2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程學(xué)案 理（含解析）新人教A版選修4-4

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1、第二節(jié)　參數(shù)方程 2019考綱考題考情 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：①并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。 2．直線的參數(shù)方程 過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量。 3．圓的參數(shù)方程 圓心為(a，b)，半徑為r，以圓心為頂點(diǎn)且與x軸同向的射線，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圓

2、上一點(diǎn)所在半徑形成的角α為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))α∈[0,2π)。 4．橢圓的參數(shù)方程 以橢圓的離心角θ為參數(shù)，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，θ∈[0,2π)。 1．將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍。 2．直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。 一、走進(jìn)教材 1．(選修4－4P26T4改編)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的

3、普通方程為________。 解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0。 答案　x－y－1＝0 2．(選修4－4P37例2改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值。 解　直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， 所以橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)， 若直線l過(guò)(3,0)，則3－a＝0，所以a＝3。 二、走出誤區(qū) 微提醒：①不注意互化的等價(jià)性致誤；②直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義不清致誤；③交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出錯(cuò)致錯(cuò)。 3．若曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C上的點(diǎn)的軌跡是(　　) A．

4、直線x＋2y－2＝0 B．以(2,0)為端點(diǎn)的射線 C．圓(x－1)2＋y2＝1 D．以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段 解析　將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故選D。 答案　D 4．已知直線(t為參數(shù))上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是t1，t2，則|AB|＝(　　) A．|t1＋t2| B．|t1－t2| C.|t1－t2| D. 解析　依題意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，則|AB|＝ ＝|t1－t2|。故選C。 答案　C 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸

5、為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________。 解析　由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①。 又消去t，得y2＝8x②。 聯(lián)立①②得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)。 答案　(2，－4) 　考點(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化　　　　　　　　　　　　　　 　【例1】　把下列參數(shù)方程化為普通方程。 (1)(t為參數(shù))。 (2)(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))。 解　(1)由已知得t＝2x－2， 代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2)。 即它的普通方程為x－y＋5－＝

6、0。 (2)因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1， 即y＝1－x2。又因?yàn)閨sinθ|≤1， 所以其普通方程為y＝1－x2(|x|≤1)。 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普 通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性。參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元、整體消元等。 【變式訓(xùn)練】　在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝m。 (1)求曲線C

7、1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，可得其普通方程為y＝x2(－2≤x≤2)， 由曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝m，可得其直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0。 (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程， 可得x2－x－m＝0， 所以m＝x2－x＝2－， 因?yàn)椋?≤x≤2，曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn)， 所以－≤m≤6。 考點(diǎn)二直線參數(shù)方程的應(yīng)用 【例2】　(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。 (1)求C

8、和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率。 解　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1。 當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1。 (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0。 又由①得t1＋t2＝－， 故2cosα＋sinα＝0， 于是直線l的斜率k＝tanα＝－2。 1．

9、直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有幾何意義，即參數(shù)t的絕對(duì)值表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離。 2．根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)若直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長(zhǎng)l＝|t1－t2|。 (2)若定點(diǎn)M0(標(biāo)準(zhǔn)形式中的定點(diǎn))是線段M1M2(點(diǎn)M1，M2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，下同)的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0。 (3)設(shè)線段M1M2的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tM＝。 【變式訓(xùn)練】　(2019·西安八校聯(lián)考)以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)

10、)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ。 (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。 解　(1)由ρsin2θ＝4cosθ， 可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x。 (2)將直線l的參數(shù)方程代入y2＝4x， 整理得4t2＋8t－7＝0， 所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝。 考點(diǎn)三圓與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 【例3】　(2017·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。 (1)若a＝－1，求

11、C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a。 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1。當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0。 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，。 (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為 d＝＝， 其中sinφ＝，cosφ＝。 當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為。 由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當(dāng)a<－4時(shí)，d的最大值為。 由題設(shè)得＝，所以a＝－16。 綜上，a＝8或a＝－16。 橢圓的參數(shù)方程實(shí)質(zhì)是三角代換，有關(guān)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的

12、問(wèn)題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解。 【變式訓(xùn)練】　(2019·安徽質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin－2＝0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)。 (1)把C1和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求點(diǎn)A，B的直角坐標(biāo)； (2)若P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍。 解　(1)由題意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4， C2：x－y＝0。聯(lián)立 解得A(－1，－1)，B(1,1)或A(1,1)，B(－1，－1)。

13、 (2)設(shè)P(－1＋2cosα，1＋2sinα)， 不妨設(shè)A(－1，－1)，B(1,1)， 則|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin， 所以|PA|2＋|PB|2的取值范圍為 [16－8，16＋8]。 考點(diǎn)四求曲線的參數(shù)方程 【例4】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)。 (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程。 解　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1。 當(dāng)α＝時(shí)，

14、l與⊙O交于兩點(diǎn)。 當(dāng)α≠時(shí)，記tanα＝k， 則l的方程為y＝kx－。 l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈。 綜上，α的取值范圍是。 (2)l的參數(shù)方程為。 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tp＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0。 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα。 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 。 求曲線的參數(shù)方程最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是根據(jù)題意合理恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，比如本題選擇了直線的傾斜角α為參數(shù)，并且也要注意參數(shù)的取值范圍。 【變式訓(xùn)練】　如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的

15、傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程。 解　圓的半徑為， 記圓心為C，連接CP，則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos2θ＝cos2θ， yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ為參數(shù))。 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。 1．(配合例2使用)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin。 (1)求直線l的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,1)，求||PA|－|PB||的值。 解　(1

16、)易得直線l的普通方程為y＝x－1。 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)。 (2)點(diǎn)P(2,1)在直線l上，且在圓C內(nèi)，把代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－t－7＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－7<0，即t1，t2異號(hào)， 所以||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝。 2．(配合例3使用)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，m∈R)，以原

17、點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝(0≤θ≤π)。 (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到曲線C1的最小距離為2，求m的值。 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得C1的普通方程為x－y＋m＝0。 由曲線C2的極坐標(biāo)方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]， 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1(0≤y≤1)。 (2)設(shè)曲線C2上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，α∈[0，π]， 則點(diǎn)P到曲線C1的距離d＝＝ 。 因?yàn)棣痢蔥0，π]，所以cos∈， 2cos∈[－2，]， 由點(diǎn)P到曲線C1的最小距離為2得， 若m＋<0，則m＋＝－4，即m＝－4－。 若m－2>0，則m－2＝4，即m＝6。 若m－2<0，m＋>0，當(dāng)|m＋|≥|m－2|，即m≥時(shí)，－m＋2＝4，即m＝－2，不合題意，舍去； 當(dāng)|m＋|<|m－2|，即m<時(shí)，m＋＝4，即m＝4－，不合題意，舍去。 綜上，m＝－4－或m＝6。 9