2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案 文（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案 文（含解析）新人教A版（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　空間幾何體的表面積與體積 2019考綱考題考情 1．幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各個(gè)面的面積的和。 (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)。 (3)若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)l，則其表面積為S柱＝2πr2＋2πrl，S錐＝πr2＋πrl。 (4)若圓臺(tái)的上下底面半徑為r1，r2，母線長(zhǎng)為l，則圓臺(tái)的表面積為S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。 (5)球的表面積為4πR2(球半徑是R)。 2．幾何體的體積 (1)V柱體＝Sh。 (2)V錐體＝Sh。 (3)V臺(tái)體＝(S′＋＋S)h，V圓臺(tái)＝π(r＋r1

2、r2＋r)h，V球＝πR3(球半徑是R)。 1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 (1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差。 (2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等。 2．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R， ①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a； ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a。 (2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝。 (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1。 一、走進(jìn)教材 1．(必修2P27練習(xí)T1改編)已知圓錐的

3、表面積等于12π cm2， 其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm 解析　由題意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，得r2＝4，所以r＝2(cm)。 答案　B 2．(必修2P28A組T3改編)如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________。 解析　設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝××a×b×c＝abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47。 答

4、案　1∶47 二、走近高考 3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°。若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________。 解析　由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得l2＝8，得l＝4。在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2。故該圓錐的體積V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π。 答案　8π 4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，

5、則該圓柱的體積為(　　) A．π　　　　B． C．　　　　D． 解析　由題可知球心為圓柱的中心，則圓柱底面圓的半徑r＝＝，故圓柱的體積V＝πr2h＝。 答案　B 三、走出誤區(qū) 微提醒：①由三視圖不能還原幾何體求錯(cuò)體積；②不會(huì)分類討論致誤；③長(zhǎng)度單位與體積單位換算出錯(cuò)。 5．已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3。 解析　根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長(zhǎng)為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m。故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2(m3)。 答案　2 6．圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6π和

6、4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 解析　分兩種情況：①以長(zhǎng)為6π的邊為高時(shí)，4π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S側(cè)＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S側(cè)＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以長(zhǎng)為4π的邊為高時(shí)，6π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝6π，r＝3，所以S底＝9π，S表＝2S底＋S側(cè)＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)。故選C。 答案　C 7．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉(cāng)，高1丈3尺3 寸，容納米2 000斛

7、(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長(zhǎng)約為(　　) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 解析　設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長(zhǎng)為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長(zhǎng)約為5丈4尺，故選B。 答案　B 考點(diǎn)一規(guī)則幾何體的表面積與體積 【例1】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓

8、柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π (2)(2019·南寧、柳州聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 解析　(1)因?yàn)檫^(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π()2＋2π×2＝12π。 (2)若俯視圖為選項(xiàng)C中的圖形，則該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P－ABCD，如圖所示，該四棱錐的體積V＝ ×(2×2)×2＝，符合題意。若俯視圖為其他選項(xiàng)中的圖形，則根據(jù)三

9、視圖易判斷對(duì)應(yīng)的幾何體不存在。故選C。 答案　(1)B　(2)C 規(guī)則體的體積和表面積直接按柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積和表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可。 【變式訓(xùn)練】　已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A． B． C．13 D． 解析　由三視圖可知幾何體為三棱臺(tái)，作出直觀圖如圖所示。則CC′⊥平面ABC，上、下底均為等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，所以AB＝，A′B′＝2。所以棱臺(tái)的上底面面積為×1×1＝，下底面面積為×2×2＝2，梯形ACC′A′的面積為×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面積

10、為×(1＋2)×2＝3，過(guò)A作AD⊥A′C′于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥A′B′于點(diǎn)E，則A′B′⊥平面ADE，從而AE⊥A′B′，則AD＝CC′＝2，DE為△A′B′C′斜邊高的，所以DE＝，所以AE＝＝，所以梯形ABB′A′的面積為×(＋2)×＝，所以幾何體的表面積S＝＋2＋3＋3＋＝13。故選C。 答案　C 考點(diǎn)二組合體的體積和表面積 【例2】　(2019·福建三明模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載的芻甍是底面為矩形，頂部只有一條棱的幾何體。如圖為某個(gè)芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則它的體積為(　　) A． B．160 C． D．64 解析　由三

11、視圖可知，該芻甍是一個(gè)如圖所示的幾何體。 (一割為三)如圖，分別取QN，PM上的兩個(gè)四等分點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)，連接AB，BC，AC，DE，DF，EF。 則△ABC與△DEF所在的平面將該幾何體分成一個(gè)直三棱柱ABC－DEF和兩個(gè)全等的四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。其中直三棱柱ABC－DEF中的△ABC與△DEF是等腰三角形，BC＝4，點(diǎn)A到BC的距離d＝4，設(shè)△ABC與△DEF的面積為S1，則S1＝×4×4＝8。易知BE＝4，故直三棱柱ABC－DEF的體積V1＝S1×BE＝8×4＝32。四棱錐的底面是矩形，QB＝2，PQ＝4，故四棱錐的底面積S2＝2×4＝8。由三視圖可得四

12、棱錐的高h(yuǎn)＝4，所以四棱錐的體積V2＝S2h＝×8×4＝。所以該幾何體的體積V＝V1＋2V2＝32＋2×＝。故選A。 解析：(一割為二)如圖，分別取PM，QN的中點(diǎn)為G，H，連接DG，GH，DH，則△DGH所在平面將幾何體分為一個(gè)三棱柱AQP－DHG與一個(gè)四棱錐D－GHNM。 其中四棱錐D－GHNM的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，由三視圖可得點(diǎn)D到平面GHNM的距離h＝4，故四棱錐D－GHNM的體積V1＝×42×4＝；三棱柱AQP－DHG的側(cè)面QPGH是邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)棱AD到側(cè)面QPGH的距離d＝4，故其體積V2＝×42×4＝32。所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝＋32＝。故選A

13、。 答案　A 該題由三視圖給出的幾何體是一個(gè)組合體，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征將其分割成三個(gè)(或兩個(gè))規(guī)則幾何體，然后分別求出三個(gè)(或兩個(gè))幾何體的體積。這種分割求解的方法實(shí)質(zhì)也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。該題中的解法一要注意分割出直三棱柱ABC－DEF之后對(duì)剩余兩個(gè)幾何體的識(shí)別——四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。 【變式訓(xùn)練】　某幾何體的三視圖如圖所示，三個(gè)視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的表面積為(　　) A．＋ B．＋π2 C．＋ D．＋π2 解析由幾何體的三視圖得其直觀圖，如圖所示。該幾何體由半個(gè)圓柱與球構(gòu)成，且球的半徑與圓柱底面半徑等長(zhǎng)。由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，

14、圓柱的底面半徑R1為1，母線l的長(zhǎng)為π，球的半徑R2為1。所以該幾何體的表面由圓柱側(cè)面的一半、軸截面、左側(cè)底面半圓、右側(cè)底面半圓的一半，球表面的，以及球的過(guò)球心的兩個(gè)截面構(gòu)成。圓柱側(cè)面的一半，其面積S1＝×2πR1l＝πR1l＝π×1×π＝π2；圓柱的軸截面為矩形，其面積S2＝2R1l＝2×1×π＝2π；半圓柱左側(cè)底面，其面積S3＝×πR＝×π×12＝；半圓柱右側(cè)底面(裸露部分)，其面積S4＝×πR＝×π×12＝；球的表面，其面積S5＝×4πR＝×π×12＝；球的過(guò)球心的兩個(gè)截面，其面積之和S6＝×πR＝×π×12＝。所以該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＝π2＋2π＋＋＋

15、＋＝＋π2。故選B。 答案　B 考點(diǎn)三體積中的最值問(wèn)題 【例3】　(2019·長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________。 解析　由題意得圓錐的母線長(zhǎng)為3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝，所以圓錐的體積V＝πr2h＝πr2＝π(00)，則f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以當(dāng)00，f(r)單調(diào)遞增，當(dāng)

16、。 答案　2π 本題通過(guò)建立體積的函數(shù)關(guān)系式，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，此法應(yīng)用最為廣泛。此外也要注意幾何法的應(yīng)用。 【變式訓(xùn)練】　已知在正四棱錐S－ABCD中，SA＝6，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為________。 解析　設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，因?yàn)樵谡睦忮FS－ABCD中，SA＝6，所以＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱錐的體積VS－ABCD＝a2h＝72h－h(huán)3,00，得0

17、四空間幾何體的“切”、“接”問(wèn)題 【例4】　(2019·福州四校聯(lián)考)已知三棱錐A－BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，則球O的體積為 ________。 解析　如圖，設(shè)A到平面BCD的距離為h，因?yàn)槿忮F的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，所以××3××h＝，所以h＝2，所以球心O到平面BCD的距離為1。設(shè)CD的中點(diǎn)為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD，因?yàn)椤鰾CD外接圓的直徑CD＝2，所以球O的半徑OD＝2，所以球O的體積為。 答案　 在立體幾何試題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一類

18、問(wèn)題：由題設(shè)條件，計(jì)算某幾何體的外接球的表面積或體積。因?yàn)镾球＝4πR2，V球＝πR3，所以關(guān)鍵是求解外接球的半徑R。常用的解題策略有：①通過(guò)構(gòu)造特殊幾何體，巧妙分析；②通過(guò)解直角三角形，巧妙分析；③借助直角三角形的斜邊中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，巧妙分析；④借助幾何體的底面多邊形的外接圓，巧妙分析。 【變式訓(xùn)練】　(2019·石家莊質(zhì)量檢測(cè))三棱錐S－ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝3，AC＝5，BC＝7，側(cè)面SAB為正三角形，且與底面ABC垂直，則此球的表面積等于________。 解析　設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，△SAB外接圓的圓心為O2，過(guò)O1，O2分別作平面ABC，平面SA

19、B的垂線交于點(diǎn)O，則O為球心。在△ABC中，cos∠BAC＝＝－，所以∠BAC＝120°，設(shè)圓O1的半徑為r1，根據(jù)正弦定理，得2r1＝＝，所以r1＝?！鱏AB外接圓的圓心O2為正三角形SAB的中心，連接SO2并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，則O2D＝SD＝，且O2D＝OO1＝。設(shè)外接球的半徑為R，連接O1A，則R2＝O1A2＋OO＝＋＝，所以此球的表面積S＝4πR2＝。 答案　 錯(cuò)在哪里？ ——一道體積問(wèn)題的兩種解法比較 對(duì)于不規(guī)則或不易求解的空間幾何體的體積問(wèn)題常用割補(bǔ)法把它轉(zhuǎn)化成求幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體體積的和或差的問(wèn)題，這種思路的核心是要弄清補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有

20、明顯的確定關(guān)系。 【題目】　如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1－DBC的體積為(　　) A．66 B．68 C．70 D．72 【分析】　幾何體EFC1－DBC是一個(gè)不規(guī)則的幾何體，切莫將它看作一個(gè)臺(tái)體，因?yàn)锽、D、E、F四點(diǎn)不共面！因此采用分割法計(jì)算它的體積。 辨別兩種解法： 解法一：如圖，連接DF，DC1，用△DC1F將幾何體EFC1－DBC分割為三棱錐D－EC1F和四棱錐D－BCC1F兩部分，則VEFC1－DBC＝VD－EC1F＋VD－BCC

21、1F＝×6×6＋××9×6×6＝66。故選A。 解法二：如圖，連接OE，BE，用△BCE將幾何體EFC1－DBC分割為三棱錐E－BCD和四棱錐E－BCC1F兩部分，則VEFC1－DBC＝VE－BCD＋VE－BCC1F＝×18×6＋××9×6×4＝72。故選D。 問(wèn)題：對(duì)同一幾何體的體積，為什么兩種不同算法會(huì)得到兩個(gè)不同的答案？為什么用第二種方法會(huì)多算了6呢？ 真相：?jiǎn)栴}出在四邊形BDEF上，因BD、EF是兩條異面直線，故四邊形BDEF為空間四邊形。兩條對(duì)角線BE、DF也異面，而且易見(jiàn)BE在“外面”，DF在“里面”。 想象一下把一張四邊形紙片BDEF沿對(duì)角線DF折疊得到空間四邊形

22、BDEF，現(xiàn)在你應(yīng)該恍然大悟了吧！ 多算了6，恰好就是三棱錐E－BDF的體積！不信你可以直接算算看。 回到原題，幾何體EFC1－DBC其實(shí)是指代不明的，因此，選(A)和(D)都有道理。也就是說(shuō)，這道試題犯了科學(xué)性錯(cuò)誤，這應(yīng)該是命題人的疏忽。 球與其他空間幾何體的綜合問(wèn)題，主要考查球的內(nèi)切與外接問(wèn)題，是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，且考查覆蓋面廣。下面將球與常規(guī)幾何體的綜合問(wèn)題進(jìn)行歸納，供同學(xué)們參考。 類型一空間幾何體的外接球　　　　　　　　　 1.構(gòu)造法求解球的問(wèn)題 【例1】　(2019·南寧市摸底聯(lián)考)三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐

23、P－ABC的外接球的體積為(　　) A．π B．π C．27π D．27π 解析　因?yàn)槿忮FP－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC。因?yàn)镻A⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB。以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P－ABC的外接球。因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，所以其外接球半徑R＝。因此三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝×3＝π。故選B。 答案　B 若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般采用補(bǔ)

24、形的方法，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體或正方體，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2求解。 【變式訓(xùn)練】　一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A．36π B．8π C．π D．π 解析　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形、高為2的三棱錐，如圖所示。該三棱錐的外接球是對(duì)應(yīng)直三棱柱的外接球。設(shè)外接球的半徑為R，因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，所以底面外接圓的半徑為1，所以R2＝1＋1＝2，所以外接球的表面積是4πR2＝8π。故選B。 答案　B 2．根據(jù)球的截面求解球的問(wèn)題 【例2】　已知正四棱錐P－ABCD內(nèi)接于一個(gè)半徑為R的球，則正四棱錐P－A

25、BCD體積的最大值是(　　) A． B． C． D．R3 解析　如圖，記O為正四棱錐P－ABCD外接球的球心，O1為底面ABCD的中心，則P，O，O1三點(diǎn)共線，連接PO1，OA，O1A。設(shè)OO1＝x，則O1A＝，AB＝·，PO1＝R＋x，所以正四棱錐P－ABCD的體積V＝AB2×PO1＝×2(R2－x2)(R＋x)＝(－x3－Rx2＋R2x＋R3)(0

26、，再利用平面幾何知識(shí)求解。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·南昌摸底調(diào)研)已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為(　　) A． B．2 C． D．2 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑。若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________。 解析　(1)取AB的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑

27、的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1＝2。 (2)設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾C為球O的直徑，所以點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，連接AO，OB，因?yàn)镾A＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因?yàn)槠矫鍿CA∩平面SCB＝SC，平面SCA⊥平面SCB，所以AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得R＝3，所以球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π。 答案　(1)B　(2)36π 類型二空間幾何體的內(nèi)切 【例3】　(1)

28、半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為________，體積為________。 (2)若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球的半徑為________。 (3)如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　) A．π B． C． D．π 解析　(1)外切圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3。 (2)如圖正四面體A－BCD的中心為O，即內(nèi)切球球心，內(nèi)切球半徑R，即為O到正四面體各面的距離。因?yàn)锳B＝a，所以正四面體的

29、高h(yuǎn)＝a。又VA－BCD＝4VO－BCD，所以R＝h＝a。 (3)平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓。因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以內(nèi)切圓的半徑r＝，所以S＝πr2＝π×＝π。 答案　(1)6πR2,2πR3　(2)a　(3)C 1．正多面體存在內(nèi)切球且正多面體的中心為內(nèi)切球的球心。 2．求多面體內(nèi)切球半徑，往往可用“等體積法”。 V多＝S表·R內(nèi)切·。 3．正四面體內(nèi)切球半徑是高的，外接球半徑是高的。 4．并非所有多面體都有內(nèi)切球(或外接球)。 【變式訓(xùn)練】　(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________。 (2)已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是________。 解析　(1)設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以＝＝。 (2)根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長(zhǎng)等于2，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×2×2＋2××2×3＝18。 答案　(1)　(2)18 18