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1、2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第4課時 數(shù)列求和課時闖關(guān)（含解析） 新人教版
一、選擇題
1．(2020·遼陽質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，則a12＋a14等于( )
A．16 B．8
C．4 D．不確定
解析：選B.由數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a12＋a14＝a1＋a25＝8.
2．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值為( )
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
2、
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
解析：選A.該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋，
則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)
＝n2＋1－.故選A.
3．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝an－3，則數(shù)列{an}的前n項和Sn為( )
A．3n＋1－3 B．3n－3
C．3n＋1＋3 D．3n＋3
解析：選A.∵Sn＝an－3，∴Sn＋1＝an＋1－3，兩式相減得：Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)．
即an＋1＝(an＋1－an)，∴＝3，即q＝3.
又∵S1＝a1－3，即a1＝a1－3，
∴a1＝6.
∴an＝a1·qn
3、－1＝6×3n－1＝2×3n.
∴Sn＝an－3＝×2×3n－3＝3n＋1－3，故應(yīng)選A.
4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx的圖象在點A(1，f(1))處的切線的斜率為3，數(shù)列{}的前n項和為Sn，則S2020的值為( )
A. B.
C. D.
解析：選D.∵f′(x)＝2x＋b，
∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴＝＝－，
∴S2020＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
5．設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，把{an}中的每一項都減去2后，得到一個新數(shù)列{bn}，{bn}的前n項和為Sn，則對任意的n∈N*，下列結(jié)論正確的是
4、( )
A．bn＋1＝3bn＋2，且Sn＝(3n－1)
B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1)
C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2n
D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n
解析：選C.因為數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，則依題意得，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3n－1－2，∴bn＋1＝3n－2,3bn＝3(3n－1－2)＝3n－6，
∴bn＋1＝3bn＋4.{bn}的前n項和為：
Sn＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n－1－2)＝(1＋31＋32＋3
5、3＋…＋3n－1)－2n＝－2n
＝(3n－1)－2n.
二、填空題
6．?dāng)?shù)列1，，，…的前n項和Sn＝________.
解析：由于an＝＝＝2(－)，
∴Sn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)
＝2(1－)＝.
答案：
7．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2
＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴S
6、n＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
8．若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，則＋＋…＋＝________.
解析：令n＝1，得＝4，∴a1＝16.當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)，
與已知式相減，得
＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，
∴an＝4(n＋1)2，∴n＝1時，a1也適合an.
∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，
∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.
答案：2n2＋6n
三、解答題
9．(2020·高考重慶卷)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4.
求{an}的通項公式；
7、
設(shè){bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn.
解：設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比，則由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，因此q＝2.所以{an}的通項公式為an＝2·2n－1＝2n.
Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
10．?dāng)?shù)列{an}中a1＝3，已知點(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝an·3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)∵點(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，
∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.
∴
8、數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)∵bn＝an·3n，∴bn＝(2n＋1)·3n，
∴Tn＝3×3＋5×32＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，①
∴3Tn＝3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋1)·3n＋1，②
由①－②得
－2Tn＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n＋1)·3n＋1
＝9＋2×－(2n＋1)·3n＋1.
∴Tn＝n·3n＋1.
11．(探究選做)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn(n，Sn
9、)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值；
(2)令bn＝，其中n∈N*，求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn.
解：(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，
由f′(x)＝－2x＋7，得a＝－1，b＝7，
∴f(x)＝－x2＋7x，又∵點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，
∴Sn＝－n2＋7n.
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝6；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，
∴an＝－2n＋8(n∈N*)．
令an＝－2n＋8≥0，得n≤4，
∴當(dāng)n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12.
綜上，an＝－2n＋8(n∈N*)，當(dāng)n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12.
(2)由題意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4，
∴＝，即數(shù)列{bn}是首項為8，公比是的等比數(shù)列，故{nbn}的前n項和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，①
Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，②
∴①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3，
∴Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.
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