華師大八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用

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1、 暑假專題——函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用 重點(diǎn)、難點(diǎn) 數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 【典型例題】 一. 方程思想的應(yīng)用 例1. 已知點(diǎn)P(x,x+y)與點(diǎn)Q(y+5,x-7)關(guān)于x軸對(duì)稱,則點(diǎn)Q坐標(biāo)為______。 分析:P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)相反 構(gòu)造方程組 解得: ∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3) 例2. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限,求m的值。 分析:一次函數(shù)條件:x的次數(shù)為1 即: 得: 解得: 而當(dāng) 此時(shí)圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限 不符合題意,舍去 故m=3 例3. 已知:在△ABC中,,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)(P不與A、B重合)

2、,過(guò)點(diǎn)P作PE//BC交AC于E,連結(jié)BE,設(shè)AP=x,△BPE的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求自變量x的取值范圍。 分析: ∴知道PE的長(zhǎng)、EC的長(zhǎng)是關(guān)鍵,而PE、EC與三角形相似有關(guān)。 所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關(guān)系。 即:用含x的式子表示PE、EC,進(jìn)而得到函數(shù)關(guān)系式。 解: 二. 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例1. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第_______象限。 分析:充當(dāng)中的k,此時(shí)大于0 充當(dāng)中的b,此時(shí)小于0 則依據(jù)直線,當(dāng)?shù)膱D象示意圖:可知圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限。 例2. 已知反比例函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn),若,

3、試判斷的大小關(guān)系。 分析:反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限 只需將在圖像上找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn),則可確定相應(yīng)的函數(shù)值。從而根據(jù)位置判斷大小。 y軸上,越往上數(shù)越大,所以。 例3. 如圖所示,一次函數(shù)的圖像過(guò)第一、三、四象限,且與雙曲線的圖像交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C,是終邊上的一點(diǎn),若,原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離為 (1)求A點(diǎn)坐標(biāo); (2)求反比例函數(shù)的解析式; (3)若,求一次函數(shù)的解析式。 分析:此題關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中借助及,在Rt△中求A點(diǎn)坐標(biāo)。從而進(jìn)一步借助到y(tǒng)軸距離等于,求出b,確定一次函數(shù)的解析式。 解:(1)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),且 過(guò)A作軸交x軸

4、于M 則 在 所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(5,1) (2)此反比例函數(shù)解析式為 (3),且(OC=|b|,C在x軸下方) ∴一次函數(shù)解析式為: 又∵直線過(guò)點(diǎn) ∴一次函數(shù)解析式為 三. 分類討論思想的應(yīng)用 例1. 已知點(diǎn)N在x軸下方,且到x軸距離為2,到y(tǒng)軸距離為,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_________。 分析:設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(x,y) 由題意得: 則 又∵點(diǎn)N在x軸下方,y<0 例2. 已知直線與直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為9,則直線解析式為__________。 分析:設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為A,與y軸交點(diǎn)為B 則 ∴直線解析式為

5、例3. 已知點(diǎn)A為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第四象限夾角平分線上一點(diǎn),且OA=5,試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C,使得△AOC為等腰三角形,并寫出C點(diǎn)坐標(biāo)。 分析:首先應(yīng)分別在x軸和y軸上找點(diǎn)C 其次,△AOC應(yīng)分類找:(1)OA為腰;(2)OA為底 當(dāng)C點(diǎn)在x軸上時(shí) 當(dāng)C點(diǎn)在y軸上時(shí) 四. 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例1. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限,求k的取值范圍。 分析:直線經(jīng)過(guò)二、三、四象限 則 得: 所以 例2. 待定系數(shù)解題(轉(zhuǎn)化為方程組) 如:已知與成正比例,其中m,n是常數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,求y與x的函數(shù)關(guān)系。 分析:設(shè) 當(dāng)時(shí),得: 當(dāng)時(shí),

6、得: 解方程組 解得: 所求函數(shù)關(guān)系式為: 例3. 如圖所示,直線與y軸交于點(diǎn)A(0,3)與x軸交于點(diǎn)B,正方形OPQR的兩邊在坐標(biāo)軸上,Q在直線AB上,OP:PB=1:2,求直線的解析式。 分析:求直線AB解析式,需要知道A、B坐標(biāo)。而A點(diǎn)(0,3),則OA=3,求B點(diǎn)即可,即求OB長(zhǎng),此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。 又知PQRO為正方形,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,則 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0) ∴直線解析式為 五. 幾何解題思想的綜合應(yīng)用 例:已知反比例函數(shù)和一次函數(shù),其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(a,b),(a+1,b+k)兩點(diǎn)。 (1)求反比例函數(shù)的解析式; (2

7、)如圖所示,已知點(diǎn)A是上述兩個(gè)函數(shù)的圖象在第一象限的交點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo); (3)利用(2)的結(jié)果,回答:在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形?若存在,把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析:(1)由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(a,b),(a+1,b+k),代入消去a,b,可得k=2,進(jìn)而可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式。 (2)將聯(lián)立成方程組,易求出點(diǎn)A的坐標(biāo); (3)應(yīng)根據(jù)OA為腰和底進(jìn)行分類,結(jié)合(2)探求出點(diǎn)P的存在性。 解:(1)依題意可得: 兩式相減,得 所以反比例函數(shù)的解析式為 (2)由,得, 經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程組的解。 因?yàn)锳點(diǎn)在第一象限,所

8、以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1) (3),OA與x軸所夾銳角為45° 如圖下所示①,當(dāng)OA為腰時(shí),由OA=OP,得 由,得 ②當(dāng)OA為底時(shí),得 所以這樣的點(diǎn)有4個(gè),分別是、 【模擬試題】(答題時(shí)間:30分鐘) 1. 反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),,當(dāng)時(shí),有,則m的取值范圍是_____________。 2. 已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限,則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第___________象限。 3. 直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,且y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是__________。 4. 三角形三邊長(zhǎng)為3cm,5cm,xcm,則三角形的周長(zhǎng)為與的函數(shù)關(guān)系式是________

9、______,自變量x的取值范圍是___________。 5. 當(dāng)m取何值時(shí),函數(shù)是x的一次函數(shù)?它是否是正比例函數(shù)? 6. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,求m的取值范圍。 7. 直線和直線的交點(diǎn)在第__________象限。 8. 兩個(gè)一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點(diǎn)A,分別交x軸于點(diǎn)B、C,如圖所示,若已知|OB|:|OA|:|OC|=1:2:3,且△ABC的面積是16,求兩函數(shù)的解析式。 9. 在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)在第二象限,且m為整數(shù),則過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的解析式為________________。 10. 如果一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積

10、為10,則此一次函數(shù)為_________________。 11. 已知點(diǎn)A是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn) (1)求點(diǎn)A的坐標(biāo); (2)如果直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與x軸交于點(diǎn)C,求b及點(diǎn)C的坐標(biāo)。 12. 如圖所示,在第四象限內(nèi)的矩形OABC,兩邊在坐標(biāo)軸上,一個(gè)頂點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上,當(dāng)點(diǎn)A從左向右移動(dòng)時(shí),矩形的周長(zhǎng)與面積也隨之發(fā)生變化,設(shè)線段OA長(zhǎng)m,矩形的周長(zhǎng)為,面積為s。 (1)試分別寫出與m的函數(shù)關(guān)系; (2)能否求出當(dāng)m取何值時(shí),矩形的周長(zhǎng)最大?為什么? (3)你能否估計(jì)矩形的面積是否有最大值,簡(jiǎn)單說(shuō)一下你的想法? 【試題答案】 1. 2. 三 3

11、. 4. 5. 解:, 則 ,它是一次函數(shù)也是正比例函數(shù)。 6. 解:, 7. 三 8. 解:設(shè) ∴直線AB解析式為,直線AC解析式為 9. 10. 11. 解:(1),解得:(不合題意,舍去) (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 則 12. 解:(1)①由題意得, ② (2)周長(zhǎng)的一次函數(shù),且的增大而增大。是否有最大值,關(guān)鍵在于m的取值范圍。與x軸交點(diǎn)為(6,0),所以,m越接近6,周長(zhǎng)越大。但不能等于6,所以周長(zhǎng)無(wú)最大值。 (3)當(dāng)點(diǎn)A接近于(0,0)時(shí),面積接近于0,隨著點(diǎn)A逐漸右移,面積逐漸增大。而當(dāng)點(diǎn)A接近于(6,0),面積也接近于0,隨著點(diǎn)A位置變化,可知面積先隨m的增大而增大,到一定程度時(shí),開始隨x的增大而減小,估計(jì)在m取某一值時(shí),面積為最大值。

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