2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理(IV)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理(IV) 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－的零點所在的可能區(qū)間是(　　) A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4) 2．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，則a的值為(　　) X 4 a 9 P 0．5 0．1 b 3．某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號．已知從33～48這16個數(shù)中取的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽到的

2、數(shù)是(　　) A．5 B．7 C．11　 D．13 4．一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　) A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102 5．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的距離為(　　) A．10 B．3　　 C. D. 6．兩家夫婦各

3、帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定安排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為(　　) A．48 B．36 C．24　 D．12 7．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 8．已知非零向量a，b，滿足a⊥b，則函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　)

4、 A．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 　 B．非奇非偶函數(shù) C．偶函數(shù)　 D．奇函數(shù) 9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c 10．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C．　 D． 11． 如圖，在四棱錐P

5、－ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則此球的最大半徑是(　　) A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m 12．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若3＋4＋5＝0，則△AOC的面積為(　　) A．　 B．　 C．　 D． 二、填空題（每小題5分，共２0分） 13．已知函數(shù)f(x－2)＝則f(1)＝________. 14. 已知3的展開式中的常數(shù)項為a，則直線y＝ax與

6、曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為________． 15．在區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)m和n，則關(guān)于x的方程x2＋mx＋n2＝0有兩個不相等實根的概率為________． 16．已知雙曲線x2－＝1上存在兩點M，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且MN中點在拋物線y2＝18x上，則實數(shù)m的值為________． 三、解答題（共７0分） 17．（本小題滿分12分）請認(rèn)真閱讀下列程序框圖，然后回答問題，其中n0∈N． (1)若輸入n0＝0，寫出所輸出的結(jié)果； (2)若輸出的結(jié)果中，只有三個自然數(shù)，求輸入的自然數(shù)n0的所有可能的值． 18．（本小題滿分12

7、分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，E為棱CC1上的動點． (1)求異面直線BD與A1E所成的角； (2)確定E點的位置，使平面A1BD⊥平面BDE. 19．（本小題滿分12分）甲袋中裝有大小相同的紅球1個，白球2個；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個，白球3個．先從甲袋中取出1個球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個小球． (1)求從乙袋中取出的2個小球中僅有1個紅球的概率； (2)記從乙袋中取出的2個小球中白球個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 20．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：=1（a＞b＞0

8、）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=． （Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程． 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其圖象在y軸上的截距為－5，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，又當(dāng)x＝0，x＝2時取得極小值． （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式； （Ⅱ）能否找到垂直于x軸的直線，使函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于此直線對稱，并證明你的結(jié)論； （Ⅲ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝λ2x2－5(

9、)的兩個非零實根為x1、x2．問是否存在實數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 22．（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. ①解不等式f(x)≤4； ②若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍. 四、附加題（共10分） 23．（每小題5分） (1)已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形, .若為的中心,則的長為 ． (2)若函數(shù),則的最小值是 ． 豐城中學(xué)xx上學(xué)期高三月考試卷 數(shù) 學(xué) 理　科（

10、課改實驗班） 　　　　　　　　　　 參考答案 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－的零點所在的可能區(qū)間是(　　) A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4) 解析：容易知道，原函數(shù)單調(diào)遞增，f(1)＝ln 2－2<0， f(2)＝ln 3－1>0，故零點在區(qū)間(1,2)上，故選B. 2．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，則a的值為(　　) X 4 a 9 P 0．5 0．1 b A．5　　 B．6　　 C．7　　

11、 　 D．8 解析：由題意得0．5＋0．1＋b＝1，且E(X)＝4×0．5＋0．1a＋9b＝6．3，因此b＝0．4，a＝7．故選C． 3．某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號．已知從33～48這16個數(shù)中取的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽到的數(shù)是(　　) A．5 B．7 C．11　 D．13 解析：間隔數(shù)k＝＝16，即每16人抽取一個人．由于39＝2×16＋7，所以第1小組中抽取的數(shù)值為7．故選B． 4．一袋中有5

12、個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　) A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102 解析：“X＝12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102．故選D． 5．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的距離為(　　) A．10 B．3　　 C. D. 解析：＝(1,2，－4)，又平

13、面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距離為|||cos〈，n〉|＝＝＝. 故選D. 6．兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定安排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為 (　　) A．48 B．36 C．24　 D．12 解析：由題意得，爸爸排法為A種，兩個小孩排在一起有A種排法，媽媽和孩子共有A種排法，∴排法種數(shù)共為A×A×A＝24(種)．答案：C 7．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由

14、點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 依題意得圓心C(－1,2)在直線2ax＋by＋6＝0上， 所以有2a×(－1)＋b×2＋6＝0， 即a＝b＋3. ① 又由點(a，b)向圓所作的切線長為 l＝， ② 將①代入②，得l＝＝， ∵b∈R，∴當(dāng)b＝－1時，lmin＝4. 故選C. 8．已知非零向量a，b，滿足a⊥b，則函數(shù)f(x)＝(ax

15、＋b)2(x∈R)是(　　) A．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 　 B．非奇非偶函數(shù) C．偶函數(shù)　 D．奇函數(shù) 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2. 又∵f(－x)＝a2(－x)2＋b2＝a2x2＋b2，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)．故選C． 9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c 解析：由題意知，等式對一切n∈N*都成立，可取

16、n＝1,2,3，代入后構(gòu)成關(guān)于a，b，c的方程組，求解即得．令n＝1,2,3分別代入已知得 即 解得，a＝，b＝，c＝. 故選A. 10．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C．　 D． 解析：如圖所示， 由雙曲線的定義，得|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，因為△ABF2是正三角形， 所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF

17、2|＝4a，且∠F1AF2＝120°， 在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝28a2，所以e＝．故選B． 11． 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則此球的最大半徑是(　　) A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m 解析：由題知，此球內(nèi)切于四棱錐時，半徑最大， 設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，易知 VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO

18、－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD， 即×m2×m＝×m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r， 解得r＝(2－)m， 所以此球的最大半徑是(2－)m. 故選C. 12．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若3＋4＋5＝0，則△AOC的面積為(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析：依題意，得(3＋5)2＝(－4)2,92＋252＋30·＝2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面積為||||sin∠AOC＝，故選A． 二、填空題（每

19、小題5分，共２0分） 13．已知函數(shù)f(x－2)＝則f(1)＝________. 解析：令x－2＝1，則x＝3，∴f(3)＝1＋32＝10. 答案：10 14.已知3的展開式中的常數(shù)項為a，則直線y＝ax與曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為________． 解析：Tk＋1＝C3－k(x2)k＝Cx3k－3，令3k－3＝0，得k＝1， 即常數(shù)項a＝3，直線y＝3x與曲線y＝x3交點的橫坐標(biāo)分別為－，0，，所以所圍成圖形的面積為2(3x－x3)dx＝2＝．答案： 15．在區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)m和n，則關(guān)于x的方程x2＋mx＋n2＝0有兩個不相等實根的概率為________．

20、解析：由題意知－1≤m≤1，－1≤n≤1．要使方程x2＋mx＋n2＝0有兩個不相等實根，則Δ＝m2－4n2>0，即(m－2n)(m＋2n)>0．作出可行域，如圖，當(dāng)m＝1時，nC＝，nB＝－，所以S△OBC＝×1×＝，所以方程x2＋mx＋n2＝0有兩個不相等實根的概率為＝＝．答案： 16．已知雙曲線x2－＝1上存在兩點M，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且MN中點在拋物線y2＝18x上，則實數(shù)m的值為________． 解析：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為P(x0，y0)，則 由①－②，得x－x＝， 即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，也

21、即2x0＝··2y0＝·(－1)·2y0， ∴y0＝－3x0， ③ 又P在直線y＝x＋m上，∴y0＝x0＋m， ④ 由③④解得P． 代入拋物線y2＝18x，得m2＝18·， ∴m＝0或－8． 經(jīng)檢驗m＝0或－8均符合題意． 答案：0或－8 三、解答題（共７0分） 17．（本小題滿分12分）請認(rèn)真閱讀下列程序框圖，然后回答問題，其中n0∈N． (1)若輸入n0＝0，寫出所輸出的結(jié)果； (2)若輸出的結(jié)果中，只有三個自然數(shù)，求輸入的自然數(shù)n0的所有可能的值． 解：(1)若輸入n0＝0，則輸出的數(shù)為20,10,5,4,2． (2)要使結(jié)果只有三個數(shù)，只能是5,4

22、,2．所以應(yīng)使5≤<10． 解得1

23、點，連接A1O，EO， 由(1)得BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥A1O，BD⊥EO. ∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，E為CC1中點， ∴A1O2＋OE2＝AA＋AO2＋OC2＋EC2＝a2＋2＋2＋2＝a2， A1E2＝A1C＋C1E2＝2a2＋＝a2，即A1O2＋OE2＝A1E2，∴A1O⊥OE. 又OE∩BD＝O，∴A1O⊥平面BDE. 又A1O?平面A1BD， ∴平面A1BD⊥平面BDE. 19．（本小題滿分12分）甲袋中裝有大小相同的紅球1個，白球2個；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個，白球3個．先從甲袋中取出1個球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個小

24、球． (1)求從乙袋中取出的2個小球中僅有1個紅球的概率； (2)記從乙袋中取出的2個小球中白球個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)記“乙袋中取出的2個小球中僅有1個紅球”為事件A，包含如下兩個事件：從甲袋中取出1個紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的2個球中僅有1個紅球；從甲袋中取出1個白球投入乙袋，然后從乙袋取出的2個球中僅有1個紅球．分別記為事件A1，A2，且A1與A2互斥， 則P(A1)＝×＝， P(A2)＝×＝，所以P(A)＝＋＝． 故從乙袋取出的2個小球中僅有1個紅球的概率為． (2)ξ＝0,1,2． P(ξ＝0)＝×＋×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝，

25、 P(ξ＝2)＝×＋×＝． 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 則E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝． 20．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=． （Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程． 解：（Ⅰ）由：知．設(shè)，在上，因為，所以，得，． 在上，且橢圓的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合題意，舍去）．故橢圓的方程為． （Ⅱ）由知四邊形是

26、平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點， 因為，所以與的斜率相同，故的斜率． 設(shè)的方程為．由消去并化簡得 ．設(shè)，， ，． 因為，所以． ＝． 所以．此時， 故所求直線的方程為，或． 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其圖象在y軸上的截距為－5，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，又當(dāng)x＝0，x＝2時取得極小值． （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式； （Ⅱ）能否找到垂直于x軸的直線，使函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于此直線對稱，并證明你的結(jié)論； （Ⅲ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝λ2x2－5()的兩個非零實根為x1、x2．問是否存在實數(shù)m，使得不等

27、式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由． （Ⅰ）解：∵函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y軸上的截距為－5， ∴c＝－5． ∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減， ∴x＝1時取得極大值，又當(dāng)x＝0，x＝2時函數(shù)f(x)取得極小值． ∴x＝0，x＝1， x＝2為函數(shù)f(x)的三個極值點， 即f'(x)＝0的三個根為0，1，2，∴f '(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x． ∴a＝－4，b＝4, ∴函數(shù)f(x)的解析式： f(x)＝x

28、4－4x3＋4x2－5． （Ⅱ）解：若函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對稱軸,設(shè)對稱軸方程為x＝t，則f(t +x)＝f(t－x)對x∈R恒成立． 即: (t +x)4－4(t +x)3＋4(t +x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5． 化簡得(t－1)x3+( t3－3 t2 +2t)x＝0對x∈R恒成立． ∴∴t＝1． 即函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對稱軸x＝1． （Ⅲ）解： 方程f(x)＝λ2x2－5，即x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5， 即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0，亦即x2（x2－4x＋4－λ2）＝0，∵x＝0是一個根， ∴方程x2－

29、4x＋4－λ2＝0的兩根為 |x1－x2|＝＝2|l|0， 要使m2＋tm＋2≤|x1－x2|對任意t∈[－3，3]恒成立，只要m2＋tm＋2≤0對任意t∈[－3，3] 恒成立，令g(t)＝tm +m2＋2 , 則g(t)是關(guān)于t的線性函數(shù)． 只要解得 ∴不存在實數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對任意t∈[－3，3]恒成立． 22．（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. ①解不等式f(x)≤4； ②若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍. 解析?、賧＝|2x＋1|－|x－3|＝ 作出函數(shù)y＝|2x＋1|－|x－3|的圖象，它與直線y＝4的交點為(－8,4)和(2,4). ∴|2x＋1|－|x－3|≤4的解集為[－8,2]. ②由y＝|2x＋1|－|x－3|的圖象可知，當(dāng)x＝－時，f(x)min＝－. ∴存在x使得f(x)＋a≤0成立的條件是－a≥f(x)min， ∴a≤. 四、附加題（共10分） 23．（每小題5分） (1)已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形, .若為的中心,則的長為 ． (2)若函數(shù),則的最小值是 8 ．