2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

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1、 2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù) 2.已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=2x-x2. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在實數(shù)a、b(a≠b)使f(x)在[a,b]上的值域為[],若存在,求a和b,若不存在,說明理由. ∴x1=-1,x2=-,x3=(舍),∴a=-,b=-1. 綜合①,②知存在實數(shù)a,b,使f(x)在[a,b]上的值域為[],有a=1,b=或a=-1或b-. 3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c∈R,且滿足a>b>c,f(1)=0. (1)證明

2、:函數(shù)f(x)與g(x)的圖像交于不同的兩點A、B; (2)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值為9,最大值為21,試求a、b的值. (3)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍. . 難點 2 三個“二次”的綜合問題 1.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,且a>0),設(shè)方程f(x)=x的兩個實根為x1和x2, (1)如果x1<2-1. (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍. 2.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件

3、: ①當(dāng)x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; ②當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)≤; ③f(x)在R上的最小值為0. (1)求f(x)的表達(dá)式; (2)求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈就有f(x+t)≤x恒成立. 3.已知f(x)=ax2+2bx+4c(a、b、c∈R) (1)當(dāng)a≠0時,若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=±x均無公共點,求證:4ac-b2>. (2)若a+c=0,f(x)在[-2,2]上的最大值為,最小值為-求證:≤2. (3)當(dāng)b=4,c=時,對于給定負(fù)數(shù)a,有一個最大正數(shù)M(a)使得x∈[0,M(a)]時都有|f(x)|≤

4、5,問a為何值時,M(a)最大,并求出這個最大值M(a)證明你的結(jié)論. (4)若f(x)同時滿足下列條件①a>0;②當(dāng)|x|≤2時,有|f(x)|≤2;③當(dāng)|x|≤1時,f(x)最大值為2,求f(x)的解析式. M(a)= 難點3 含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題 1.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),當(dāng)點(x,y)在y=f(x)圖像上運動時,點P( ,2y)在函數(shù)y=g(x)的圖像上運動. (1)求y=g(x)的解析式; (2)當(dāng)t=4,且x∈[0,1]時,求g(x)-f(x)的最小值; (3)若在x∈[0,1]時恒有g(shù)(x)>f(x)成立,求t的取值

5、范圍. (3)由g(x)>f(x),即2log2(2x+t)>log2(x+1),在x∈[0,1]時恒成立,即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-1>0在[0,1]上恒成立.即即1<t≤或t> 綜合,得t>1. 即滿足條件t的取值范圍是(1,+∞) 2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a(a>0且a≠1)的反函數(shù)為y=f-1(x),已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f-1(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱. (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式; (2)是否存在實數(shù)a,使當(dāng)x∈[a+2,a+3]時,恒有|f-1(x)-g(-x)|≤1成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

6、 【易錯點點睛】 易錯點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1.(2020模擬題精選)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t)若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t 的取值范圍. 由①,②得a=1. 3.已知函數(shù)f(x)的二項式系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根,求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍. 【特別提醒】 利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況,還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.對于根的分布問題,一般需從三個方面

7、考慮:①判別式;②區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù);③對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系.另外,對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標(biāo)與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解. 【變式探究】 1 若函數(shù)f(x)=x2+bx+c 對任意實數(shù)f(1+x)=f(-x),則下面不等關(guān)系成立的是 ( ) A.f(2)>f(0)>f(-2) B.f(-2)>f(2)>(0) C.f(0)>f(-2)>f(2) D. f(-2)>f(0)>f(2) 3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(1,b∈R). (1)若f(-1)=0,則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立,求f(x)的表達(dá)

8、式. 4 已知二次函數(shù)f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值為3,求a的值. 答案:解析:原函數(shù)式可化為f(x)=lga由已知,f(x)有最大值3,∴l(xiāng)ga<0并且 整理得4(lga)2-3lga-1=0解得lga=1,lga= 易錯點2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1.(2020模擬題精選)函數(shù)y=e|lnx|-|x-1|的圖像大致是 ( ) 2.(2020模擬題精選)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這四個函數(shù)中,當(dāng)0恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A.0

9、 B.1 C.2 D.3 3.(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ) A.(-∞,-) B.(-,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,-) 【錯誤答案】 選A或C 【錯解分析】 選A,求f(x)的單調(diào)區(qū)間時沒有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e誤;選C,求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時沒有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時,原函數(shù)才是增函數(shù).事實上 (0,+∞)是f(x)的遞減區(qū)間. 【正確解答】 D ∵f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在

10、區(qū)間(0,)內(nèi)恒有f(x)>0,若a>1,則由f(x)>0 x>或x<-1.與題設(shè)矛盾.∴00x>0 (2)解法1 由|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0得-ln+ln(ex-a)

11、清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,然后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決,注意不可忽視定義域,忽視指數(shù)和對數(shù)的底數(shù)對它們的圖像和性質(zhì)起的作用. 【變式探究】 1 已知函數(shù)f(x)=(ex+e2-x)(x<1)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),則 ( ) A.f-1()

12、答案: B解析:f(x)=ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增(減)函數(shù). (∵y=ax與y=loga(x+1)單調(diào)性相同).且在[0,1]的最值分別在端點處取得,最值之和:f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, ∴l(xiāng)oga2+1=0, ∴a=選B. 3 對于0 其中成立的是 ( ) A.①與③ B.①與④ C.②與③ D.②與④ 答案: D 解析: 選D。 4.已知函數(shù)f(x)=l

13、oga[(-2)x+1]在區(qū)間[1,2]上恒為正,求實數(shù)a的取值范圍. 答案:在區(qū)間[1,2]上使f(x)>0恒成立。 解析:(1)當(dāng)a>1時,只要 即與1矛盾. (2)當(dāng)0

14、 B.45.6 C.46.8 D.46.806 2.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000,若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格). (1)將乙方的年利潤W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量. (2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失余額y=0.002t2.在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價格S是多少?

15、v=-. 又v′=--令v′=0得S=20,當(dāng)S<20時,v′>0;當(dāng)S>20時,v′<0, ∴S=20時,v取得最大值. 因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元/噸)時,獲得最大凈收入. 3.(2020模擬題精選)某段城鐵線路上依次有A,B,C三站,AB=5km,BC=3km在列車運行時刻表上,規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車,8時07分到達(dá)B站并停車1分鐘,8時12分到達(dá)C站,在實際運行時,假設(shè)列車從A站正點發(fā)車,在B站停留1分鐘,并在行駛時以同一速度vkm/h,勻速行駛,列車從A站到達(dá)某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差. (1)分別寫出列車在B、C

16、兩站的運行誤差; (2)若要求列車在B,C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘,求v的取值范圍. 當(dāng)0時,(*)式變形為7-+11-≤2, 解得

17、此人距山崖的水平距離多遠(yuǎn)時,觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)? tan ∠BPC= 設(shè)u= ∴ux2-(288u-64)x+160×640u=0 ① ∵u≠0 ∵x∈R.△=(288u-64)2-4×160×640u2≥0. 解得 u≤2. 當(dāng)u=2時,x=320.即此人距山崖320米時,觀看鐵塔的視角∠BPC最大. 【錯解分析】 上述解答過程中利用x∈R由判別式法求u的最大值是錯誤的,因為x當(dāng)且僅當(dāng)x=時上式取得等號.故當(dāng)x=320時tan∠BPC最大. 由此實際問題知,0<∠

18、BPC<,所以tan∠BPC最大時,∠BPC最大,故當(dāng)此人距山崖水平距離為320米時,觀看鐵塔的視角∠BPC最大. 5.(2020模擬題精選)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)100件需要增加投入0.25萬元,市場對此產(chǎn)品的需要量為500件,銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件). (1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x). (2)年產(chǎn)量是多少時,當(dāng)年公司所得利潤最大? (3)年產(chǎn)量是多少時,當(dāng)年公司不虧本?(取=4.65). 【特別提醒】 與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場

19、信息等實際問題,也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題,解答這類問題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式,然后應(yīng)用函數(shù)知識加以解決.在求得數(shù)學(xué)模型的解后應(yīng)回到實際問題中去,看是否符合實際問題. 【變式探究】 1 把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形,那么這兩個正三角形面積之和的最小值是 ( ) A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2 答案: D 解析: S= 2 將一張2mx6m的硬鋼板按圖紙的要求進行操作,沿線裁去陰影部分,把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱(其中①與③、②與④分別是全等的矩形,且⑤+⑥=

20、⑦),設(shè)水箱的高為xm,容積為ym3). (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; 3 (2020模擬題精選)某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元. (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車? 5 (2020模擬題精選)如圖,在直線y=0和y=a(a>0)之間表示的是一條河流,河流的一側(cè)河岸(x軸)是一條公路,公路上的公交車站P(x,0)隨時都有公交車來往.家住A(0,a)的某學(xué)生在位于

21、公路上B(2a,0)處的學(xué)校就讀,每天早晨學(xué)生都要從家出發(fā),可以先乘船渡河到達(dá)公路上公交車站,再乘公交車去學(xué)校,或者直接乘船渡河到達(dá)公路上B(2a,0)處的學(xué)校.已知船速為v0(v0>0),車速為2v0(水流速度忽略不計). (Ⅰ)設(shè)該學(xué)生從家出發(fā),先乘船渡河到達(dá)公路上的站P(x,0),再乘公交車去學(xué)校,請用x來表示他所用的時間t; 答案:設(shè)該學(xué)生從家出發(fā),先乘船渡河到達(dá)公路上的車站P(x,0),再乘公交車去學(xué)校,則他所用的時間 t=f(x)= (Ⅱ)若≤x≤a,請問該學(xué)生選擇哪種上學(xué)方式更加節(jié)約時間,并說明理由.(取=1.414,=2.236) 答案:若該學(xué)生選擇先乘船渡河到達(dá)

22、公路上的車站p(x,0),再乘公交車去學(xué)校,則他所用的時間為 2 已知f(x)=,則下列正確的是 ( ) A.奇函數(shù),在R上為增函數(shù) B.偶函數(shù),在R上為增函數(shù) C.奇函數(shù),在R上為減函數(shù) D.偶函數(shù),在R上為減函數(shù) 答案: A 解析:∵函數(shù)f(x)= 3 若不等式x2+2x+a≥-y2-2y對任意實數(shù)x、y都成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.a(chǎn)≥0 B.a(chǎn)≥1 C.a(chǎn)≥2 D.a(chǎn)≥3 答案: C解析:原不等式即為a≥2-[x+1]2+(y+1)2]恒成立,只需a大于或等于2-[(x+1)2+(y+1)2]的最大值為2

23、,即a≥2. 4 若函數(shù)f(x)=logax(0

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