（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔大題規(guī)范練（三）概率與統(tǒng)計(jì) 理

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1、（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔大題規(guī)范練（三）概率與統(tǒng)計(jì) 理 1．某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和期望． 解　(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝＝. 所以，選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為

2、0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以，隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的期望 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．(2018·安徽省“皖江八校”聯(lián)考)某市為制定合理的節(jié)電方案，對(duì)居民用電情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量(單位：百度)，將數(shù)據(jù)按照[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖： (1)求直方圖中m的值； (2)設(shè)該市有100萬(wàn)戶居民，估計(jì)全市每戶

3、居民中月均用電量不低于6百度的人數(shù)，估計(jì)每戶居民月均用電量的中位數(shù)，說(shuō)明理由； (3)政府計(jì)劃對(duì)月均用電量在4(百度)以下的用戶進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，月均用電量在[0,1)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)20元/月，月均用電量在[1,2)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)10元/月，月均用電量在[2,4)內(nèi)的用戶獎(jiǎng)勵(lì)2元/月．若該市共有400萬(wàn)戶居民，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算． 解　(1)∵1－1×(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2m， ∴m＝0.15. (2)200戶居民月均用電量不低于6百度的頻率為 0．06＋0.04＋0.02＝0.12， 則100萬(wàn)戶居民中月均用電量不低于6百度的

4、戶數(shù)有 1 000 000×0.12＝120 000； 設(shè)中位數(shù)是x百度，前5組的頻率之和 0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4組的頻率之和 0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5， 所以4

5、＋1 440 000×2＝9 280 000， 故一年預(yù)算為9 280 000×12 ＝111 360 000＝1.113 6 億元． 3．(2016·全國(guó)Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表： 出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10

6、 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)的估計(jì)值． 解　(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2. 由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55. (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)，得 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a

7、 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a. 4．(2018·宿州模擬)高鐵、網(wǎng)購(gòu)、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國(guó)式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力．某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 每周移動(dòng)支付次數(shù) 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上

8、總計(jì) 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 總計(jì) 15 12 13 7 8 45 100 (1)把每周使用移動(dòng)支付超過(guò)3次的用戶稱為“移動(dòng)支付活躍用戶”，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為是否為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)？ (2)把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為“移動(dòng)支付達(dá)人”，視頻率為概率，在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶． ①求抽取的4名用戶中，既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率； ②為了鼓勵(lì)男性用戶使用移動(dòng)支付，對(duì)抽出的男“移動(dòng)支付達(dá)人”

9、每人獎(jiǎng)勵(lì)300元，記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 附公式及表如下：K2＝. P(K2 ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由表格數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下： 非移動(dòng)支付活躍用戶 移動(dòng)支付活躍用戶 總計(jì) 男 25 20 45 女 15 40 55 總計(jì) 40 60 100 將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 K2＝ ＝＝≈8

10、.249>7.879. 所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005的前提下，能認(rèn)為是否為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)． (2)視頻率為概率，在我市“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取1名用戶， 該用戶為男“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為，女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為. ①抽取的4名用戶中，既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”，又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為P＝1－4－4＝. ②記抽出的男“移動(dòng)支付達(dá)人”人數(shù)為Y，則X＝300Y. 由題意得Y～B， P(Y＝0)＝C04＝； P(Y＝1)＝C13＝； P(Y＝2)＝C22＝＝； P(Y＝3)＝C31＝； P(Y＝4)＝C40＝. 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 3 4 P 所以X的分布列為 X 0 300 600 900 1 200 P 由E(Y)＝4×＝， 得X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝300E(Y)＝400.