2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理（北京卷含答案）(1)

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1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} （2）在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于 （A）第一象限

2、 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 （A） （B） （C） （D） （4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為 （A） （B） （C） （D） （5）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個

3、數為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （6）設a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （7）在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當θ，m變化時，d的最大值為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （8）設集合則 （A）對任意實數a， （B）對任意實數a，（2，1） （C）當且僅當a<0時，（2，1） （D）當且僅當時，（2，1） 第二部

4、分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）設是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項公式為__________． （10）在極坐標系中，直線與圓相切，則a=__________． （11）設函數f（x）=，若對任意的實數x都成立，則ω的最小值為__________． （12）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________． （13）能說明“若f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數”為假命題的一個函數是__________． （14）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的

5、兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________． 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC邊上的高． （16）（本小題14分） 如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值； （Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

6、 （17）（本小題12分） 電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值． 假設所有電影是否獲得好評相互獨立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率； （Ⅲ）假設每類電影得到人們

7、喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系． （18）（本小題13分） 設函數=[]． （Ⅰ）若曲線y= f（x）在點（1，）處的切線與軸平行，求a； （Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． （19）（本小題14分） 已知拋物線C：=2px經過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值． （

8、20）（本小題14分） 設n為正整數，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記 M（）=． （Ⅰ）當n=3時，若，，求M（）和M（）的值； （Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當相同時，M（）是奇數；當不同時，M（）是偶數．求集合B中元素個數的最大值； （Ⅲ）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素， M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由． 參考答案 一、選擇題 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D 二、填空題 9． 10． 11． 12

9、．3 13．y=sinx（不答案不唯一） 14． 三、解答題 （15）（共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=． 由正弦定理得=，∴sinA=． ∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=． （Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==． 如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC邊上的高為． （16）（共14分） 解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四邊形A1ACC1為矩形． 又E，F分別為AC，A1C1的中點， ∴

10、AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面BEF． （Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE． 如圖建立空間直角坐稱系E-xyz． 由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． ∴， 設平面BCD的法向量為， ∴，∴， 令a=2，則b=-1，c=-4， ∴平面BCD的法向量， 又∵平面CDC1的法向量為， ∴． 由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為． （Ⅲ）平面B

11、CD的法向量為，∵G（0，2，1），F（0，0，2）， ∴，∴，∴與不垂直， ∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內，∴GF與平面BCD相交． （17）（共12分） 解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000， 第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50． 故所求概率為． （Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”， 事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”． 故所求概率為P（）=P（）+P（） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． 由題意知：P（A）估計為0.25

12、，P（B）估計為0.2． 故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）>>=>>． （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因為=[]， 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此時f (1)=3e≠0． 所以a的值為1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，則當x∈(，2)時，f ′(x)<0；

13、 當x∈(2，+∞)時，f ′(x)>0． 所以f (x)<0在x=2處取得極小值． 若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的極小值點． 綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）． （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x． 由題意可知直線l的斜率存在且不為0， 設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）． 由得． 依題意，解得k<0或0

14、所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點M的縱坐標為． 同理得點N的縱坐標為． 由，得，． 所以． 所以為定值． （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因為α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以 M(α，α)= [(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2， M(α，β）= [(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）設α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，

15、則M(α，α）= x1+x2+x3+x4． 由題意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數， 所以x1，x 2，x3，x4中1的個數為1或3． 所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 將上述集合中的元素分成如下四組： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1). 經驗證，對于每組中兩個元素α，β，均有M(α，β）=1

16、. 所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素． 所以集合B中元素的個數不超過4. 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}滿足條件， 所以集合B中元素個數的最大值為4. （Ⅲ）設Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk?=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)， Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}， 則A=S1∪S1∪…∪Sn+1． 對于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，經驗證，M(α，β)≥1. 所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的兩個元素不可能同時是集合B的元素． 所以B中元素的個數不超過n+1. 取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）. 令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個數為n+1，且滿足條件. 故B是一個滿足條件且元素個數最多的集合．