2020版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第一節(jié) 函數(shù)及其表示學案 文（含解析）新人教A版

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1、第一節(jié)　函數(shù)及其表示 2019考綱考題考情 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 定義 建立在兩個非空數(shù)集A到B的一種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應 建立在兩個非空集合A到B的一種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 記法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 2.函數(shù)的三要素 函數(shù)由定義域、對應關系和值域三個要素構成，對函數(shù)y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}

2、叫做值域。 3．函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法：解析法、列表法、圖象法。 4．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)。 　 1．一種優(yōu)先意識 函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎依據(jù)，對函數(shù)的研究，必須堅持定義域優(yōu)先的原則。 2．兩個關注點 (1)分段函數(shù)是一個函數(shù)。 (2)分段函數(shù)的定義域、值域是各段定義域、值域的并集。 3．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點。 一、走進教材 1．(必修1P18例2改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋

3、1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析　對于A，函數(shù)y＝()2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應法則都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應法則不同，不是相等函數(shù)。故選B。 答案　B 2．(必修1P25B組T1改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________。 答案　

4、[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5] 二、走近高考 3．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝的定義域為________。 解析　要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，即x≥2，則函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞)。 答案　[2，＋∞) 4．(2017·山東高考)設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　當01，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因為f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)。所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6。當a≥1時，a＋

5、1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，無解。綜上f＝6。故選C。 解析： 由f(x)的解析式可知其圖象為：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增。由f(a)＝f(a＋1)可知，自變量a和a＋1不可能同在單調(diào)區(qū)間(0,1)上，自變量 a和a＋1也不可能同在單調(diào)區(qū)間[1，＋∞)上，因此自變量a和a＋1必須分別分布在兩個不同的區(qū)間上。又a

6、2a，又a∈(0,1)，解得a＝。所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6。故選C。 答案　C 三、走出誤區(qū) 微提醒：①對函數(shù)概念理解不透徹；②對分段函數(shù)解不等式時忘記范圍；③換元法求解析式，反解忽視范圍。 5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應關系f不是函數(shù)的是________。(填序號) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝。 解析　對于③，因為當x＝4時，y＝×4＝?Q，所以③不是函數(shù)。 答案　③ 6．設函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________。 解析　因為f(x)是

7、分段函數(shù)，所以f(x)≥1應分段求解。當x<1時，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1。當x≥1時，f(x)≥1?4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10。綜上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]。 答案　(－∞，－2]∪[0,10] 7．已知f()＝x－1，則f(x)＝________。 解析　令t＝，則t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)。 答案　x2－1(x≥0) 考點一函數(shù)的定義域 【例1】　(1)(2019·河南、河北兩省重點高中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝＋ln(x＋4

8、)的定義域為________。 (2)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－8,1]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________。 解析　(1)要使函數(shù)f(x)有意義，需有解得－4

9、))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域。 【變式訓練】　(1)函數(shù)f(x)＝ln＋的定義域為(　　) A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．(－4,0)∪(0,1) C．[－4,0)∪(0,1) D．[－4,0)∪(0,1] (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2 018]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是(　　) A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017] C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018] (3)若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

10、 A． B． C． D． 解析　(1)由解得－4≤x<0或00恒成立，得a＝0或解得0≤a<。 答案　(1)C　(2)B　(3)D 考點二求函數(shù)的解析式 【例2】　(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x＋1)＝4x2－6x＋

11、5，則f(x)＝________。 (2)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________。 (3)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)。若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x<0時，f(x)＝________。 解析　(1)令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝，所以f(t)＝42－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)。 解法一(配湊法)：因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9。 解法二(待定系數(shù)法)：因為

12、f(x)是二次函數(shù)，所以設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c。因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9。 (2)因為2f(x)＋f＝3x①，所以將x用替換，得2f＋f(x)＝②，由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)。 (3)(轉換法)當－1≤x<0時，則0≤x＋1<1，故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以－1≤x<0時，f(x)＝－。 答案　(1)x2－

13、5x＋9　(2)2x－(x≠0) (3)－ 求函數(shù)解析式常用到如下方法 ①待定系數(shù)法；②換元法；③配湊法；④轉換法；⑤解方程組法。 【變式訓練】　(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________。 (2)已知f＝lgx，則f(x)＝________。 解析　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx。又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以解得a＝b＝。所以

14、f(x)＝x2＋x(x∈R)。 (2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)。 答案　(1)x2＋x(x∈R)　(2)lg(x>1) 考點三分段函數(shù)微點小專題 方向1：分段函數(shù)求值 【例3】　(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________。 解析　因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4。因為在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝co

15、s＝。 答案　 根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值。首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解，同時也要注意函數(shù)的奇偶性、周期性的應用。 方向2：求參數(shù)或自變量的值 【例4】　設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))＝2，則a＝________。 解析　當a>0時，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0與a＝－舍去)。當a≤0時，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解。故a＝。 答案　 此類問題有以下兩種解法 1．解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出

16、的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可。 2．如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結合圖象求解。 【題點對應練】　 1．(方向1)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＝(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 解析　因為f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4。故選C。 答案　C 2．(方向2)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝(　　) A．－ B．3 C．－或3 D．－或3 解析　當a>0時，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a>0)；當a≤0時，若f(a)＝3

17、，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去。于是，可得a＝2。故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－。故選A。 答案　A 考點四函數(shù)新定義問題 【例5】　(2019·洛陽高三統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”： (1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0； (2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0。 ①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)。 以上四個函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個數(shù)是(　　) A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 解析　由條件(1)，得f(x)是R上的奇函數(shù)

18、，由條件(2)，得f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)。對于①，f(x)＝sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于④，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，故不是“優(yōu)美函數(shù)”。故選B。 答案　B 所謂“新定義”函數(shù)，是相對于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)過或尚未介紹的一類函數(shù)。函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個新的概念、新的運算法則，或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學生按照這種“新定義”去解決相關的問題。常見形式有：①討論新函數(shù)的性質(zhì)；②利用新函數(shù)

19、進行運算；③判斷新函數(shù)的圖象；④利用新概念判斷命題真假等。 【變式訓練】　若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點M，N關于原點對稱，則稱點對(M，N)是函數(shù)y＝f(x)的一對“和諧點對”。已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“和諧點對”有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 解析　作出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，f(x)的“和諧點對”數(shù)可轉化為y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的圖象的交點個數(shù)。由圖象知，函數(shù)f(x)有2對“和諧點對”。 答案　B 1．(配合例1使用)已知集合M是函數(shù)y＝的定義域，集合N是函數(shù)y＝x2－4的值域，則M∩N＝(　　)

20、解析　由題意得M＝，N＝[－4，＋∞)，所以M∩N＝。故選B。 答案　B 2．(配合例2使用)已知f＝＋，則f(x)＝(　　) A．(x＋1)2　(x≠1) B．(x－1)2　(x≠1) C．x2－x＋1　(x≠1) D．x2＋x＋1　(x≠1) 解析　f＝＋＝2－＋1，令t＝，因為＝＋1≠1，所以t≠1，所以f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1)。故選C。 答案　C 3．(配合例3使用)已知函數(shù)f(x)＝則f的值為(　　) A．－1 B．1 C． D． 解析　依題意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1。故選B。 答案　B

21、 4．(配合例4使用)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________。 解析　根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，當x≤0時，則f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1>1，解得－0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象可得，f(x)＋f>1恒成立，所以x的取值范圍是。 答案　 5．(配合例5使用)數(shù)學上稱函數(shù)y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)為線性函數(shù)。對于非線性可導函數(shù)f(x)，在點x0附近一點x的函數(shù)值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)。利用這一方法，m＝的近似代替值(　　) A．大于m

22、B．小于m C．等于m D．與m的大小關系無法確定 解析　依題意，取f(x)＝，則f′(x)＝，所以≈＋(x－x0)。令x＝4.001，x0＝4，所以≈2＋×0.001。因為2＝4＋0.001＋2>4.001，所以m＝的近似代替值大于m。 答案　A 換元法求函數(shù)值 函數(shù)求值問題涉及很多方面： 1．分段函數(shù)求值問題，關鍵在于準確確定與自變量對應的函數(shù)解析式。 2．利用函數(shù)性質(zhì)求值的關鍵在于利用函數(shù)的奇偶性、周期性或?qū)ΨQ性等將自變量轉化到已知區(qū)間內(nèi)求解。 3．對于自變量之間存在某種特殊關系的函數(shù)求值問題，要注意與自變量對應的函數(shù)值之間關系的建立。 這里我們重點研究換元法求函

23、數(shù)值，請看下面例子： 【典例】　設x∈R，若函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則f(ln2)的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因為f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，都有f(f(x)－ex)＝e＋1，所以f(x)－ex必然是一個常數(shù)，設f(x)－ex＝t(t為常數(shù))，則f(x)＝ex＋t，故f(t)＝et＋t。由已知可得f(t)＝e＋1，所以et＋t＝e＋1。又函數(shù)y＝ex＋x在R上是單調(diào)遞增的，顯然t＝1，所以f(x)＝ex＋1，故f(ln2)＝eln2＋1＝3。故選C。 【答案】　C 先利用換元法，根據(jù)已知求出函數(shù)f(x)的解析式，然后代入求值。 【變式訓練】　設定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(tan2x)＝，則f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝________。 解析　設t＝tan2x，則＝＝＝＝，所以f(t)＝。故f(t)＋f＝＋＝＋＝0。所以f＋f＋…＋f＋f＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＝＝1。 答案　1 11