2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第五節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第五節(jié)　合情推理與演繹推理 2019考綱考題考情 1．合情推理 (1)歸納推理 ①定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。 ②特點(diǎn)：是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。 (2)類比推理 ①定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。 ②特點(diǎn)：是由特殊到特殊的推理。 2．演繹推理 (1)演繹推理 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段論”

2、是演繹推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情況。 ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。 　 1．合情推理包括歸納推理和類比推理，其結(jié)論是猜想，不一定正確，若要確定其正確性，則需要證明。 2．在進(jìn)行類比推理時(shí)，要從本質(zhì)上去類比，只從一點(diǎn)表面現(xiàn)象去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。 3．應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，要明確什么是大前提、小前提，如果前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的。若大前提或小前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，但所得結(jié)論是錯(cuò)誤的。 一、走進(jìn)教材 1．(選修2－2P84A組T3改編)對(duì)于任意正整數(shù)n,2n與n2的大小關(guān)

3、系為(　　) A．當(dāng)n≥2時(shí)，2n≥n2 B．當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥n2 C．當(dāng)n≥4時(shí)，2n>n2 D．當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2 解析　當(dāng)n＝2時(shí)，2n＝n2；當(dāng)n＝3時(shí)，2nn2；當(dāng)n＝6時(shí)，2n>n2；歸納判斷，當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2。故選D。 答案　D 2．(選修2－2P84A組T5改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為_(kāi)_______。 解析　根據(jù)類比推理的特點(diǎn)可知：等比數(shù)列和等差數(shù)

4、列類比，在等差數(shù)列中是和，在等比數(shù)列中是積，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。 答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、走近高考 3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)?？春蠹讓?duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道四人的成績(jī) C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D．乙、丁可以知道自己的成績(jī) 解析　由于甲不知道自己的成績(jī)，故乙、

5、丙的成績(jī)中一個(gè)為優(yōu)秀、一個(gè)為良好，所以丁看到甲的成績(jī)后一定能斷定自己的成績(jī)，乙看到丙的成績(jī)后可以知道自己的成績(jī)。故選D。 答案　D 4．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3，甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________。 解析　由題意得，丙不拿2和3。若丙拿1和2，則乙拿2和3，甲拿1和3，滿足題意；若丙拿1和3，則乙拿2和3，甲拿1和2，不滿足題意。故甲卡片上的數(shù)字是1和3。 答案　1和

6、3 三、走出誤區(qū) 微提醒：①歸納推理沒(méi)有找出規(guī)律；②類比推理類比規(guī)律錯(cuò)誤。 5．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式： x＋≥2， x＋≥＋＋≥3， x＋＝＋＋＋≥4， …… 類比得，x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝________。 解析　由已知三個(gè)式子知n＝1時(shí)，a＝1；n＝2時(shí)，a＝22＝4；n＝3時(shí)，a＝33＝27，由此歸納可得a＝nn。 答案　nn 6．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________。 解析　從平面圖形類

7、比空間圖形，從二維類比三維，可得如下結(jié)論：正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，故正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于＝3＝。 答案　 考點(diǎn)一歸納推理 【例1】　(1)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…。若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，則n＝(　　) A．8　　　 B．9 C．10　　　 D．11 (2)(2019·湖南五市十校聯(lián)考)圖①是美麗的“勾股樹(shù)”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到。圖②是第1代“勾股樹(shù)”，重復(fù)圖②的作法，得到圖③為第2代“勾股樹(shù)”，以此類推，已知最大的

8、正方形面積為1，則第n代“勾股樹(shù)”所有正方形的面積的和為(　　) A．n B．n2 C．n－1 D．n＋1 解析　(1)觀察所提供的式子可知，等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)是n3時(shí)，等號(hào)右邊的數(shù)為2，因此，令2＝3 025，則＝55，所以n＝10。故選C。 (2)最大的正方形面積為1，當(dāng)n＝1時(shí)，由勾股定理知正方形面積的和為2，依次類推，可得所有正方形面積的和為n＋1。故選D。 答案　(1)C　(2)D 歸納推理是從特殊到一般的推理，所以應(yīng)根據(jù)題中所給的現(xiàn)有的圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等著手分析，從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論。 【變式訓(xùn)練】　《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，

9、請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)。得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟?！痹谶@里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2＝，3＝，4＝，5＝，則按照以上規(guī)律，若8＝具有“穿墻術(shù)”，則n＝(　　) A．35 B．48 C．63 D．80 解析　根據(jù)規(guī)律得3＝1×3，8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n＝7×9＝63。故選C。 答案　C 考點(diǎn)二類比推理 【例2】　(1)(2019·四川廣元一模)二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V＝8

10、πr3，則其四維測(cè)度W＝(　　) A．2πr4 B．3πr4 C．4πr4 D．6πr4 (2)若P0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a>b>0)外，過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是＋＝1。那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)外，過(guò)P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________。 解析　(1)由題意得，二維空間中，二維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為一維測(cè)度；三維空間中，三維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為二維測(cè)度。由此歸納，在四維空間中，四維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為三維測(cè)度，故W＝2πr4。故選A。 (2)由

11、橢圓與雙曲線類比可得，切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是－＝1。 答案　(1)A　(2)－＝1 1．進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想。其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵。 2．類比推理常見(jiàn)的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等。 【變式訓(xùn)練】　(2018·桂林模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！彼w現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程。比如在表達(dá)式1＋中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定

12、值，它可以通過(guò)方程1＋＝x求得x＝。類比上述過(guò)程，則＝________。 解析　由題意可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－2 018)＝0(x≥0)，解得x＝2 018，即＝2 018。 答案　2 018 考點(diǎn)三演繹推理 【例3】　(1)(2019·山東淄博一模)有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值為0，所以x＝0是f(x)＝x3的極值點(diǎn)，以上推理(　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．結(jié)論正確 (2)(2019·湖南模擬)天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)

13、，中國(guó)自古便有十天干與十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，以此類推。已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國(guó)成立80年時(shí)為_(kāi)_______年(　　) A．丙酉　　B．戊申 C．己申　　D．己酉 解析　(1)大前提是“對(duì)

14、于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”，不是真命題，因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果f′(x0)＝0，且滿足在x0附近左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值異號(hào)，那么x＝x0才是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以大前提錯(cuò)誤。故選A。 (2)天干以10循環(huán)，地支以12循環(huán)，從1949年到2029年經(jīng)過(guò)80年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項(xiàng)，80÷10＝8，則2029年的天干為己；80÷12＝6……8，則2029年的地支為酉。故選D。 答案　(1)A　(2)D 演繹推理的推證規(guī)則 1．演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論

15、解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略。 2．在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成。 【變式訓(xùn)練】　(1)用“三段論”推理：任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a的絕對(duì)值大于0。你認(rèn)為這個(gè)推理(　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．是正確的 (2)在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系：甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和。那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為_(kāi)_______。 解析　(1)實(shí)數(shù)0

16、的絕對(duì)值等于0，不大于0，大前提錯(cuò)誤。 (2)因?yàn)榧?、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因?yàn)槎〉拈喿x量大于乙、丙閱讀量之和，所以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙。 答案　(1)A　(2)甲、丁、乙、丙 1．(配合例1使用)給出以下數(shù)對(duì)序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij，如a43＝(3,2)，則anm＝(　　) A．(m，n－m＋1) B．(m－1

17、，n－m) C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m) 解析　由前4行的特點(diǎn)，歸納可得：若anm＝(a，b)，則a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)。 答案　A 2．(配合例1使用)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于n∈N*，則1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________。 解析　由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，歸納猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2。 答案　n2 3．(配合例2使用)如圖，在△A

18、BC中，O為其內(nèi)切圓圓心，過(guò)O的直線將三角形面積分為相等的兩部分，且該直線與AC，BC分別相交于點(diǎn)F，E，則四邊形ABEF與△CEF的周長(zhǎng)相等。試將此結(jié)論類比到空間，寫(xiě)出一個(gè)與其相關(guān)的命題，并證明該命題的正確性。 解　 如圖，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體ABCD的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)的球心O，且與BC，DC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若截面將四面體分為體積相等的兩部分，則四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積相等。 下面證明該結(jié)論的正確性： 設(shè)內(nèi)切球半徑為R， 則VA－BEFD＝(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四邊形BEFD)×R＝VA－EFC＝(S△AEC＋S△AC

19、F＋S△ECF)×R， 即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四邊形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，兩邊同加S△AEF可得結(jié)論。 4．(配合例3使用)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)。證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an。 證明　(1)因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn。 故＝2·，(小前提) 故是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列。(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義) (2)由(1)可知數(shù)列是等比數(shù)列，(大前提) 所以＝4·(n≥2)， 即Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)。 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) 所以對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an。(結(jié)論) 8