2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版必修3

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1、3.3　隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4　概率的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過具體問題感受幾何概型的概念，體會幾何概型的意義.2.會求一些簡單的幾何概型的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法估計(jì)事件的概率.4.應(yīng)用概率解決實(shí)際問題． 知識點(diǎn)一　幾何概型的概念 思考　往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上．這個試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 答案　出現(xiàn)的結(jié)果是無限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的． 梳理 1．幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，如圖，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度

2、、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型． 2．幾何概型的特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 知識點(diǎn)二　幾何概型的概率公式 思考　既然幾何概型的基本事件有無限多個，難以像古典概型那樣計(jì)算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？ 答案　可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來表示． 梳理 幾何概型的概率計(jì)算公式 在幾何概型中，事件A的概率定義為：P(A)＝，其中，μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量． 知識點(diǎn)三　均勻隨

3、機(jī)數(shù) 1．隨機(jī)數(shù) 隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機(jī)會一樣． 2．計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法 建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個試驗(yàn)的結(jié)果來確定這些量．按照以上思路建立起來的方法稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法或蒙特卡羅方法． 1．與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(　×　) 2．隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　√　) 題型一　幾何概型的識別 例1　下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是(　　) A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與

4、它的形狀或位置無關(guān) C．幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個 D．幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性 答案　A 解析　幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無限多個，古典概型中的基本事件為有限個． 反思與感悟　幾何概型特點(diǎn)的理解 (1)無限性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無窮多個，即基本事件有無限多個； (2)等可能性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，每個試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型． (1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個“4點(diǎn)”的概率； (2)如圖所示，圖中有

5、一個轉(zhuǎn)盤，甲、乙玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率． 解　(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果有6×6＝36(種)，且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型． (2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，且它們的發(fā)生都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型． 題型二　幾何概型的計(jì)算 例2　某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率． 解　如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時刻為T1，T2，

6、T1T2＝15. 設(shè)T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A. 則當(dāng)乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發(fā)生． 因?yàn)門1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15， 所以P(A)＝＝. 引申探究　 1．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求候車時間不超過10分鐘的概率． 解　由原題解析圖可知，當(dāng)t落在TT2上時，候車時間不超過10分鐘，故所求概率P＝＝. 2．本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求乘客到達(dá)車站立即上車的概率． 解　由原題解析圖可知，當(dāng)t落在T0T2上時，乘客立即上車，故所求概率P＝＝＝. 反思與感悟　若一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果和某個事件A包

7、含的結(jié)果(基本事件)都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度，然后運(yùn)用幾何概型的概率計(jì)算公式求出事件A發(fā)生的概率． 跟蹤訓(xùn)練2　平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(r＜a)的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率． 解　記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知，硬幣圓心在線段AB上的任意一點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的．圓心在線段CD(不含點(diǎn)C，D)上出現(xiàn)時硬幣不與平行線相碰，所以P(A)＝＝＝. 例3　設(shè)點(diǎn)M(x，y)在區(qū)域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均勻分布出現(xiàn)，求： (1)x＋y≥

8、0的概率； (2)x＋y＜1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率． 解　如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點(diǎn)(x，y)組成一個邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD＝4. (1)x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點(diǎn)在AC的右上方(含AC)，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝. (2)設(shè)E(0,1)，F(xiàn)(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點(diǎn)在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝， 所以P(

9、x＋y＜1)＝＝＝. (3)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝＝. 反思與感悟　如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，某個隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且該區(qū)域中的每一個點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練3　歐陽修《賣油翁》中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕．若銅錢是直徑為3cm的圓，中間有一個邊長為1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不

10、計(jì))，則油滴正好落入孔中的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　∵S正方形＝1cm2，S圓＝π·2＝(cm2)， ∴P＝＝，故選A. 例4　已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于的概率． 解　如圖，分別在SA，SB，SC上取點(diǎn)A1，B1，C1，使A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時，點(diǎn)M到底面的距離小于. 設(shè)△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比為2，得△A1B1C1的面積為. 由題意，知區(qū)域D(三棱錐S－ABC)的體積為Sh， 區(qū)域d

11、(三棱臺ABC－A1B1C1)的體積為Sh－··＝Sh. 所以點(diǎn)M到底面的距離小于的概率為P＝. 反思與感悟　如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝. 解決此類問題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆． 跟蹤訓(xùn)練4　在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B.π C. D. 答案　D 解析　由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝，球的體積V2＝π×3＝π，則此點(diǎn)落在正

12、方體內(nèi)部的概率P＝＝. 題型三　均勻隨機(jī)數(shù)及隨機(jī)模擬方法 例5　在如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值. 解　隨機(jī)撒一把豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比， 即≈. 設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，則＝＝，由于落在每個區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的，所以π≈×4.所以就得到了π的近似值． 反思與感悟　(1)用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問題中事件A及基本事件總體對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍．用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費(fèi)時費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很

13、大． (2)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時可以在短時間內(nèi)進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識． 跟蹤訓(xùn)練5　利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由y＝1和y＝x2所圍成的圖形的面積． 解　以直線x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1為邊界作矩形， (1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b＝RAND； (2)進(jìn)行平移和伸縮變換，a＝2(a1－0.5)； (3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1，用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積． 例如做1000次試驗(yàn)，即N＝1000，模擬得到N1＝698， 所以P＝＝＝

14、， 即陰影部分的面積S＝矩形面積×＝2×＝1.396. 1．下列概率模型是幾何概型的為(　　) A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實(shí)根的概率 B．已知a，b滿足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實(shí)根的概率 C．從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率 D．求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計(jì)算) 答案　B 解析　對于選項(xiàng)B，a，b滿足的條件為坐標(biāo)平面內(nèi)某一區(qū)域，涉及面積問題，為幾何概型，其他三個選項(xiàng)均為古典概型． 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的

15、概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝. 3．如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影區(qū)域的面積是(　　) A. B. C. D．無法計(jì)算 答案　C 解析　在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，其結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)“落在陰影區(qū)域內(nèi)”為事件A，則事件A構(gòu) 成的區(qū)域是陰影部分．設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是正方形的面積，則有P(A)＝＝＝，解得S＝. 4．在200mL的水中有一個草履蟲，

16、現(xiàn)從中隨機(jī)取出20mL水樣利用顯微鏡觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________． 答案　0.1 解析　記“從200mL水中隨機(jī)取出20mL水樣利用顯微鏡觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲”為事件A，則由幾何概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝＝0.1. 5．在區(qū)間[0,1]上任取三個數(shù)a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率． 解　∵a，b，c∈[0,1]， ∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閱挝徽襟w(其中原點(diǎn)O為正方體的一個頂點(diǎn))． 設(shè)“|m|≥1”為事件A， 則表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，這樣的點(diǎn)(a，b，c)位于單位正方體內(nèi)

17、，且在以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球內(nèi)，V′＝×π×13＝. 又V正方體＝1，∴P()＝＝， 因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－. 1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的問題． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝. 一、選擇題 1．在區(qū)間(15,25)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)a，則這個實(shí)數(shù)滿足17

18、P(17

19、到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式，得立刻看到黃燈的概率為P＝＝. 4．如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是(　　) A．1－B.－1C．2－D. 答案　A 解析　由題意得，無信號的區(qū)域面積為2×1－2×π×12＝2－，由幾何概型的概率公式，得無信號的概率為P＝＝1－. 5．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該

20、矩形面積小于32cm2的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　設(shè)AC＝xcm，則BC＝(12－x)cm(0＜x＜12)， ∴矩形面積為x(12－x)cm2， 由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4， ∴0＜x＜4或8＜x＜12. ∴所求概率為＝，故選C. 6．有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) 答案　A 解析　選項(xiàng)A中，概率P＝；選項(xiàng)B中，概率P＝＝；選項(xiàng)C中，概率P＝＝；選項(xiàng)D中，概率P＝，則概率最大的為A，故選A. 7．如圖，在等腰三角形ABC中，∠AC

21、B＝120°，DA＝DC，過頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM

22、剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn)． 如圖，記“剪得兩段的長都不小于1m”為事件A.把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的，于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 9．有一個圓面，圓面內(nèi)有一個內(nèi)接正三角形，若隨機(jī)向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內(nèi)的概率為________． 答案　 解析　設(shè)圓面半徑為R， 如圖所示，△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD ＝3·Rsin60°·Rcos60°＝， ∴P＝＝＝. 10．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為

23、白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，運(yùn)動員在距離靶面70m外射箭．假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)，那么射中黃心的概率是________． 答案　0.01 解析　由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為×π×1222cm2的大圓內(nèi)，若要射中黃心，則中靶點(diǎn)落在面積為×π×12.22cm2的圓內(nèi)，所以P＝＝0.01. 11．已知圓O：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25，則圓O上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________． 答案　 解析　因?yàn)閳A心(0,0)到直線l的距離為5，圓O的半徑為2，所以直線l

24、與圓O相離．設(shè)l0∥l且圓心到l0的距離為3，則滿足題意的點(diǎn)A位于l0，l之間的弧上(不在直線l0上)，結(jié)合條件可求得該弧所對的圓心角為周角的，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得P＝. 三、解答題 12．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，求使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率． 解　在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)記為(a，b)，表示邊長為2π的正方形邊界及內(nèi)部(正方形的中心為原點(diǎn))．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，需4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的圓周及外部，且在正方形的內(nèi)部，所以其面積為4π2－π2＝3

25、π2，所以有零點(diǎn)的概率為＝. 13.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率． 解　弦長不超過1，故OQ≥，因?yàn)镼點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，設(shè)事件A為“弦長長度超過1”，由幾何概型概率的計(jì)算公式得， P(A)＝＝.所以其對立事件“弦長不超過1”的概率為P()＝1－P(A)＝1－. 四、探究與拓展 14．在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為________． 答案　1－ 解析　如圖，要使圖中點(diǎn)到O的距離大于1，則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分，故概率P＝＝1

26、－. 15．兩人約定在20時到21時之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，且在20時到21時之間各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率． 解　設(shè)兩人分別于(20＋x)時和(20＋y)時到達(dá)約定地點(diǎn)(0≤x，y≤1)，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，則有－≤x－y≤.(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形(包括邊界)來表示，滿足兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見的(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示． 因此陰影部分與單位正方形的面積比就是兩人在約定時間范圍內(nèi)相見的可能性的大小，也就是所求的概率，即P＝＝＝. 14