2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練2 理 1．△ABC內(nèi)角為A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝＋. (1)求sin(A＋B)＋sin Acos A＋cos(A－B)的最大值； (2)若b＝，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)． [解]　(1)由＝＋得： ＝， ∴a＝bcos C＋csin B，即 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B， ∴cos B＝sin B，B＝； 由sin(A＋B)＋sin Acos A＋cos(A－B) ＝(sin A＋cos A)＋sin Acos A， 令t＝sin A＋cos A，t∈(0

2、，]，原式＝t2＋t－， 當(dāng)且僅當(dāng)A＝時(shí)，上式取得最大值，最大值為. (2)S＝acsin B＝ac，b2＝a2＋c2－2accos B， 即2＝a2＋c2－ac≥(2－)ac，ac≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝等號(hào)成立；Smax＝，周長(zhǎng)L＝a＋b＋c＝2＋. 2.如圖55，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，E是DP中點(diǎn)． 圖55 (1)證明：PB∥平面ACE； (2)若AP＝PB，AB＝PC＝PB，求平面EAC與平面PBC所成二面角的正弦值． [解]　(1)證明：如圖，連接BD，BD∩AC＝F，連接EF， ∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形， ∴F為

3、BD中點(diǎn)，又∵E是DP中點(diǎn)， ∴在△BDP中，EF是中位線，∴EF∥PB， 又∵EF?平面ACE，而PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE. (2)如圖，取AB的中點(diǎn)Q，連接PQ，CQ， ∵ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴CQ⊥AB. 設(shè)AB＝PC＝2，∴AP＝PB＝，∴CQ＝，且△PAB為等腰直角三角形，即∠APB＝90°，PQ⊥AB，∴AB⊥平面PQC，且PQ＝1， ∴PQ2＋CQ2＝CP2，∴PQ⊥CQ.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，以Q為原點(diǎn)，BA所在的直線為x軸，QC所在的直線為y軸，QP所在的直線為z軸，則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0

4、，，0)，P(0,0,1)，B(－1,0,0)，D(2，，0)，E，＝，＝(－1，，0)， ＝(－1,0，－1)，＝(0，，－1)， 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面AEC的一個(gè)法向量，則即， 可取n1＝(，1，－)． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面PBC的一個(gè)法向量， 則即 可取n2＝(－，1，)． 于是|cos〈n1，n2〉|＝＝. 所以平面EAC與平面PBC所成二面角的正弦值為. 3．(2018·永州市三模)某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20 000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B

5、，C三類(lèi)工種，從事這三類(lèi)工種的人數(shù)分別為12 000,6 000,2 000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類(lèi)工種的賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付概率)： 工種類(lèi)別 A B C 賠付頻率 已知A，B，C三類(lèi)工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元． (1)求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所或利潤(rùn)的期望值； (2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇： 方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為

6、每年12萬(wàn)元； 方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專(zhuān)項(xiàng)開(kāi)支． 請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議． [解]　(1)設(shè)工種A、B、C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為 X 25 25－100×104 P 1－ Y 25 25－100×104 P 1－ Z 40 40－50×104 P 1－ 保險(xiǎn)公司的期望收益為 E(X)＝25＋(25－100×104)×＝15； E(Y)＝25＋(25－100×104)×＝5； E

7、(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10； 保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)的期望值為12 000×E(X)＋6 000×E(Y)＋2 000×E(Z)－100 000＝90 000， 保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值為9萬(wàn)元． (2)方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開(kāi)支共為： 12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104， 方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為： (12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104， 46×104＞37.1×104，故

8、建議企業(yè)選擇方案2. 4．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明方程表示什么軌跡； (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sin θ－cos θ＝，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)． [解]　(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， 所以曲線C的普通方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝10，?、? 曲線C表示以C(3,1)為圓心，為半徑的圓． 將代入①并化簡(jiǎn)，得 ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因

9、為直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1， 所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝， 所以直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2＝. [選修4—5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|mx－1|. (1)若m＝1，求f(x)的最小值，并指出此時(shí)x的取值范圍； (2)若f(x)≥2x，求m的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|＋|x－1| ≥|(x＋1)－(x－1)|＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)(x－1)≤0時(shí)取等號(hào)， 故f(x)的最小值為2， 此時(shí)x的取值范圍是[－1,1]． (2)當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)≥2x顯然成立，所以此時(shí)m∈R； 當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝x＋1＋|mx－1|≥2x， 得|mx－1|≥x－1. 由y＝|mx－1|及y＝x－1的圖象，可得|m|≥1且≤1， 解得m≥1或m≤－1. 綜上所述，m的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．