2022版高中數(shù)學(xué) 第1章 計數(shù)原理學(xué)業(yè)水平達標檢測 新人教B版選修2-3

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1、2022版高中數(shù)學(xué) 第1章 計數(shù)原理學(xué)業(yè)水平達標檢測 新人教B版選修2-3 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．從4雙不同的鞋中任取4只，結(jié)果都不成雙的取法有(　　) A．24　B．16 C．44 D．24×16 答案：B 2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D 3．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．60種 B．63種 C．65種 D．66種

2、 答案：D 4．從集合M＝{0,1,2}到集合N＝{2,3,4,5}的不同映射的個數(shù)是(　　) A．81個 B．64個 C．24個 D．12個 答案：B 5．編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(　　) A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 答案：C 6．從5位男數(shù)學(xué)教師和4位女數(shù)學(xué)教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都有，則不同的選派方案共有(　　) A．210 B．420 C．630 D．840 答案：B 7．若C＝C(n∈N*)

3、，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝(　　) A．81 B．16 C．8 D．1 解析：根據(jù)題意，由于C＝C(n∈N*)，所以2n＋6＝n＋2(舍)，2n＋6＋n＋2＝20，可知n＝4，那么當x＝－1時可知等式左邊為34＝81，那么右邊表示的為a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81. 答案：A 8．從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 解析：由于lga－lgb＝lg，從1,3,5,7,9中取

4、出兩個不同的數(shù)進行排列共有A＝20種，而得到相同值的是1,3與3,9以及3,1與9,3兩組，所以滿足題意的共有18組，故選C. 答案：C 9．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有(　　) A．36種 B．30種 C．42種 D．60種 解析：方法一(直接法)：選出的3名志愿者中含1名女生有C·C種選法，含2名女生有C·C種選法，所以共有CC＋CC＝36種選法． 方法二(間接法)：若選出的3名全是男生，則有C種選法，所以至少有一名女生的選法數(shù)為C－C＝36種． 答案：A 10．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且

5、只有兩位女生相鄰，則不同的排法的種數(shù)是(　　) A．360 B．288 C．216 D．96 解析：先排三個男生有A＝6種不同的方法，然后再從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，(A共有CA＝6種不同排法)，剩下一名女生記作B，讓A，B插入男生旁邊4個位置的兩個位置有A＝12，此時共有6×6×12＝432種，又男生甲不在兩端，其中甲在兩端的情況有：2A×6×A＝144種不同的排法，所以共有432－144＝288種不同排法． 答案：B 11．世界杯參賽球隊共32支，現(xiàn)分成8個小組進行單循環(huán)賽，決出16強(各組的前2名小組出線)，這16個隊按照確定的程序進行淘汰賽，決出8強，再決出

6、4強，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進行的總場數(shù)為(　　) A．64 B．72 C．60 D．56 解析：先進行單循環(huán)賽，有8C＝48場，再進行第一輪淘汰賽，16個隊打8場，再決出4強，打4場，再分別舉行2場決出勝負，兩勝者打1場決出冠、亞軍，兩負者打1場決出三、四名，共舉行：48＋8＋4＋2＋1＋1＝64場． 答案：A 12．從集合{1,2,3，…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程＋＝1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為(　　) A．43 B．72 C．86 D．90 解析：由題意知，當m＝1時，n可等

7、于2,3，…，8共對應(yīng)7個不同的橢圓；當m＝2時，n可等于1,3，…，8共對應(yīng)7個不同的橢圓．同理可得：當m＝3,4,5,6,7,8時各分別對應(yīng)7個不同的橢圓．當m＝9時，n可等于1,2,3，…，8共對應(yīng)8個不同的橢圓．綜上所述，共7×8＋8×2＝72個． 答案：B 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有__________個(用數(shù)字作答)． 解析：可以分情況討論： ①若末位數(shù)字為0，則1,2為一組，且可以交換位置，3,4各為1個數(shù)字，共可以組成2·A＝12個五位數(shù)； ②若末位數(shù)字為2

8、，則1與它相鄰，其余3個數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有2·A＝4個五位數(shù)； ③若末位數(shù)字為4，則1,2為一組，且可以交換位置，3,0各為1個數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有2·(2·A)＝8個五位數(shù)． 所以共有24個． 答案：24 14．四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有__________種(用數(shù)字作答) 解析：先從四個小球中取兩個放在一起，有C種不同的取法，再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有A種不同的放法，據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有C·A＝144種不同的放法． 答案：144 15．設(shè)二項式5的展

9、開式中常數(shù)項為A，則A＝________. 解析：Tr＋1＝C()5－r·r＝C·(－1)r·x·x＝C·(－1)r·x (r＝0,1，…，5)，令＝0，得r＝3，所以A＝C(－1)3＝－10. 答案：－10 16．一只電子螞蟻在如圖所示的網(wǎng)格線上由原點O(0,0)出發(fā)，沿向上或向右方向爬至點(m，n)(m，n∈N*)， 記可能的爬行方法總數(shù)為f(m，n)，則f(m，n)＝________. 解析：從原點O出發(fā)，只能向上或向右方向爬行，記向上為1，向右為0，則爬到點(m，n)需m個0和n個1.這樣爬行方法總數(shù)f(m，n)是m個0和n個1的不同排列方法數(shù)．m個0和n個1共占m＋n個

10、位置，只要從中選取m個放0即可．所以f(m，n)＝C. 答案：C 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)一個口袋里有5封信，另一個口袋里有4封信，各封信內(nèi)容均不相同． (1)從兩個口袋中任取一封信，有多少種不同的取法？ (2)從兩個口袋中各取一封信，有多少種不同的取法？ (3)把這兩個口袋里的9封信，分別投入4個郵筒，有多少種不同的投法？ 解析：(1)任取一封信，不論從哪個口袋里取，都能單獨完成這件事，因此是兩類辦法． 用分類加法計數(shù)原理，共有5＋4＝9(種)． (2)各取一封信，不論從哪個口袋中取，都

11、不能算完成了這件事，因此應(yīng)分兩個步驟完成，由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4＝20(種)． (3)第一封信投入郵筒有4種可能，第二封信仍有4種可能，…，第九封信還有4種可能．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有49種不同的投法． 18．(本小題滿分12分)二項式n的展開式中： (1)右n＝6，求倒數(shù)第二項． (2)若第5項與第3項的系數(shù)比為56∶3，求各項的二項式系數(shù)和． 解析：(1)二項式n的通項是Tr＋1＝C()n－rr，當n＝6時， 倒數(shù)第二項是T6＝C()6－5·5＝－192x－. (2)二項式n的通項是 Tr＋1＝C()n－rr， 則第5項與第3項分別為 T5＝C()n－44

12、， T3＝C()n－22， 所以它們的系數(shù)分別是16C和4C. 由于第5項與第3項的系數(shù)比為56∶3， 則16C∶4C＝56∶3，解得n＝10， 所以各項的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝210＝1 024. 19．(本小題滿分12分)某節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自四個不同的單位，分別在如圖中的A，B，C，D四個區(qū)域落座． 現(xiàn)有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同色服裝，且相鄰區(qū)域不能同色，不相鄰區(qū)域是否同色不受限制，則不同的著裝方法共有多少種？ 解析：當A，B，C，D四個區(qū)域的觀眾服裝顏色完全不相同時，有4×3×2×1＝24種不同的方法； 當A區(qū)與C區(qū)同色，B區(qū)和D區(qū)不同色且

13、不與A，C同色時，或B區(qū)，D區(qū)同色，A區(qū)，C區(qū)不同色且不與B，D同色時，有2×4×3×2＝48種不同的方法；當A區(qū)與C區(qū)同色，B區(qū)與D區(qū)也同色且不與A，C同色時，有4×3＝12種不同的方法． 由分類加法計數(shù)原理知共有24＋48＋12＝84種不同的著裝方法． 20．(本小題滿分12分)6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？ (1)任何2名女生都不相鄰有多少種排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？ (4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？ 解析：(1)任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先

14、排男生再讓女生插到男生的空中， 共有A·A＝604 800種不同排法． (2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有A種排法，當甲不在末位，則甲有A種排法，乙有A種排法，其余有A種排法，綜上共有(A＋AA·A)＝2 943 360種排法． 方法二：無條件排列總數(shù)A－ 甲不在首，乙不在末，共有A－2A＋A＝2 943 360種排法． (3)10人的所有排列方法有A種，其中甲、乙、丙的排序有A種，又對應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有＝604 800種． (4)男甲在男乙的左邊的10人排列與男甲在男乙的右邊的10人排列數(shù)相等，而10人排列數(shù)恰好是

15、這二者之和，因此滿足條件的有A＝1 814 400種排法． 21．(本小題滿分12分)已知n的展開式的各項系數(shù)之和等于5展開式中的常數(shù)項，求n的展開式中含a－1項的二項式系數(shù)． 解析：5的展開式的通項為Tr＋1＝C(4)5－rr＝r·45－rC·b (r＝0,1,2,3,4,5)． 若它為常數(shù)項，則＝0，所以r＝2，代入上式，所以T3＝27. 即常數(shù)項是27，從而可得n中n＝7， 同理7由二項展開式的通項公式知，含a－1的項是第4項，其二項式系數(shù)是C＝35. 22．(本小題滿分12分)某單位現(xiàn)有6名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生． (1)選3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，讓這5名醫(yī)生到5個不同地區(qū)去

16、醫(yī)療，共有多少種分派方法？ (2)把10名醫(yī)生分成兩組，每組5人且每組要有女醫(yī)生，則有多少種不同分法？ 解析：(1)分三步完成． 第一步：從6名男醫(yī)生中選3名有C種方法； 第二步，從4名女醫(yī)生中選2名有C種方法； 第三步，對選出的5人分配到5個地區(qū)有A種方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝CCA＝14 400(種)． (2)醫(yī)生的選法有以下兩類情況： 第一類：一組中女醫(yī)生1人，男醫(yī)生4人，另一組中女醫(yī)生3人，男醫(yī)生2人．共有CC種不同的分法； 第二類：兩組中人數(shù)都是女醫(yī)生2人男醫(yī)生3人．因為組與組之間無順序，故共有CC種不同的分法． 因此，把10名醫(yī)生分成兩組，每組5人且每組要有女醫(yī)生的不同的分法共有CC＋CC＝120種不同分法．