高等數(shù)學(xué) 分部積分法

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1、會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 分部積分法分部積分法 ?dxxex利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 問題問題解決思路解決思路分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容第1頁/共31頁1 1、分部積分法適用于以下幾種類型：、分部積分法適用于以下幾種類型：xdxxPxdxxPcos)(sin)(或或1dxexPx)(2xdxxQln)(3dxxQxdxxQarctan)(arcsin)(或或4bxdxebxdxeaxaxcossin或或5第2頁/

2、共31頁如如以及一些特殊類型以及一些特殊類型的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式均為均為其中其中xxQxP)(),(的乘積）使待積式的乘積）使待積式（或另一部分與（或另一部分與視為視為dxdv )()()(xdvxudxxf轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為 dxxxxxdx231arcsinsec62 2、應(yīng)用分部積分法計算不定積分的、應(yīng)用分部積分法計算不定積分的過程可分為四個步驟：過程可分為四個步驟：另一部分另一部分看成看成把被積函數(shù)中的一部分把被積函數(shù)中的一部分與與選擇選擇,udvu1第3頁/共31頁除除難難點(diǎn)點(diǎn)，變變較較難難的的函函數(shù)數(shù)分分部部積積分分法法的的作作用用是是解解的的積積分分，因因此此此此法法的的積積分分為為較較易

3、易的的函函數(shù)數(shù)uvvu dvu和和關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于如如何何分分配配)vdv于求于求可用湊微分法，這樣便可用湊微分法，這樣便因此選取因此選取)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu即即代公式代公式2dxudu求求微微分分33積分出來積分出來把把計算積分計算積分dxuv4指導(dǎo)思想指導(dǎo)思想.過過程程分分（這這實(shí)實(shí)際際上上也也是是一一個個積積使使之之求求得得先先選選擇擇vdv13 3、選擇、選擇u u和和dvdv的一般原則的一般原則第4頁/共31頁的的，開開始始試試探探時時含含有有相相當(dāng)當(dāng)容容易易計計算算比比 udvvdu定定可可靠靠，弄弄得得不不和和經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)的的成成分分，并并不不一一主主

4、觀觀愿愿望望過過一一個個困困難難，因因此此，往往往往要要通通好好，還還有有可可能能越越轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化越越擇擇計計基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上的的試試探探性性的的選選建建立立在在經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)、視視察察、估估進(jìn)進(jìn)行行計計算算。的的選選擇擇并并與與正正式式確確定定過過程程，有有了了把把握握后后，再再dvu容易計算容易計算比原來的不定積分比原來的不定積分要使要使udvvdu24 4、由于在實(shí)際應(yīng)用中，將被積表達(dá)式、由于在實(shí)際應(yīng)用中，將被積表達(dá)式 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為UdvUdv的方式一般不是唯一的。的方式一般不是唯一的。dxxf)(第5頁/共31頁問問題題具具體體分分析析并并無無一一定定之之規(guī)規(guī)，要要具具體體與與如如何何選選擇擇dvu

5、都都能能有有時時往往往往多多種種選選擇擇方方案案并并注注意意積積累累經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)，而而且且選擇較選擇較情況下，就自然應(yīng)爭取情況下，就自然應(yīng)爭取得到最終結(jié)果，在這種得到最終結(jié)果，在這種為為于于記記憶憶，有有人人把把它它簡簡稱稱有有規(guī)規(guī)律律可可循循的的，為為了了便便的的問問題題還還是是與與何何選選擇擇簡簡單單，明明快快的的方方案案，如如dvuLIATE 法。其中法。其中對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) L反反三三角角函函數(shù)數(shù) I代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù) A三角函數(shù)三角函數(shù) T指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) E第6頁/共31頁們們所所要要計計算算的的選選擇擇法法的的意意思思是是說說，我我述述五五種種中中任任何何兩兩積積分分中中當(dāng)當(dāng)被被積積函

6、函數(shù)數(shù)是是上上出現(xiàn)在出現(xiàn)在種乘積時，可以選擇先種乘積時，可以選擇先LIATE vu 剩剩下下的的作作為為中中的的那那種種函函數(shù)數(shù)為為LIATE 第7頁/共31頁求積求積分分.cos xdxx解（一解（一）令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxd sin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例1 1第8頁/共31頁求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2

7、 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪就考慮設(shè)冪函數(shù)為函數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整假定冪指數(shù)是正整數(shù)數(shù))u例例2 2結(jié)論結(jié)論第9頁/共31頁求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arct

8、an222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例3 3第10頁/共31頁求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .u例例4 4結(jié)論結(jié)論第11頁/共31頁求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln

9、)cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例5 5第12頁/共31頁求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 例例6 6注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式第13頁/共31頁求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解

10、,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 例例7 7第14頁/共31頁dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 第15頁/共31頁已知已知)(xf的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx )

11、,()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例例8第16頁/共31頁dxx) 1ln(2求求 )1ln()1ln(22xxdxx解：原式解：原式 dxxxxxx2212)1ln( dxxxxx22211)1(2)1ln( dxxdxxx221122)1ln(Cxxxx arctan22)1ln(2例例9第17頁/共31頁dxxexx22)2(求求 )21(2xdexx解解：原原式式 dxxexxexexxxx22222 dxxxxexexxx2)2(22 xxxxxdexexdxxexex2

12、222Cexexexxxx 22例例1010第18頁/共31頁xdxI3sec求求解解 xdxI3sec xxdxxxxdsectantansectansec分部分部 xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2dxxxxx )tan(sectansec3xIxxcoslntansec CxxxI )coslntan(sec21例例1111這是一個這是一個循環(huán)積分循環(huán)積分解出解出I I即可即可第19頁/共31頁dxexIx153求求解解直接用分部積分，計算過程比較復(fù)雜，作變換直接用分部積分，計算過程比較復(fù)雜，作變換 )(3333xdexex dxexx1

13、53 dyyeeyxy33Ceyeeyy )(3Ceexexx )(3333例例1212第20頁/共31頁下面介紹分部積分速算法下面介紹分部積分速算法 dxxvxu)( )( )()(xdvxu微分部分微分部分積分部分積分部分)(xu)( xv)( xu)(xv)( xu dxxv)( dxxv)(.0+-+思思路路結(jié)結(jié) 束束第21頁/共31頁例例12 xdxx cos2豎式算法豎式算法微分部分微分部分積分部分積分部分2xxcosx2xsin2xcos 0 xsin +- xdxx cos2Cxxxxx sin2cos2sin2xvxucos,2 選選結(jié)結(jié) 束束第22頁/共31頁2xx220+

14、-Cexeexxxx 222求積分求積分.2 dxexxxexexexe dxexx2xevxu ,2選選例例1313豎式算法豎式算法微分部分微分部分積分部分積分部分結(jié)結(jié) 束束第23頁/共31頁xarctan211x +Cxxxx )arctan(21arctan212x221x dxxarctanxvxu ,arctan選選求積分求積分 xdxxarctan-調(diào)整線調(diào)整線1)1(222xx 0)arctan(21xx 豎式算法豎式算法微分部分微分部分積分部分積分部分例例1414結(jié)結(jié) 束束第24頁/共31頁)1ln(2 x212xx +Cxxxx )arctan(2)1ln(21x dxx)1

15、ln(21),1ln(2 vxu選選-調(diào)整線調(diào)整線12212xx 0)arctan(2xx dxx)1ln(2求求豎式算法豎式算法微分部分微分部分積分部分積分部分例例1515結(jié)結(jié) 束束第25頁/共31頁dxxxx21arctan+Cxxxx )1ln(arctan122 dxx)1ln(221xx -調(diào)整線調(diào)整線10 xarctan211x 21x 211x )1ln(2xx 21,arctanxxvxu 選選例例1616豎式算法豎式算法微分部分微分部分積分部分積分部分結(jié)結(jié) 束束第26頁/共31頁你能熟練計算以下積分嗎？你能熟練計算以下積分嗎？ xdxsin xdx2sin xdx3sin x

16、dx4sin xdx5sin xdxsin xdx2sin xdx3sin xdx4sin xdx5sin第27頁/共31頁合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 小 結(jié)第28頁/共31頁 在接連幾次應(yīng)用分部積分公在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，應(yīng)注意什么？式時，應(yīng)注意什么？思考題思考題第29頁/共31頁注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應(yīng)選第二次時仍應(yīng)選xusin2 思考題解答第30頁/共31頁