2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 雙曲線 的方程 　　xx·全國(guó)卷Ⅰ·T5·5分 由雙曲線方程求三角形面積 數(shù)形結(jié)合 　　xx·全國(guó)卷Ⅰ·T16·5分 由雙曲線方程求三角形面積 數(shù)形結(jié)合 　　xx·全國(guó)卷Ⅱ·T15·5分 求雙曲線方程 數(shù)學(xué)運(yùn)算 雙曲線 的性質(zhì) 　　xx·全國(guó)卷Ⅱ·T5·5分 求雙曲線的離心率 數(shù)學(xué)運(yùn)算 　　xx·全國(guó)卷Ⅲ·T14·5分 由雙曲線的漸近線求參數(shù)值 數(shù)學(xué)運(yùn)算 命題分析 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高

2、考命題熱點(diǎn)，其中離心率漸近線是高考考查重點(diǎn)，多以選擇題填空題形式出現(xiàn)，一般不會(huì)出現(xiàn)在解答題中，在解題時(shí)要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，以及雙曲線方程的求法，靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)，2019年高考仍然會(huì)考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，題型為選擇題填空題，分值5分. 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1(－a,0)， A2(a,0) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝

3、±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2 實(shí)虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b； a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng) 類型 解讀 求方程 由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c的值，從而求出a2，b2的值，寫出雙曲線方程 解焦點(diǎn) 三角形 利用雙曲線上點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)的距離的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a＜|F1F2|)與正弦定理、余弦定理，解決焦點(diǎn)三角形問題 解析：選A　∵方程－＝1表示雙曲線

4、，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

5、F1在一條直線時(shí)最小，過AF1的直線方程為＋＝1.與x2－＝1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，此時(shí)S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 答案：12 [刷好題] 1．設(shè)雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，則△PF1F2的面積等于(　　) A．10　　 B．8 C．8　　 D．16 解析：選C　依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2， 因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝3∶4， 所以|PF1|＝6，|PF2|＝8， 所以等腰三角形PF1F2的面積S＝×8× ＝8. 2．(xx·孝感質(zhì)檢)△ABC的頂點(diǎn)A(－5,

6、0)，B(5,0)，△A BC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是__________. 解析：如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G，E，F(xiàn). |AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支， 方程為－＝1(x＞3)． 答案：－＝1(x＞3) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 [明技法] 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法 [提能力] 【典例】 (1)(xx·東北三校聯(lián)合模擬)與橢圓C：＋＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(1，)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A

7、．x2－＝1　　 B．y2－＝1 C．－＝1　　 D．－x2＝1 (2)(xx·天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A．－y2＝1　　 B．x2－＝1 C．－＝1　　 D．－＝1 解析：(1)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)， 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(m＞0，n＞0)， 則解得m＝n＝2. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)由題意得c＝，＝，則a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1. 答案：(1)C　(2)A [刷好題] 1．(xx·安徽卷)下列雙曲線

8、中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1　　 B．－y2＝1 C．－x2＝1　　 D．y2－＝1 解析：選C　由雙曲線性質(zhì)知A、B項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意；C、D項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但D項(xiàng)漸近線為y＝±x，只有C符合，故選C． 2．(xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________. 解析：方法一　∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(diǎn)(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 方法二　∵漸近線

9、y＝x過點(diǎn)(4,2)，而<2， ∴點(diǎn)(4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． ∴雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上， 故可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 雙曲線的幾何性質(zhì) [析考情] 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題． 高考對(duì)雙曲線的幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題點(diǎn)： (1)求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng)； (2)求雙曲線的漸近線方程； (3)求雙曲線的離心率(或范圍)． [提能力] 命題點(diǎn)1：求雙曲線的焦點(diǎn)

10、(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng) 【典例1】 若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜5，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　) A．實(shí)半軸長(zhǎng)相等　　 B．虛半軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等　　 D．焦距相等 解析：選D　由0＜k＜5，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由＝，得兩雙曲線的焦距相等． 命題點(diǎn)2：求雙曲線的漸近線方程 【典例2】 已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A．x±y＝0　　 B．x±y＝0 C．x±2y＝0　　 D．2x±y＝0 解析：選A　橢圓C1的離心率為， 雙曲線C2的離心率為， 所以·＝， 所以

11、a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b， 所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝± x，即x±y＝0. 命題點(diǎn)3：求雙曲線的離心率(或范圍) 【典例3】 (xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(　　) A．　　 B．2　　 C．　　 D． 解析：選D　不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴－＝1，a＝b， ∴c＝a，e＝＝.故選D． [悟技法] 與

12、雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解． [刷好題] 1．(xx·麻城一模)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的離心率為(　　) A． 　　　 B． C．或　　 D． 解析：選C　由雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 得＝或＝， 又離心率e＝，所以e＝或e＝. 2．(xx·西安模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且F2為拋物線y2＝24x的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若△PF1F2的面積為36，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1　　 B．－＝1 C．－＝1　　 D．－＝1 解析：選A　由題意，F(xiàn)2(6,0)，設(shè)P(m，n)，則 ∵△PF1F2的面積為36， ∴×12×|n|＝36，∴|n|＝6，∴m＝9， 取P(9,6)， 則2a＝－＝6， ∴a＝3，b＝3， ∴雙曲線的方程為－＝1，故選A．