2020版高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性學案 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性學案 理（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第三節(jié)　函數的奇偶性與周期性 2019考綱考題考情 1．函數的奇偶性 奇偶性 條件 圖象特點 偶函數 對于函數f(x)的定義域D內任意一個x，都有f(－x)＝f(x) 關于y軸對稱 奇函數 對于函數f(x)的定義域D內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x) 關于原點對稱 2.周期性 (1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期。 (2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f

2、(x)的最小正周期。 1．一條規(guī)律 奇、偶函數定義域的特點是關于原點對稱。函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件。 2．兩個性質 (1)若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0。 (2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。 3．函數周期性常用的結論 對f(x)定義域內任一自變量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a≠0)。 (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a≠0)。 (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a≠0)。 一、

3、走進教材 1．(必修1P35例5改編)下列函數中為偶函數的是(　　) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x 解析　根據偶函數的定義知偶函數滿足f(－x)＝f(x)且定義域關于原點對稱，A選項為奇函數，B選項為偶函數，C選項定義域為(0，＋∞)，不具有奇偶性，D選項既不是奇函數，也不是偶函數。故選B。 答案　B 2．(必修4P46A組T10改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f＝________。 解析　由題意得，f＝f＝－4×2＋2＝1。 答案　1 二、走近高考 3．(2017·全國卷

4、Ⅱ)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________。 解析　依題意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函數f(x)是奇函數，得f(2)＝－f(－2)＝12。 答案　12 4．(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x－2)。若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________。 解析　因為f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期為6，因為919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)。又f(x)為偶函數，所以f(919)＝f(1)＝f(

5、－1)＝6。 答案　6 三、走出誤區(qū) 微提醒：①利用奇偶性求解析式忽視定義域；②忽視奇函數的對稱性致錯。 5．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋4x－3，則函數f(x)的解析式為f(x)＝________。 解析　設x<0，則－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函數的 定義可知f(0)＝0，所以f(x)＝ 答案　 6．設奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________。 解析　由圖象可知，當0

6、f(x)>0；當20。綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]。 答案　(－2,0)∪(2,5] 考點一函數奇偶性的判斷 【例1】　(1)已知函數f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是偶函數，且在R上是增函數 B．是奇函數，且在R上是增函數 C．是偶函數，且在R上是減函數 D．是奇函數，且在R上是減函數 (2)判斷下列函數的奇偶性： ①f(x)＝＋； ②f(x)＝。 (1)解析　函數f(x)＝3x－x的定義域為R，因為f(－x)＝3－x－－

7、x＝x－3x＝－f(x)，因為y＝3x，y＝－x都是增函數，所以f(x)＝3x－x是增函數。 答案　B (2)解?、僖驗橛傻脁＝±1， 所以f(x)的定義域為{－1,1}。 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)。 所以f(x)既是奇函數又是偶函數。 ②因為由 得－2≤x≤2且x≠0。 所以f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]， 所以f(x)＝＝＝， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函數。 判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件 1．定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先

8、考慮定義域。 2．判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系。在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立。 【變式訓練】　(1)已知函數f(x)＝，g(x)＝，則下列結論正確的是(　　) A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數 B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函數 C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函數 D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函數 (2)下列函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是(　　) A．f(x)＝x＋sin2x B．f(x)＝x2－cosx C．f(x)＝3x－ D．

9、f(x)＝x2＋tanx 解析　(1)易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定義域為{x|x≠0}。因為f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數。故選A。 (2)對于選項A，函數的定義域為R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x為奇函數；對于選項B，函數的定義域為R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx為偶函數；對于選項C，函數的定義域為R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－為奇函數；只有f

10、(x)＝x2＋tanx既不是奇函數也不是偶函數。故選D。 答案　(1)A　(2)D 考點二函數的周期性 【例2】　(1)函數f(x)＝lg|sinx|是(　　) A．最小正周期為π的奇函數 B．最小正周期為2π的奇函數 C．最小正周期為π的偶函數 D．最小正周期為2π的偶函數 (2)(2019·廣州市六校聯(lián)考)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，則f＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　(1)f(x)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，因為f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|

11、＝f(x)，所以函數f(x)為偶函數。因為f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函數f(x)的最小正周期為π。故選C。 (2)函數f(x)的定義域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函數f(x)是奇函數。又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函數f(x)是以4為周期的奇函數，所以f＝f＝f＝－f。因為在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f＝2＝，故f＝－。故選D。 答案　(1)C　(2)D 函數的周期性反映了函數在整個定義域上的性質。對函數周期性的考查，主要涉及函數周期性的

12、判斷，利用函數周期性求值。 【變式訓練】　(1)已知f(x)是定義在R上的函數，并且f(x＋2)＝，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(2 019)＝________。 (2)函數y＝f(x)滿足對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1,0)對稱，f(1)＝4，則f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值為________。 解析　(1)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)。故函數f(x)的周期為4。所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3。 (2)因為函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1

13、,0)對稱，所以f(x)是R上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4，所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 016)＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 016＋2)＝f(2 016)－f(2 016)＝0，所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4。 答案　(1)3　(2)4 考點三函數奇偶性的應用微點小專題 方向1：利用函數的奇偶性求值 【例3】　(1)設函數f(x)為偶函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　) A．－ B． C．

14、2 D．－2 (2)已知函數f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析　(1)因為f(x)為偶函數，所以f(－)＝f()，又當x>0時，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝。 (2)f(x)＝＝2＋，設g(x)＝，因為g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，所以g(x)max＋g(x)min＝0。因為M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4。 答案　(1)B　(2)C 將所求值轉化為已知區(qū)

15、間上的函數值。 方向2：利用奇偶性求參數的值 【例4】　若函數f(x)＝x3為偶函數，則a的值為________。 解析　因為函數f(x)＝x3為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝。 解析：因為函數f(x)＝x3為偶函數，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，經檢驗，當a＝時，函數f(x)為偶函數。 答案　 已知函數的奇偶性求參數，主要方法有兩個：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函數)或f(－x)＝f(x)(偶函數)在定義域內恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數一般利用f(0)＝

16、0求解，偶函數一般利用f(－1)＝f(1)求解。用特殊值法求得參數后，一定要注意驗證。 方向3：函數單調性、奇偶性、周期性的綜合應用 【例5】　定義在R上的函數f(x)滿足：①對任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函數；③f(x＋2)的圖象關于y軸對稱。則下列結論正確的是(　　) A．f(7)

17、x)圖象的一條對稱軸是x＝2，由②知函數f(x)在[0,2]上單調遞增，則在[2,4]上單調遞減，且在[0,4]上越靠近x＝2，對應的函數值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)

18、應練】　 1．(方向1)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝則g(f(－8))＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　由題意，得f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1。故選B。 答案　B 2．(方向2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________。 解析　函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax為偶函數，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得ln＝2ax＝lne2ax，即＝e2ax

19、，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－。 答案　－ 3．(方向3)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則(　　) A．f(－25)

20、R上的奇函數且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)。因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數，所以f(－1)

21、＋1)是偶函數，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x(3－2x)，則f＝(　　) A． B．－ C．－1 D．1 解析　因為y＝f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，因為函數y＝f(x＋1)是定義在R上的偶函數，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期是4，所以f＝f＝f＝－f＝－＝－1。故選C。 答案　C 3．(配合例3使用)已知函數y＝f(x)，滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數，且f(1)＝，設F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝(　　) A

22、． B． C．π D． 解析　由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數知f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，則F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝。故選B。 答案　B 4．(配合例4使用)已知f(x)＝2x＋為奇函數，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，則f(ab)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　已知f(x)＝2x＋為奇函數，故f(0)＝0，a＝－1，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，故得到g(x)＝g(－x)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)＝

23、g(－x)＝－bx－log2(4－x＋1)，化簡得到b＝1，故得到f(ab)＝f(－1)＝－。故選D。 答案　D 5．(配合例5使用)已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，滿足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－4，令函數g(x)＝f(x)－m，若g(x)在區(qū)間[－10,2]上有6個零點，分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝________。 解析　因為函數y＝f(x)是R上的偶函數，所以f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，因此f(x＋2)＝f(x－2

24、)，即f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4。作出函數f(x)在[－10,2]上的圖象及直線y＝m如圖所示。由圖象可知f(x)的圖象在[－10,2]上有3條對稱軸，分別為x＝－8，x＝－4，x＝0，所以6個零點之和為2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24。 答案　－24 奇偶函數的一組擴充性質 函數的奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣，特別是與函數其他性質的綜合應用更加突出，這類問題從通性通法的角度來處理，顯得較為繁瑣，若能靈活利用函數的奇偶性的性質，常能達到化難為易、事半功倍的效果，以下擷取近年高考題和聯(lián)賽題為例，歸納出奇、偶函數的一組性質及其應用。 【性質1】

25、　若函數f(x)是奇函數，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(－x)＋g(x)＝2c。 【簡證】　由于函數f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c。 【典例1】　已知函數f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 【解析】　設g(x)＝ax3＋bsinx，則f(x)＝g(x)＋4，且函數g(x)為奇函數。又lg(lg2)＋lg(log210)＝lg(lg2·log210)＝lg1＝0，所以f(lg(lg2)

26、)＋f(lg(log210))＝2×4＝8，所以f(lg(lg2))＝3。故選C。 【答案】　C 由上述例題可知，這類問題的求解關鍵在于觀察函數的結構，構造出一個奇函數。有些問題是直觀型的，直接應用即可，但有些問題是復雜型的，需要變形才能成功。 【變式訓練1】　對于函數f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 解析　設g(x)＝asinx＋bx，則f(x)＝g(x)＋c，且函數g(x)為奇函數。注意到c∈Z，所以f(1)＋

27、f(－1)＝2c為偶數。故選D。 答案　D 【性質2】　若函數f(x)是奇函數，則函數g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關于點(a，h)對稱。 【簡證】　函數g(x)＝f(x－a)＋h的圖象可由f(x)的圖象平移得到，不難知結論成立。 【典例2】　函數f(x)＝＋＋的圖象的對稱中心為(　　) A．(－4,6) B．(－2,3) C．(－4,3) D．(－2,6) 【解析】　設g(x)＝－－－，則g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)為奇函數。易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函數f(x)的圖象的對稱中心為(－2,3)。故選B。 【答案】　B 此類問

28、題求解的關鍵是從所給函數式中分離(或變形)出奇函數，進而得出圖象的對稱中心，然后利用圖象的對稱性實現問題的求解。 【變式訓練2】　設α，β分別滿足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，則α＋β＝________。 解析　設g(x)＝x3＋2x，則g(x)為單調遞增的奇函數。設f(x)＝x3－3x2＋5x，則f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)的圖象關于點(1,3)中心對稱。觀察題目條件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2。所以f(α)＋f(β)＝6，則點(α，4)與點(β，2)關于點(1,3)對稱，故α＋β＝2。 答

29、案　2 【性質3】　若函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(|x|)。 【簡證】　當x≥0時，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)； 當x<0時，f(|x|)＝f(－x)，由于函數f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)。 綜上，若函數f(x)為偶函數，則f(x)＝f(|x|)。 【典例3】　設函數f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 【解析】　易知函數f(x)的定義域為R，且f(x)為偶函數。當x≥0時，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此時f(x)單

30、調遞增。所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得0}＝(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解析　由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，且f(2)＝0。所以，由已知條件可知f(x－2)>0?f(|x－2|)>f(2)。所以|x－2|>2，解得x<0或x>4。故選B。 答案　B 12