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1、函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例
一、 教學(xué)目標(biāo)
1. 知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題.
2. 過程與方法 進(jìn)一步感受運(yùn)用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價.
二、 教學(xué)重點(diǎn)
重點(diǎn) 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實(shí)際問題.
難點(diǎn) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評價.
三、 學(xué)法與教學(xué)用具
1. 學(xué)法：自主學(xué)習(xí)和嘗試，互動式討論.
2. 教學(xué)用具：多媒體
四、 教學(xué)設(shè)想
（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題.
現(xiàn)實(shí)生活中有些實(shí)際問題所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用
2、問題中的數(shù)據(jù)及其蘊(yùn)含的關(guān)系來建立. 對于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析評價，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度.
（二）實(shí)例嘗試，探求新知
例1. 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示.
1）寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)解析式；
2）寫出汽車行駛路程關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象；
3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；
4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2020km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)與時間的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.
本例所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊(yùn)含的關(guān)系建立
3、數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題.
教師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨(dú)立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征.
注意培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式.
例2. 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù). 早在1798，英國經(jīng)濟(jì)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：
其中表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，表示人口的年均增長率.
下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
4、
人數(shù)
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人數(shù)
1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；
2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達(dá)到13億？
探索以下問題：
1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？
2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？
3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型
5、？
4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評價？
如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？
本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一類問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個參數(shù)與.
完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因?yàn)橛嬎爿^繁，可以借助計算器.
在驗(yàn)證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時，可引導(dǎo)學(xué)生利用計算器或計算機(jī)作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生認(rèn)識到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式.
引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)
6、測，實(shí)質(zhì)上是通過求一個對數(shù)值來確定的近似值.
課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.
探索以下問題：
1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？
2）如何對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行評價？
本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型.
引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是4月份產(chǎn)量的吻合程
7、度，這也是對函數(shù)模評價的依據(jù).
本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培養(yǎng)學(xué)生有意識地運(yùn)用.
三. 歸納小結(jié)，發(fā)展思維.
利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法；
1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系；
2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；
3）對所確定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價；
4）根據(jù)實(shí)際問題對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?
從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機(jī)數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程.
圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式. 在實(shí)際應(yīng)用時，經(jīng)常需要將函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化.
高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案5 蘇教版必修1（通用）
