4、)＝F(b)－F(a)．
三、定積分在物理中的應(yīng)用
變速直線運動
作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即v(t)dt.
變力做功
如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a＜b)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx.
1．已知質(zhì)點的速度v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是( )
A．10t B．5t
C.t D.t
【解析】 S＝vdt＝10tdt＝5t2t00＝5t.
5、
【答案】 B
2．求曲線y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是( )
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
【解析】 由得或，
∴S＝(x－x2)dx，故選B.
【答案】 B
3．設(shè)f(x)＝，則－1f(x)dx的值是( )
A.－1x2dx B.－12xdx
C.－1x2dx＋2xdx D.－12xdx＋x2dx
【解析】 由分段函數(shù)的定義及積分運算性質(zhì)，
∴－1f(x)dx＝－12xdx＋x2dx.
【答案】 D
4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，則f(x)d
6、x＝________.
【解析】 ∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝1＋f(x)dx＝－1，
∴f(x)dx＝－2.
【答案】?。?
5．(xx·湖北高考)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【解析】 由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，
此期間行駛的距離為v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln 5.
7、
【答案】 C
6．(xx·湖南高考)若x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________．
【解析】 ∵x2dx＝x3＝＝9，∴T＝3.
【答案】 3
考向一 [044] 定積分的計算
(1)(xx·西安模擬)若∫0(sin x＋acos x)dx＝2，則實數(shù)a等于( )
A．－1 B．1
C. D．－
(2)定積分dx的值為( )
A．9π B．3π
C.π D.π
(3)設(shè)f(x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為________．
【思路點撥】 (1)尋求使F′(x)＝sin x＋acos x的F(x)，運用
8、微積分基本定理求值；
(2)利用定積分的幾何意義求解；
(3)f(x)是分段函數(shù)，故根據(jù)定積分的性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化為兩個定積分和的形式求解．
【嘗試解答】 (1)∵(asin x－cos x)′＝sin x＋acos x.
∴∫0(sin x＋acos x)dx＝(asin x－cos x)0
＝－(asin 0－cos 0)＝a＋1＝2.
∴a＝1.
(2)由定積分的幾何意義知，dx是由曲線y＝，直線x＝0，x＝3，y＝0圍成的封閉圖形的面積，故dx＝＝，故選C.
(3)∵f(x)＝，
∴f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋ln e＝.
【答案】 (1)B
9、(2)C (3),
規(guī)律方法1 1.用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù).此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加.
2.根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分.
3.若y＝f(x)為奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0.
對點訓(xùn)練 (1)|1－x|dx＝________.
(2)－1dx＝________.
【解析】 (1)|1－x|dx＝|1－x|dx＋|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋＝1.
(2)由定積分的幾何意義知，－1dx是由曲線y＝，直線x＝－
10、1，x＝0，y＝0圍成的封閉圖形的面積，故－1dx＝＝.
【答案】 (1)1 (2)
考向二 [045] 利用定積分求平面圖形的面積
(1)(xx·煙臺模擬)如圖2－13－2，設(shè)OABC是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，則矩形OABC內(nèi)位于函數(shù)y＝(x＞0)圖象下方的陰影部分區(qū)域面積為( )
圖2－13－2
A．ln 2 B．1－ln 2
C．2－ln 2 D．1＋ln 2
(2)(xx·廣州模擬)曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________.
【思路點撥】 (1)→→
(2)先求交點坐標(biāo)，確定積分區(qū)間，再利用定
11、積分的幾何意義求面積．
【嘗試解答】 (1)如圖，過D作DE⊥x軸于點E，由圖可知，S陰影＝SOEDC＋ dx＝×2＋ln x＝1＋ln 2.
(2)由得或
則曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊梯形的面積為
(kx－x2)dx＝＝－k3＝，
即k3＝8，∴k＝2.
【答案】 (1)D (2)2
規(guī)律方法2 1.求曲邊圖形面積的方法與步驟,(1)畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；
(2)對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；
(3)確定被積函數(shù)；
(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.
2.利用定積分求曲邊圖形面積時
12、，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時，要分不同情況討論.
對點訓(xùn)練 (1)(xx·貴陽模擬)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B．1 C. D.
圖2－13－3
(2)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖2－13－3所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為________．
【解析】 (1)由題意知S＝∫－cos xdx＝sin x－＝－＝.
(2)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，
13、
∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或a(a＜0)．
S陰影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，∴a＝－1.
【答案】 (1)D (2)－1
考向三 [046] 定積分物理意義的應(yīng)用
物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時間t(s)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路點撥】 利用定積分分別計算出物體A、B行駛的路程，然后利用它們之間的關(guān)系求解．
【嘗試解答】 因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為
14、(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt，所以
(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故選C.
【答案】 C
規(guī)律方法3 利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求.
對點訓(xùn)練 設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為________J(x的單位：m，力的單位：N
15、)．
【解析】 由題意知變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為
∫(x2＋1)dx＝＝342.
【答案】 342
易錯易誤之五 定積分的幾何意義不明不白
———[1個示范例] ——— [1個防錯練] ———
(2011·課標(biāo)全國卷)由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為( )
A. B．4
C. D．6
【解析】 作出曲線y＝，直線y＝x－2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積．
由得交點A(4,2)．
因此y＝與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為
[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx
此處在求解時，常因不理解定積分的幾何意
16、義，導(dǎo)致不能將封閉圖形的面積正確地用定積分表示.
＝＝×8－×16＋2×4＝.
【防范措施】 由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進行細(xì)化分段，然后根據(jù)圖象對各個區(qū)段分別求面積進而求和，在每個區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時更改積分的上下限.
求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積．
【解】 法一 畫出草圖，如圖所示．
解方程組，
及，
得交點分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二 若選積分變量為y，則三個函數(shù)分別為
x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y.
因為它們的交點分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以S＝－1[(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy
＝－1(2＋2y)dy＋0(2－y－y2)dy
＝(2y＋y2)＋
＝－(－2＋1)＋2－－
＝.
2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第16講 定積分與微積分基本定理練習(xí) 新人教A版
