2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練六 2.2.1 三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練六 2.2.1 三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2018·漳州一模)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,則下列是函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程的為 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x=0 【解析】選A.函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象的對(duì)稱軸方程為x=(k∈Z),故函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=- (k∈Z),當(dāng)k=1時(shí),x=,故選A.

2、 2.動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),其初始位置為A0,12秒旋轉(zhuǎn)一周. 則動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位:秒)的函數(shù)解析式為 (　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 【解析】選C.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)初始位置為A0,所以t=0 時(shí), y= ,可排除A,B;又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)12秒旋轉(zhuǎn)一周,所以函數(shù)周期為12 ,可排除D. 3.(2018·唐山一模)已知函數(shù)f(x)=3sin的最小正周期為T,則將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 (　　) A.y=-3sin B.y=-3cos C.y=3sin

3、 D.y=3cos 【解析】選D.T==π,y=3sin=3sin =3cos,故選D. 4.將函數(shù)y=sin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0) 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′,若P′位于函數(shù)y=sin 2x的圖象上,則 (　　) A.t=,s的最小值為 B.t=,s的最小值為 C.t=,s的最小值為 D.t=,s的最小值為 【解析】選A.由題意得,t=sin=,當(dāng)s最小時(shí),P′所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,此時(shí)smin=-=,故選A. 【加固訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=sin,其中ω>0.若f(x)≤f對(duì)x∈R恒成立,則ω的最小值為 (　　) A.2　　 B.4　 　 C.10　　

4、 D.16 【解析】選B.由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x=時(shí),ωx+=2kπ+,所以ω=24k+4(k∈Z), 取k=0 可得ω 的最小值為4. 5.(2018·煙臺(tái)一模)若函數(shù)f(x)=4sin ωx·sin2++cos2ωx-1(ω>0)在上是增函數(shù),則ω的取值范圍是 (　　) A.[0,1) B. C.[1,+∞) D. 【解析】選D.因?yàn)閒(x)=4sin ωx·sin2+cos 2ωx-1 =4sin ωx·+cos 2ωx-1 =2sin ωx(1+sin ωx)+cos 2ωx-1=2sin ωx, 所以是函數(shù)含原點(diǎn)的遞增區(qū)間, 又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)

5、, 所以? 即? 又w>0, 所以0

6、2= ,如圖陰影部分,可得面積: S=(1-2sin 2x)dx=(x+cos 2x)=+. 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.將函數(shù)f(x)=2cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間 和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.? 【解析】由題意可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間 和上均單調(diào)遞增,根據(jù)f(x)=2cos 2x的圖象可知,-≤0且≤2a-≤π, 解得≤a≤. 答案: 8.已知函數(shù)f(x)=mcos 2x+(m-2)sin x,其中1≤m≤2.若函數(shù)f(x)的最大值記為g(m),則g(m)的最小值為________

7、. ? 【解析】f(x)=-msin2x+(m-2)sin x+ =-m++ =-m++-1, 因?yàn)?≤m≤2,所以-≤≤0,而 sin x∈[-1,1],所以f(x)max=+-1, 即g(m)=+-1, 所以+-1≥2-1=-1, 當(dāng)且僅當(dāng)=?m= 時(shí)等號(hào)成立. 答案:-1 【易錯(cuò)提醒】本題易忽略判斷對(duì)稱軸的取值范圍,正弦函數(shù)的有界性以及不等式的等號(hào)能否取到. 三、解答題(每小題10分,共40分) 9.已知向量a=(cos x,sin x+cos x),b=(cos x-sin x,-sin x),f(x)=a·b. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (

8、2)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的取值范圍. 【解析】(1)f(x)=a·b =cos x(cos x-sin x)+(sin x+cos x)·(-sin x) =cos2x-sin2x-2sin xcos x =cos 2x-sin 2x=2cos, π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ?+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以單調(diào)遞增區(qū)間為:(k∈Z). (2)由(1)得:f(x)=2cos, 因?yàn)閤∈, 所以2x∈?2x+∈, 所以cos∈, 所以f(x)=2cos∈[-,2]. 10.已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0

9、),函數(shù)f(x)=m·n+,直線x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為. (1)求ω的值. (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (3)若f(α)=,求sin的值. 【解析】(1)已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0),所以函數(shù)f(x)=m·n+=2sin ωx·cos ωx+sin ωx(-2sin ωx)+ =sin 2ωx-2sin2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin. 因?yàn)橹本€x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最

10、小值為, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為×2=π,即=π,得ω=1; (2)由(1)知,f(x)=2sin, 令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z; (3)由已知條件,得f(α)=2sin=, 所以sin=,cos2=, 所以cos 2=, 所以sin=sin =-cos 2=-. 11.已知函數(shù)f(x)=sin xcos,x∈R. (1)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,得到g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (2)若f(α)=-,且0<α<,求sin 2α的值. 【解析】(1)f(x

11、)=sin x =sin xcos x-sin2x=sin 2x- =- =sin-, 所以g(x)=sin-, 所以-+2kπ<2x-<+2kπ ?-+kπ

12、 x+cos x), 所以f=2cos =-2cos =2. (2)f(x)=2cos x(sin x+cos x) =2sin xcos x+2cos2x=sin+1, 得到T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決: f(x)=2cos x(sin x+cos x) =2sin xcos x+2cos2x=sin+1 (1)f=sin+1=2. (2)T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).

13、 (建議用時(shí):50分鐘) 1.(2018·泰安一模)將函數(shù)y=sin 2x的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得圖象過點(diǎn),則φ的最小值為 (　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】選C.移動(dòng)后y=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ)經(jīng)過點(diǎn),則sin=,解之得-2φ=+2kπ或-2φ=+2kπ,k∈Z, 所以φ=-kπ或φ=--kπ,k∈Z 因?yàn)棣?0,所以φ的最小值為. 【加固訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為P,在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q,則f的值為_____

14、___.? 【解析】f(x)=sin(ωx+φ),由題意得=-,所以T=π,所以ω=2,將點(diǎn)P代入f(x)=sin(2x+φ),得sin=1,所以φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin(x∈R),所以f=sin=1. 答案:1 2.函數(shù)f(x)=Asin(ω>0)的圖象與x軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,若要得到函數(shù)g(x)=Asin ωx的圖象,只要將f(x)的圖象 (　　) A.向左平移個(gè)單位　　　　　　 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位　　　　　 D.向右平移個(gè)單位 【解析】選D.正弦函數(shù)圖象與x軸相鄰交點(diǎn)橫坐標(biāo)相差為半個(gè)周

15、期,即d==,又因?yàn)閐=,所以ω=2,則f(x)=Asin=Asin,所以只要將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位就能得到g(x)=sin ωx的圖象. 3.(2018·濮陽(yáng)一模) 先將函數(shù)f(x)=sin x的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位,再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?其中ω∈N*),得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的最大值為__________.? 【解題指南】當(dāng)圖象是先平移再伸縮時(shí),注意是x前的系數(shù)改變,與φ無關(guān),函數(shù)在上單調(diào)遞增,即先求ωx+的范圍,其是函數(shù)y=sin x單調(diào)遞增區(qū)間的子集,求出ω的范圍,確定最大值. 【解析】g(x)=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增,

16、 所以有即12k-4≤ω≤8k+,k∈Z, 由12k-4≤8k+可得k≤, 當(dāng)k=1時(shí),ω∈,所以正整數(shù)ω的最大值是9. 答案:9 4.如圖,M(xM,yM),N(xN,yN)分別是函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)的圖象與兩條直線l1:y=m(A≥m≥0),l2:y=-m的兩個(gè)交點(diǎn),|xM-xN|=________.? 【解題指南】設(shè)出另外兩個(gè)交點(diǎn)和對(duì)稱軸,根據(jù)對(duì)稱性求解. 【解析】如圖所示,作曲線y=f(x)的對(duì)稱軸x=x1,x=x2,點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于直線x=x1對(duì)稱,點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線x=x2對(duì)稱, 所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2 ,所以x

17、D=2x1-xM,xC=2x2-xN,又點(diǎn)M與點(diǎn)C,點(diǎn)D與點(diǎn)N都關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱, 所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB, 所以xM-xN=2(xB-x2)=-, 所以|xM-xN|==. 答案: 5.已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-. (1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值. (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】(1)因?yàn)?<α<,sin α=,所以cos α=, 所以f(α)=-=. (2)因?yàn)閒(x)=sin xcos x+cos2x- =sin 2x+- =sin 2x+cos 2x =

18、sin, 所以T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 6.已知函數(shù)f(x)=sin圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為,且在x=時(shí)取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式. (2)當(dāng)x∈時(shí),若方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍. 【解析】(1)=?T=π?=π?ω=2, 所以sin=sin=1, 所以+φ=2kπ+,k∈Z, 所以φ=2kπ+,k∈Z, 因?yàn)?≤φ≤,所以φ=, 所以f(x)=sin. (2)畫出該函數(shù)的圖象如圖,

19、當(dāng)≤a<1時(shí),方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,且點(diǎn)(x1,a)和(x2,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱,點(diǎn)(x2,a)和(x3,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以x1+x2=,π≤x3<,所以≤x1+x2+ x3<. 7.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對(duì)稱軸方程. (2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解α,β. ①求實(shí)數(shù)m的取值范圍; ②證明:cos(α-β)=-1. 【解析】(1

20、)將g(x)=cos x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cos x的圖象,再將y=2cos x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2cos的圖象,故f(x)=2sin x, 從而函數(shù)f(x)=2sin x圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ+(k∈Z). (2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x = =sin(x+φ) 依題意,sin(x+φ)=在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解α,β,當(dāng)且僅當(dāng)<1,故m的取值范圍是(-,). ② 因?yàn)棣?β是方程sin(x+φ)=m在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個(gè)不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=. 當(dāng)1≤m<時(shí),α+β=2, 即α+φ=π-(β+φ); 當(dāng)-