江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 3.2 大題考法—直線與圓講義（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 3.2 大題考法直線與圓講義（含解析）題型(一)直線與圓的位置關(guān)系 主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及復(fù)雜背景下直線、圓的方程.點(diǎn)B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直線方程為x7y20.(2)因?yàn)镽tABC斜邊中點(diǎn)為M(2,0)，所以M為RtABC外接圓的圓心又AM2，從而RtABC外接圓的方程為(x2)2y28.設(shè)P(a，b)，因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以該圓的半徑r，圓方程為(xa)2(yb)2r2.由于P與M相交，則公共弦所在直線m的方程為(42a)x2bya2b2r240.因?yàn)楣蚕议L為4，M半徑為2，所以M(2,0)到m的距離d2

2、，即2，化簡得b23a24a，所以r .當(dāng)a0時(shí)，r最小值為2，此時(shí)b0，圓的方程為x2y24.方法技巧解決有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的問題的方法(1)直線與圓的方程求解通常用的待定系數(shù)法，由于直線方程和圓的方程均有不同形式，故要根據(jù)所給幾何條件靈活使用方程(2)對直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)問題要用好直線基本量之一斜率，要注意優(yōu)先考慮斜率不存在的情況(3)直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系在處理時(shí)幾何法優(yōu)先，有時(shí)也需要用代數(shù)法即解方程組演練沖關(guān)已知以點(diǎn)C(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點(diǎn)

3、M，N，若OMON，求圓C的方程解：(1)證明：因?yàn)閳AC過原點(diǎn)O，所以O(shè)C2t2.設(shè)圓C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOAOB|2t|4，即OAB的面積為定值(2)因?yàn)镺MON，CMCN，所以O(shè)C垂直平分線段MN.因?yàn)閗MN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.當(dāng)t2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，OC，此時(shí)C到直線y2x4的距離d.圓C與直線y2x4不相交，所以t2不符合題意，舍去所以圓C的方程為(x2)2(y1)25.題型(二)圓中的定點(diǎn)、定值問題主要考查動(dòng)圓過定點(diǎn)的問題其本質(zhì)是含參方程恒有解，定值問題是引入?yún)?shù)，再利用其滿足的約

4、束條件消去參數(shù)得定值.典例感悟例2已知圓C：x2y29，點(diǎn)A(5,0)，直線l：x2y0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，存在定點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A)滿足：對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)解(1)設(shè)所求直線方程為y2xb，即2xyb0.因?yàn)橹本€與圓C相切，所以3，解得b3.所以所求直線方程為2xy30.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0)當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的左交點(diǎn)(3,0)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的右交點(diǎn)(3,0)時(shí)，.依題意，解得t或t5(舍去)下面證明點(diǎn)B對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)設(shè)P(x，y)，則y29

5、x2，所以.從而為常數(shù)法二：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290對x3,3恒成立，所以解得或(舍去)故存在點(diǎn)B對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為常數(shù).方法技巧關(guān)于解決圓中的定點(diǎn)、定值問題的方法(1)與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題最終可化為含有參數(shù)的動(dòng)直線或動(dòng)圓過定點(diǎn)解這類問題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出動(dòng)直線或動(dòng)圓的方程(2)與圓有關(guān)的定值問題，可以通過直接計(jì)算或證明，還可以通過特殊化，先猜出定值再給出證明演練沖關(guān)1已知圓C：(x3)2(y4)24，直線l1過定點(diǎn)A(

6、1,0)(1) 若l1與圓相切，求直線l1的方程；(2) 若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x2y20的交點(diǎn)為N，判斷AMAN是否為定值若是，則求出定值；若不是，請說明理由解：(1)若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x1，符合題意；若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為yk(x1)，即kxyk0.由題意知，圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2，即2，解得k，則l1：3x4y30.所求直線l1的方程是x1或3x4y30.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線l1方程為kxyk0.由得N.又因?yàn)橹本€CM與l1垂直，故可得M.所以AMAN6，為定

7、值故AMAN是定值，且為6.2已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.(1)若APB60，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD時(shí)，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)設(shè)P(2m，m)，因?yàn)锳PB60，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,0)或P.(2)易知直線CD的斜率存在，可設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或k，故

8、所求直線CD的方程為xy30或x7y90.(3)證明：設(shè)P(2m，m)，MP的中點(diǎn)Q，因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)22m22，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)(0,2)或.題型(三)與直線、圓有關(guān)的最值或范圍問題主要考查與直線和圓有關(guān)的長度、面積的最值或有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題. 典例感悟例3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為圓H.(1)若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對于線段BH上的任意一點(diǎn)

9、P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30.所以外接圓圓心H(0,3)，半徑為.圓H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓H截得的弦長為2，所以d3.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然符合題意，即x3為所求；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k.所以直線l的方程為y2(x3)，即4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2) 直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)因?yàn)辄c(diǎn)M是

10、線段PN的中點(diǎn)，所以M，又M，N都在半徑為r的圓C上，所以即因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m,4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2對任意的m0,1成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域?yàn)?，所以r2且109r2.又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，所以(m3)2(33m2)2r2對任意的m0,1成立，即r2.故圓C的半徑r的取值范圍為.方法技巧1隱形圓問題有些時(shí)候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程

11、), 從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題2隱形圓的確定方法(1)利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓；(2)動(dòng)點(diǎn)P 對兩定點(diǎn)A，B張角是90(kPAkPB1)確定隱形圓；(3)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓；(4)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2PB2是定值確定隱形圓；(5)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB(0，1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(6)由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓3與圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解策略與圓有關(guān)的最值或取值范圍問題的求解，要對問題條件進(jìn)行全方位的審視，特別是題中各個(gè)條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，要掌握解決問題常使用的

12、思想方法，如要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識，求最值或范圍，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值或范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求解演練沖關(guān)1.(2018蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點(diǎn)A(1,0)，B(1,2)(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2PB212？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由解：(1)因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y24，所以圓心C(2,0)，半徑為2.因?yàn)閘AB，A(1,0)，B(1,2)，所以直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為xym0，則圓心C到直線l的距離為d

13、.因?yàn)镸NAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)，則(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，x2(y1)24，因?yàn)閨22|0.由(2)知，k0也滿足題意所以k的取值范圍是.4已知過點(diǎn)A(1,0)的動(dòng)直線l與圓C：x2(y3)24相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x3y60相交于N.(1)求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過圓心C；(2)當(dāng)PQ2時(shí)，求直線l的方程；(3)探索是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由解：(1)l與m垂直，且km，kl3，故直線l方程為y3(x1)，即3xy30.圓心坐標(biāo)(0,3)滿足直線l方程，當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過圓心C.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)， 易知x1符合題意當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)， 設(shè)直線l的方程為yk(x1)，即kxyk0，PQ2，CM1，則由CM1，得k， 直線l：4x3y40. 故直線l的方程為x1或4x3y40.(3)CMMN，().當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得N，則，又(1,3)，5.當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，則由得N，則，5.綜上所述，與直線l的斜率無關(guān)，且5.