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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 壓軸題提分練(一)文
1.(2018·威海模擬) 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且過點(diǎn)P(,),動(dòng)直線l:y=kx+m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A,B,且·=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓C的方程.
(2)討論3m2-2k2是否為定值?若為定值,求出該定值,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析:(1)由題意可知=,所以a2=2c2=2(a2-b2),即a2=2b2,①
又點(diǎn)P(,)在橢圓上,所以有+=1,②
由①②聯(lián)立,解得b2=1,a2=2,
故所求的橢圓方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由·=0,
2、
可知x1x2+y1y2=0.
聯(lián)立方程組
消去y化簡(jiǎn)整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
由Δ=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)>0,得1+2k2>m2,所以x1+x2=-,x1x2=,③
又由題知x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,
整理為(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
將③代入上式,得(1+k2)-km·+m2=0.
化簡(jiǎn)整理得=0,從而得到3m2-2k2=2.
2.(2018·南寧二中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
3、
(2)設(shè)φ(x)=2x+(a2-a)ln x,記h(x)=f(x)+φ(x),當(dāng)a>0時(shí),若方程h(x)=m(m∈R)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1,x2,證明h′>0.
解析:(1)由f(x)=-a2ln x+x2-ax,可知f′(x)=-+2x-a==.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以,
①若a>0,當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
②若a=0時(shí),f′(x)=2x>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
③若a<0,當(dāng)x∈(0,-)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)
4、x∈(-,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
(2)證明:由題可知h(x)=f(x)+φ(x)=x2+(2-a)x-aln x(x>0),
所以h′(x)=2x+(2-a)-==.
所以當(dāng)x∈(0,)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x=時(shí),h′()=0.
欲證h′()>0,只需證h′()>h′(),又h″(x)=2+>0,即h′(x)單調(diào)遞增,故只需證明>.
設(shè)x1,x2是方程h(x)=m的兩個(gè)不相等的實(shí)根,不妨設(shè)為0<x1<x2,
則
兩式相減并整理得a(x1-x2+ln x1-ln x2)=x-x+2x1-2x2,
從而a=,
故只需證明>,
即x1+x2>.(*)
因?yàn)閤1-x2+ln x1-ln x2<0,
所以(*)式可化為ln x1-ln x2<,
即ln<.
因?yàn)?<x1<x2,所以0<<1,
不妨令t=,所以得到ln t<,t∈(0,1).
記R(t)=ln t-,t∈(0,1),所以R′(t)=-=≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立,因此R(t)在(0,1)單調(diào)遞增.
又R(1)=0,因此R(t)<0,t∈(0,1),
故lnt<,t∈(0,1)得證,
從而h′()>0得證.