2020年高考數(shù)學總復習 第2章1.1 橢圓及其標準方程課時闖關（含解析） 北師大版

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1、2020年高考數(shù)學總復習 第2章1.1 橢圓及其標準方程課時闖關（含解析） 北師大版 [A級　基礎達標] 已知橢圓＋＝1上一點P到其一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．7 解析：選D.由方程知a＝5，設橢圓的兩個焦點為F1、F2，則|PF1|＋|PF2|＝10，所以點P到另一個焦點的距離為10－3＝7. (2020·焦作調研)橢圓2x2＋y2＝8的焦點坐標是(　　) A．(±2，0) B．(0，±2) C．(±2，0) D．(0，±2) 解析：選B.橢圓標準方程為＋＝1， ∴橢圓焦

2、點在y軸上，且c2＝8－4＝4， ∴焦點為(0，±2)． 已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 解析：選C.設橢圓的另一個焦點為F(如圖)，則△ABC的周長為(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a.而a2＝3，a＝，∴4a＝4， 即△ABC的周長為4. 已知圓x2＋y2＝1，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，則線段PP′的中點M的軌跡方程是________． 解析：設點M(x，y)，P(x0，y0)，則x＝

3、，y＝y(tǒng)0. ∵P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.① 將x0＝2x，y0＝y(tǒng)代入①得4x2＋y2＝1. 答案：4x2＋y2＝1 (2020·淮北質檢)過點A(－1，－2)且焦點與橢圓＋＝1的兩個焦點相同的橢圓的標準方程是________． 解析：＋＝1的焦點坐標為(0，)，(0，－)， ∴2a＝＋， ∴a2＝6，∴b2＝a2－c2＝6－3＝3， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. 答案：＋＝1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)兩個焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點； (2)a＝4，c＝； (3)過點P(－3，2)，且與橢圓＋＝1

4、有相同的焦點． 解：(1)設所求橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由A(，－2)和B(－2，1)兩點在橢圓上可得 ，即， 解得. 故所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)因為a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程是＋y2＝1；當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程是＋x2＝1. (3)因為所求的橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝5. 設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)． 因為所求橢圓過點P(－3，2)，所以有＋＝1① 又a2－b2＝c2＝5，② 由①②解得a2＝15，b2＝10. 故所求橢圓

5、的標準方程為＋＝1. [B級　能力提升] (2020·上饒檢測)橢圓＋＝1上的一點M到其左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．8 D. 解析：選B.設橢圓的右焦點為F2，則由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8，ONMF2，所以|ON|＝|MF2|＝4. (2020·南昌質檢)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦點在y軸上的橢圓的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.橢圓方程為＋＝1， 當m

6、>n>0時，有<，∴橢圓焦點在y軸上． 當橢圓焦點在y軸上時，有>>0， ∴m>n>0.∴是充要條件． 如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________． 解析：因為F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且正三角形POF2的面積為，所以S△POF2＝|OF2|·|PO|sin 60°＝c2＝，所以c2＝4. ∴點P的坐標為，即(1，)，∴＋＝1， 又b2＋c2＝a2，所以，解得b2＝2. 答案：2 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的三邊分別是a，b，c，且|BC|＝2，求滿足b，a

7、，c成等差數(shù)列且c>a>b的頂點A的軌跡． 解：由已知條件可得b＋c＝2a，則|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，結合橢圓的定義知點A在以B，C為焦點的一個橢圓上，且橢圓的焦距為2. 以BC所在的直線為x軸，BC的中點為原點O，建立平面直角坐標系，如圖所示． 設頂點A所在的橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，則m＝2，n2＝22－12＝3，從而橢圓方程為＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的頂點，結合圖形，易知x>0，y≠0. 故頂點A的軌跡是橢圓＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)． (創(chuàng)新題) 船上兩根高7.5 m的桅桿相距15 m，一條30 m長的繩子，兩端系在桅桿的頂上，并按如圖所示的方式繃緊．假設繩子位于兩根桅桿所在的平面內，求繩子與甲板接觸點P到桅桿AB的距離． 解：以兩根桅桿的頂端A，C所在的直線為x軸，線段AC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則P點在以A，C為焦點的橢圓上，依題意，此橢圓的標準方程為＋＝1.因為P點的縱坐標為－7.5，代入橢圓方程可解得P點的坐標為(－12.25，－7.5)，所以P到桅桿AB的距離為12.25－7.5＝4.75(m)．