2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 壓軸大題搶分練1 文

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1、2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 壓軸大題搶分練1 文 1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上點M(3，m)到焦點F的距離為4. (1)求拋物線方程； (2)點P為準線上任意一點，AB為拋物線上過焦點的任意一條弦，設直線PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問是否存在實數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3恒成立．若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由． [解]　(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為，準線為x＝－， 由拋物線的定義可知：4＝3＋，p＝2， ∴拋物線方程為y2＝4x. (2)由于拋物線y2＝4x的焦點F為(1,0)，準線為x＝－1， 設直線AB：x＝my＋1

2、，與y2＝4x聯(lián)立，消去x，整理得： y2－4my－4＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，t)，有 易知k3＝－，而k1＋k2＝＋ ＝ ＝ ＝＝－t＝2k3， ∴存在實數(shù)λ＝2，使得k1＋k2＝λk3恒成立． 2．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋y2＝1，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求證：k1·k2＝－； (2)試探求△OPQ的面積S是否為定值？并說明理由． [解]　(1)∵k1，k2存在， ∴x1x2≠0， ∵m·n＝0，m＝，n＝， ∴

3、＋y1y2＝0， ∴k1·k2＝＝－. (2)①當直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時， 由＝－得，－y＝0， 又由P(x1，y1)在橢圓上，得＋y＝1， ∴|x1|＝，|y1|＝. ∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1. ②當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx＋b. 由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋y1y2＝0， ∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1， ∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1. 綜上可得，△POQ的面積S為定值． 3．已知f(x)＝

4、xln x. (1)求f(x)的最小值； (2)證明：對一切x∈(0，＋∞)都有l(wèi)n x＞－. [解]　(1)f′(x)＝1＋ln x，在上， f′(x)＜0，f(x)遞減，在上， f′(x)＞0，f(x)遞增，所以f(x)在x＝時，取得最小值f＝－. (2)要證：ln x＞－只需證：xln x＞－，因為f(x)＝xln x在(0，＋∞)最小值為－，所以構造函數(shù)g(x)＝－(x＞0)， g′(x)＝，因此g(x)在(0,1)遞增，在(1，＋∞)遞減，所以g(x)最大值為g(1)＝－，又因為f(x)與g(x)的最值不同時取得，所以f(x)＞g(x)， 即xln x＞－， 所以l

5、n x＞－. 4．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋＋a. (1)若曲線f(x)在x＝1處的切線l過點(－1,0)，求a的值及切線l的方程； (2)若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)＜0，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時方程f(x)＝0的實根個數(shù)． [解]　(1)因為f′(x)＝－＋2，所以f(1)＝a＋6，f′(1)＝2， 由曲線f(x)在x＝1處的切線過點(－1,0)，可得切線l的斜率k＝f′(1)＝，即＝2， 所以a＝－2，且切線l的方程為y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0. (2)由題可知：f′(x)＝(x＞0)，所以當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增． 若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)＜0，則x0＝1， 所以即 所以－ln 2－≤a＜－6， 所以實數(shù)a的取值范圍為. 結合f(x)在上單調遞減，在上單調遞增， 且f(1)＜0，f(2)≥0，f＝e3＋＋a＞0， 可知f(x)＝0在上及上各有1個實根， 所以f(x)＝0有2個實根．