物線E交于A,B兩點(diǎn),與圓C切于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),求直線l及圓C的方程;
(2)當(dāng)a=2時(shí),證明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出該定值.
4.設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)定點(diǎn),其橫坐標(biāo)為a(a∈R),已知當(dāng)a=1時(shí),動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)M且與直線x=-1相切,記動(dòng)圓N的圓心N的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)當(dāng)a>2時(shí),若直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0,y0)(y0>
3、0),且l與以定點(diǎn)M為圓心的動(dòng)圓M也相切,當(dāng)動(dòng)圓M的面積最小時(shí),證明:M,P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值.
5.已知橢圓M:=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若圓N:x2+y2=r2上斜率為k的切線l與橢圓M相交于P,Q兩點(diǎn),OP與OQ能否垂直?若能垂直,請(qǐng)求出相應(yīng)的r的值;若不能垂直,請(qǐng)說(shuō)明理由.
6.已知橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(
4、2)直線y=2上是否存在點(diǎn)Q,使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
專(zhuān)題對(duì)點(diǎn)練24答案
1.(1)解 ∵動(dòng)點(diǎn)M到直線y=-1的距離等于到定點(diǎn)C(0,1)的距離,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線,且=1,解得p=2,∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2=4y.
(2)證明 由題意可知直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),則C(-x2,y2).
聯(lián)立化為x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.
∴x1+x2=4k,x1x2=8.直線AC的方程為y-y2=-(x+x2),
又y1=k
5、x1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,
化為4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),
∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,則y=2,∴直線AC恒過(guò)一定點(diǎn)(0,2).
2.(1)解 由題意得A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),設(shè)xB=,則圓心E到AB的距離為1,
∴yB=,∴B,代入橢圓方程得=1,解得a2=4,∴e=.
(2)證明 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圓E交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D,
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx-消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.
∴x1
6、+x2=,x1x2=,
直線MN'的方程y-y1=(x-x1),依據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,若直線MN'過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)一定在y軸上,
令x=0,y=y1-=-2.
當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),直線MN'的方程為x=0,顯然過(guò)點(diǎn)(0,-2).
綜上,直線MN'過(guò)定點(diǎn)(0,-2).
3.(1)解 由圓(x-a)2+y2=4,則圓心(a,0),半徑為2,
將P代入圓方程,解得a=2或a=-,∴圓的方程為(x-2)2+y2=4或+y2=4,
當(dāng)a=2,圓心C(2,0),則直線CP的斜率k==-,
由直線l的斜率為-,則直線l的方程y-,整理得4y-3x-4=0;
當(dāng)a=-,圓心C,則直線CP的斜率k
7、=,
由直線l的斜率為-=-,則直線l的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,
綜上可知,直線l方程為4y-3x-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4,或直線l方程為20y+15x-44=0,圓C的方程為+y2=4;
(2)證明 當(dāng)a=2時(shí),圓C的方程(x-2)2+y2=4,
當(dāng)l垂直于x軸時(shí),則x=4,A(4,4),B(4,-4),
∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,
∴|FA|+|FB|-|AB|=2;
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0),
直線l與圓C相切,則=2,則4kb+b2=4,結(jié)合圖象知kb
8、(2kb-4)x+b2=0,
由Δ=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=-,x1x2=,
|AB|=
=
=
=
=,
由拋物線的性質(zhì)可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,
∴|FA|+|FB|=-+2,
∴|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,
∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值為2.
4.(1)解 因?yàn)閳AN與直線x=-1相切,所以點(diǎn)N到直線x=-1的距離等于圓N的半徑,
所以點(diǎn)N到點(diǎn)M(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等.
所以點(diǎn)N的軌跡為以點(diǎn)M(1,0)為焦點(diǎn),直線x=-1為
9、準(zhǔn)線的拋物線,
所以圓心N的軌跡方程,即曲線C的方程為y2=4x.
(2)證明 由題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-y0=k(x-x0),
由
得y2-y-kx0+y0=0,
又=4x0,所以y2-y-+y0=0.
因?yàn)橹本€l與曲線C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.
所以直線l的方程為4x-2y0y+=0.
動(dòng)圓M的半徑即為點(diǎn)M(a,0)到直線l的距離d=.
當(dāng)動(dòng)圓M的面積最小時(shí),即d最小,
而當(dāng)a>2時(shí),d=≥2.
當(dāng)且僅當(dāng)=4a-8,即x0=a-2時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)動(dòng)圓M的面積最小時(shí),a-x0=2,
即當(dāng)動(dòng)圓M的面積最小時(shí),M,P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定
10、值.
5.解 (1)依題意橢圓M:=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為.
得c=,e=,可得a=2,則b=1,
故橢圓的方程為+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,∵直線l與圓x2+y2=1相切,
∴=r,即m2=r2(k2+1). ①
由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,∴m2<4k2+1,可得r2<4.
令P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
若OP與
11、OQ能垂直,則=x1x2+y1y2=0,
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+m2=0,
整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,
∴r=,滿足r2<4,∴OP與OQ能垂直.
6.解 (1)∵橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面積為,
∴c, ab=,∴a=2,b=,
∴橢圓方程為=1.
(2)假設(shè)直線y=2上存在點(diǎn)Q滿足題意,
設(shè)Q(m,2),當(dāng)m=±2時(shí),從點(diǎn)Q所引的兩條切線不垂直.
當(dāng)m≠±2時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)Q向橢圓所引的切線的斜率為k,則l的方程為y=k(x-m)+2,
代入橢圓方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,
∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,
∴(m2-4)k2-4mk+2=0.
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,
則k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的兩個(gè)根,∴k1k2==-1,
解得m=±,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,2)或(-,2).
∴直線y=2上兩點(diǎn)(,2),(-,2)滿足題意.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 解析幾何 專(zhuān)題對(duì)點(diǎn)練24 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題 文
