2022年高考數學二輪復習 專題九 選做大題 專題突破練25 坐標系與參數方程 文

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1、2022年高考數學二輪復習 專題九 選做大題 專題突破練25 坐標系與參數方程 文 1.(2018山西呂梁一模,22)直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數),曲線C2:+y2=1. (1)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,求C1,C2的極坐標方程; (2)射線θ=(ρ≥0)與C1異于極點的交點為A,與C2的交點為B,求|AB|. 2.(2018湖南衡陽二模,理22)已知直線l的參數方程為(其中t為參數),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2-2mρcos θ-4=

2、0(其中m>0). (1)若點M的直角坐標為(3,3),且點M在曲線C內,求實數m的取值范圍; (2)若m=3,當α變化時,求直線l被曲線C截得的弦長的取值范圍. 3.(2018全國卷1,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 4.在直角坐標系

3、xOy中,曲線C1:(t為參數,t≠0),其中 0≤α<π.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標; (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. 5.(2018山東濰坊一模,22)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(t為參數,0≤α<π),在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ2=. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)設點M的坐標為(1,0),直線l與曲線C相交于A,B兩點,求

4、的值. 6.在直角坐標系xOy中,直線l1的參數方程為(t為參數),直線l2的參數方程為(m為參數).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. 7.(2018河北唐山三模,22)點P是曲線C1:(x-2)2+y2=4上的動點,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,以極點

5、O為中心,將點P逆時針旋轉90°得到點Q,設點Q的軌跡方程為曲線C2. (1)求曲線C1,C2的極坐標方程; (2)射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,定點M(2,0),求△MAB的面積. 8.在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),直線l的參數方程為(t為參數). (1)若a=-1,求C與l的交點坐標; (2)若C上的點到l距離的最大值為,求a. 參考答案 專題突破練25　坐標系與 參數方程(選修4—4) 1.解 (1)曲線C1:(

6、α為參數),化為普通方程為x2+y2=2x,所以曲線C1的極坐標方程為ρ=2cos θ, 曲線C2的極坐標方程為ρ2(1+2sin2θ)=3. (2)射線θ=(ρ≥0)與曲線C1的交點的極徑為ρ1=2cos=1, 射線θ=(ρ≥0)與曲線C2的交點的極徑滿足(1+2sin2=3, 解得ρ2=, 所以|AB|=|ρ1-ρ2|=-1. 2.解 (1)由得曲線C對應的直角坐標方程為(x-m)2+y2=m2+4. 由點M在曲線C的內部, ∴(3-m)2+9

7、-4=0,設直線l與曲線C的兩個交點對應的極徑分別為ρ1,ρ2,ρ1+ρ2=6cos α,ρ1ρ2=-4,則直線l截得曲線C的弦長為|ρ1-ρ2|=∈[4,2].即直線l被曲線C截得的弦長的取值范圍是[4,2]. 3.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C

8、2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點. 當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=,經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點. 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 4.解 (1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0. 聯立 解得所以C2與C3交點的直角坐標為(

9、0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4. 當α=時,|AB|取得最大值,最大值為4. 5.解 (1)曲線ρ2=,即ρ2+ρ2sin2θ=2, ∵ρ2=x2+y2,ρsin θ=y, ∴曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=2即+y2=1. (2)將代入x2+2y2=2并整理得(1+sin2α)t2+2tcos β-1=0, ∴t1+t2=-,t1·t2=, ∴, ∵|t1-t2|=, ∴=2. 6.解

10、(1)消去參數t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 設P(x,y),由題設得消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯立 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-, 從而cos2θ=,sin2θ=. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為. 7.解 (1)曲線C1的極坐標方程為ρ=4cos θ. 設Q(ρ,θ),則Pρ,θ-, 則有ρ=4c

11、osθ-=4sin θ. 所以,曲線C2的極坐標方程為ρ=4sin θ. (2)M到射線θ=的距離為d=2sin,|AB|=ρB-ρA=4sin-cos=2(-1),則S=|AB|×d=3-. 8.解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由解得 從而C與l的交點坐標為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為d=. 當a≥-4時,d的最大值為 . 由題設得,所以a=8; 當a<-4時,d的最大值為. 由題設得,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16.