2022年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 第4講 萬有引力與航天學(xué)案

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1、2022年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 第4講 萬有引力與航天學(xué)案 【知識(shí)點(diǎn)1】　開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律　Ⅰ 1．定律內(nèi)容 開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 開普勒第二定律：對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間掃過相等的面積。 開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即＝k。 2．使用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞相同中心天體的運(yùn)動(dòng)，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星。 【知識(shí)點(diǎn)2】　萬有引力定律及應(yīng)用?、? 1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小與兩物體的質(zhì)量

2、的乘積成正比，與兩物體間距離的二次方成反比。 2．公式：F＝G，其中G為萬有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測得。公式中的r是兩個(gè)物體之間的距離。 3．使用條件：適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或均勻球體球心間的距離。 【知識(shí)點(diǎn)3】　環(huán)繞速度　Ⅱ 1．第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數(shù)值為7.9 km/s。 2．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度。 3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。 4．第一宇宙速度的計(jì)算方法。 (1)由G＝m，解得：v＝； (2)由mg＝

3、m解得：v＝。 【知識(shí)點(diǎn)4】　第二宇宙速度和第三宇宙速度?、? 1．第二宇宙速度(脫離速度) 使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2 km/s。 2．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7 km/s。 【知識(shí)點(diǎn)5】　經(jīng)典時(shí)空觀和相對論時(shí)空觀?、? 1．經(jīng)典時(shí)空觀 (1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量不隨運(yùn)動(dòng)速度改變； (2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時(shí)間的測量結(jié)果在不同的參考系中是相同的。 2．相對論時(shí)空觀 (1)在狹義相對論中，物體的質(zhì)量隨物體的速度的增加而增加，用公式表示為m＝； (2)在狹義相對論中，

4、同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時(shí)間的測量結(jié)果在不同的參考系中是不同的。 板塊二　考點(diǎn)細(xì)研·悟法培優(yōu) 考點(diǎn)1開普勒第三定律[深化理解] 1．微元法解讀開普勒第二定律，行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)速度方向與連線垂直，若行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時(shí)間Δt，則行星在Δt時(shí)間內(nèi)可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。 2．開普勒第三定律雖然是對行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的總結(jié)，但實(shí)踐表明該定律也適用于其他天體的運(yùn)動(dòng)，如月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星(或人造衛(wèi)星)繞行星的運(yùn)動(dòng)。 3．天體雖做橢圓運(yùn)動(dòng)，但它

5、們的軌道十分接近圓。為簡化運(yùn)算，一般把天體的運(yùn)動(dòng)當(dāng)成勻速圓周運(yùn)動(dòng)來研究，橢圓的半長軸即為圓的半徑。則天體的運(yùn)動(dòng)遵從牛頓運(yùn)動(dòng)定律及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，如v＝ωr，F(xiàn)＝ma＝＝mrω2等。 例1　如圖所示，某行星沿橢圓軌道運(yùn)行，遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽的距離為a，近日點(diǎn)離太陽的距離為b，過遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)行星的速率為va，則過近日點(diǎn)時(shí)的速率為(　　) A．vb＝va B．vb＝va C．vb＝va D．vb＝va 該題涉及開普勒哪條定律？其內(nèi)容是什么？ 提示：開普勒第二定律。對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。 嘗試解答　選C。 若行星從軌道的A點(diǎn)經(jīng)足夠短的時(shí)間t運(yùn)動(dòng)

6、到A′點(diǎn)，則與太陽的連線掃過的面積可看作扇形，其面積SA＝；若行星從軌道的B點(diǎn)也經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到B′點(diǎn)，則與太陽的連線掃過的面積SB＝；根據(jù)開普勒第二定律得＝，即vb＝va，C正確。 總結(jié)升華 繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行的行星在近日點(diǎn)線速度最大，越靠近近日點(diǎn)線速度越大，線速度大小與行星到太陽的距離成反比。 　木星的公轉(zhuǎn)周期約為12年，若把地球到太陽的距離作為1天文單位，則木星到太陽的距離約為(　　) A．2天文單位 B．4天文單位 C．5.2天文單位 D．12天文單位 答案　C 解析　木星、地球都環(huán)繞太陽按橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近似計(jì)算時(shí)可當(dāng)成圓軌道處理，因此它們到太陽的距離可當(dāng)成是繞太陽公轉(zhuǎn)的

7、軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律＝得r木＝·r地≈5.2天文單位。 考點(diǎn)2天體質(zhì)量和密度的估算[拓展延伸] 1．自力更生法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。 (1)由G＝mg得天體質(zhì)量M＝。 (2)天體密度ρ＝＝＝。 2．借助外援法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。 (1)由G＝m得天體的質(zhì)量M＝。 (2)若已知天體的半徑R，則天體的密度 ρ＝＝＝。 (3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。 例2　[2017·邢臺(tái)市四模]為研究太陽系內(nèi)行星的

8、運(yùn)動(dòng)，需要知道太陽的質(zhì)量，已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T。則太陽的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. (1)知道地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T和太陽與地球中心間距r，能求太陽質(zhì)量嗎？ 提示：能。利用＝mr。 (2)太陽質(zhì)量的四個(gè)選項(xiàng)中沒有引力常量G，可以考慮用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g＝。 嘗試解答　選D。 地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，有＝mr，所以M＝，地球表面物體m0的重力來源于萬有引力，有＝m0g，所以G＝，把G代入M＝，得M＝＝，D正確。 總結(jié)升華 估算天體質(zhì)

9、量和密度時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)利用萬有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。 (2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝πR3中的R只能是中心天體的半徑。 1.若已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)可近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并且已知月球的軌道半徑為r，它繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，引力常量是G，由此可以知道(　　) A．月球的質(zhì)量m＝ B．地球的質(zhì)量M＝ C．月球的平均密度ρ＝ D．地球的平均密度ρ′＝ 答案　B 解析　對月球有＝r，可得地球質(zhì)量M＝，月球質(zhì)量無法求出，其密度也無法計(jì)算，故B正確，

10、A、C錯(cuò)誤；因不知道地球自身半徑，故無法計(jì)算密度，故D錯(cuò)誤。 2．[2017·唐山一模]美國航天局與歐洲航天局合作，發(fā)射的火星探測器已經(jīng)成功登錄火星。荷蘭企業(yè)家巴斯蘭斯多普發(fā)起的“火星一號(hào)”計(jì)劃打算將總共24人送上火星，創(chuàng)建一塊長期殖民地。若已知萬有引力常量G，那么在下列給出的各種情景中，能根據(jù)測量的數(shù)據(jù)求出火星密度的是(　　) A．在火星表面使一個(gè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，測出落下的高度H和時(shí)間t B．火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測出運(yùn)行周期T C．火星探測器在高空繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測出距火星表面的高度H和運(yùn)行周期T D．觀察火星繞太陽的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測出火星的直徑D和運(yùn)行

11、周期T 答案　B 解析　由＝mg，ρ＝得：ρ＝，由H＝gt2得出g，卻不知火星半徑，A錯(cuò)誤。由＝mr，ρ＝得：ρ＝。當(dāng)r＝R時(shí)ρ＝，B正確，不知火星半徑，C錯(cuò)誤。D選項(xiàng)中心天體是太陽，據(jù)給出的數(shù)據(jù)無法計(jì)算火星質(zhì)量，也就不能計(jì)算火星密度，故D錯(cuò)誤。 考點(diǎn)3人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[深化理解] 1．人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 (1)一種模型：無論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質(zhì)點(diǎn)，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (2)兩條思路 ①萬有引力提供向心力，即G＝ma。 ②天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分別是

12、天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換”。 (3)地球衛(wèi)星的運(yùn)行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓) 物理量 推導(dǎo)依據(jù) 表達(dá)式 最大值或最小值 線速度 G＝m v＝ 當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 當(dāng)r＝R時(shí)有最大值 周期 G＝m2r T＝2π 當(dāng)r＝R時(shí)有最小值，約85 min 向心 加速度 G＝ma向 a向＝ 當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，最大值為a＝g 軌道 平面 圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與中心天體中心重合 共性：半徑越小，運(yùn)動(dòng)越快，周期越小 2．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn) (1)軌道平面一定：軌道

13、平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h＝86400 s。 (3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。 (4)高度一定：據(jù)G＝mr得r＝＝4.23×104 km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。 (5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。 3．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星 (1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。 (2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s。 (3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。 例3　

14、[2017·廣東深圳一模]人造衛(wèi)星a的圓形軌道離地面高度為h，地球同步衛(wèi)星b離地面高度為H，h

15、2π時(shí)，a會(huì)再次通過c的上方，即ωat－ωct＝2π。 嘗試解答　選C。 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空。繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的線速度為v，則G＝m，所以v＝，可知a、b衛(wèi)星的線速度大小之比為，故A錯(cuò)誤；設(shè)衛(wèi)星的角速度為ω，G＝mω2r，得ω＝，所以有＝，又由于衛(wèi)星b的角速度與物體c的角速度相同，所以＝，故B錯(cuò)誤；根據(jù)a＝ω2r可得＝，故C正確；設(shè)經(jīng)過時(shí)間t衛(wèi)星a再次通過建筑物c上方，有(ωa－ωc)t＝2π，得t＝＝＝，故D錯(cuò)誤。 總結(jié)升華 人造衛(wèi)星問題的解題

16、技巧 (1)利用萬有引力提供向心加速度的不同表述形式。 G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。 (2)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運(yùn)行的最大速度，軌道半徑r近似等于地球半徑 v＝＝7.9 km/s 萬有引力近似等于衛(wèi)星的重力，即 mg＝m，v＝＝7.9 km/s (3)同步衛(wèi)星：抓?、倬哂刑囟ǖ木€速度、角速度和周期。②具有特定的位置高度和軌道半徑。③運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方特定的點(diǎn)上。 比較衛(wèi)星與地球有關(guān)的物理量時(shí)可以通過比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來確定。如例題中C選項(xiàng)求衛(wèi)星a與地面建筑物c的角速度的比值。 　[2017·湖

17、北七市一模]嫦娥三號(hào)攜帶玉兔號(hào)月球車首次實(shí)現(xiàn)月球軟著陸和月面巡視勘察，并開展月表形貌與地質(zhì)構(gòu)造調(diào)查等科學(xué)探測。玉兔號(hào)在地球表面的重力為G1，在月球表面的重力為G2；地球與月球均視為球體，其半徑分別為R1、R2；地球表面重力加速度為g。則(　　) A．月球表面的重力加速度為 B．地球與月球的質(zhì)量之比為 C．月球與地球的第一宇宙速度之比為 D．嫦娥三號(hào)環(huán)繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π 答案　D 解析　玉兔號(hào)的質(zhì)量為m＝，所以月球表面的重力加速度為g′＝＝，A錯(cuò)誤；根據(jù)黃金代換公式GM＝gR2，可得＝＝，B錯(cuò)誤；第一宇宙速度v＝，所以在月球上與地球上的第一宇宙速度之比為＝，C錯(cuò)誤

18、；根據(jù)萬有引力提供向心力G＝mr，嫦娥三號(hào)環(huán)繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以軌道半徑等于月球半徑R2，代入得T＝2π，D正確。 考點(diǎn)4航天器的變軌問題[拓展延伸] 1．衛(wèi)星變軌原理 當(dāng)衛(wèi)星開啟、關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或受空氣阻力作用時(shí)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行： (1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時(shí)，Gm，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)

19、定運(yùn)行時(shí)，由v＝可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)大。 衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。 2．衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析 如圖所示： (1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為v2、v3，在P點(diǎn)加速，則v2>v1；在Q點(diǎn)加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點(diǎn)到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離，所以aQ

20、期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由＝k可知T1

21、的周期 C．“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度 D．“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速率可能小于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速率 (1)如何比較圓軌道的周期和橢圓軌道的周期？ 提示：據(jù)開普勒第三定律，比較半徑與半長軸。 (2)如何比較橢圓軌道不同地點(diǎn)的加速度？ 提示：只需看距地心的距離，a＝。 嘗試解答　選BC。 “嫦娥三號(hào)”在距離月面高度為100 km的圓軌道上運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據(jù)開普勒定律，“嫦娥三號(hào)”在距離月面高度100 km的圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ

22、上運(yùn)動(dòng)的周期，選項(xiàng)B正確；由于在Q點(diǎn)“嫦娥三號(hào)”離月球近，所受萬有引力大，所以“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度，選項(xiàng)C正確；“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道上由遠(yuǎn)月點(diǎn)P向近月點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力做正功，速率增大，所以“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速率一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速率，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 總結(jié)升華 航天器變軌問題的三點(diǎn)注意事項(xiàng) (1)航天器變軌時(shí)半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度變化由v＝判斷。兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度不相等，同一橢圓上近地點(diǎn)的線速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度。如例題中的D選項(xiàng)。 (2)

23、航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。 從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)，萬有引力對衛(wèi)星做正功，動(dòng)能Ek增大，引力勢能減小。 (3)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同。 　[2017·四川宜賓一診]按照我國整個(gè)月球探測活動(dòng)的計(jì)劃，在第一步“繞月”工程圓滿完成各項(xiàng)目標(biāo)和科學(xué)探測任務(wù)后，第二步是“落月”工程。假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船沿距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B時(shí)再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)。下列判斷正確的是(　　) A．飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率v＝ B．飛船在A點(diǎn)處

24、點(diǎn)火變軌時(shí)，動(dòng)能增大 C．飛船從A到B運(yùn)行的過程中機(jī)械能增大 D．飛船在軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間T＝π 答案　A 解析　飛船在軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)，萬有引力提供向心力，＝m，得v＝，又因?yàn)閙g0＝，得GM＝g0R2；聯(lián)立得v＝，故A正確。飛船在A點(diǎn)點(diǎn)火變軌到較低軌道，應(yīng)向前噴氣，噴氣過程速度變小，動(dòng)能變小，故B錯(cuò)誤。在Ⅱ軌道上從A到B運(yùn)行的過程中只有萬有引力做功，機(jī)械能守恒，故C錯(cuò)誤。飛船在Ⅲ軌道上運(yùn)行時(shí)＝mR，得T＝，把GM＝g0R2代入，得T＝2π，故D錯(cuò)誤。 1.模型構(gòu)建 在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點(diǎn)做角速度、周期相同的勻

25、速圓周運(yùn)動(dòng)的恒星稱為雙星。 2．模型條件 (1)兩顆星彼此相距較近。 (2)兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (3)兩顆星繞同一圓心做圓周運(yùn)動(dòng)。 3．模型特點(diǎn) (1)“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供。 (2)“周期、角速度相同”——兩顆恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相等。 (3)三個(gè)反比關(guān)系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2 推導(dǎo)：根據(jù)兩球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2兩邊同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1

26、＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。 (4)巧妙求質(zhì)量和：＝m1ω2r1① ＝m2ω2r2② 由①＋②得：＝ω2L ∴m1＋m2＝ [2013·山東高考]雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為(　　) A. T B. T C. T D. T [答案]　B [解析]　如圖

27、所示，設(shè)兩恒星的質(zhì)量分別為M1和M2，軌道半徑分別為r1和r2。根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律可得＝M12r1，＝M22r2，解得＝2①，當(dāng)兩星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，它們之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，有＝2②，聯(lián)立①②兩式可得T′＝T，故B項(xiàng)正確。 名師點(diǎn)睛 解答雙星問題應(yīng)注意“兩等”“兩不等” (1)“兩等” ①它們的角速度相等。 ②雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的。 (2)“兩不等” ①雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是它們連線上的一點(diǎn)，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。

28、②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等。 (多選)宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。若AO>OB，則(　　) A．星球A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量 B．星球A的線速度一定大于B的線速度 C．雙星間距離一定，雙星的質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大 D．雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大 答案　BD 解析　設(shè)雙星質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑為RA、RB兩者間距為L，周期為T，角速度為ω，由萬有引力定律可知：＝mAω2RA?、?，＝mBω2RB　②，RA＋RB＝L?、?，由①②式可得＝，而AO>OB，故mARB，則vA>vB，B正確。聯(lián)立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，又因?yàn)門＝，可知D正確，C錯(cuò)誤。