2020年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材5 不等式與線性規(guī)劃

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1、回扣5　不等式與線性規(guī)劃 1.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間). 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 3.分式不等式 >0(<0)?f(x)

2、g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)? 4.基本不等式 (1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào). ②≥(a，b∈(0，＋∞))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào). (2)幾個(gè)重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)； ② ≥≥≥(a>0，b>0，當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立). ③a＋≥2(a>0，當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立)； ④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立). 5.可行域的確定 “線定界，點(diǎn)定域”，即先畫出與不等式對(duì)應(yīng)的方程所表示的直線，然后代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)其符號(hào)確定不等式所表示的平面區(qū)域. 6.線性規(guī)劃 (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值

3、、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得； (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè). 1.不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò). 2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論. 3.應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0. 4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、 二定、三相等”導(dǎo)致錯(cuò)解，如求函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)時(shí)

4、應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解. 5.解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解. 6.求解線性規(guī)劃問題時(shí)，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(1，1)的距離的平方等. 1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①a>b，c>d?a＋c>b＋d；②a>b，c>d?>；③a2>b2?|a|>|b|；④a>b?<. A.4 B.3 C.2 D.1 答案　C 解析　①a>b，c>d?a＋c>b＋d正確，不等式的同向可加性；②a>b，c

5、>d?>錯(cuò)誤，反例：若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，則>不成立；③a2>b2?|a|>|b|正確；④a>b?<錯(cuò)誤，反例：若a＝2，b＝－2，則<不成立.故選C. 2.設(shè)M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，則M，N的大小關(guān)系為(　　) A.M>N B.M0.故選A. 3.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集為空集，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案　C 解

6、析　由題意可知2kx2＋kx－<0恒成立，當(dāng)k＝0時(shí)成立，當(dāng)k≠0時(shí)需滿足代入求得－3

7、集為(　　) A.(－∞，0]∪[1，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0]∪(1，＋∞) D.[0，1)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　由題意得，≥－1?＋1＝≥0，解得x≤0或x>1，所以不等式的解集為(－∞，0]∪(1，＋∞)，故選C. 6.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為40，則＋的最小值為(　　) A. B. C.1 D.4 答案　B 解析　不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，直線z＝ax＋by過點(diǎn)(8，10)時(shí)取最大值，即8a＋10b＝40，4a＋5b＝20，從而＋＝(＋)＝(25＋＋)≥(25＋2

8、)＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝5b時(shí)取等號(hào)，因此＋的最小值為，故選B. 7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　B 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，得y＝x－z，及當(dāng)z＝－1時(shí)，函數(shù)y＝x＋1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域在直線y＝x＋1的下方，由?即A(2，3)，同時(shí)A也在直線x＋y＝m上，所以m＝5. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1，1) D.(－

9、∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　易知直線y＝k(x－1)－1過定點(diǎn)(1，－1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示. 當(dāng)直線y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1兩條虛線之間時(shí)，表示的是一個(gè)三角形區(qū)域，所以直線y＝k(x－1)－1的斜率的范圍為(－∞，－1)，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，－1). 9.已知實(shí)數(shù)x∈[－1，1]，y∈[0，2]，則點(diǎn)P(x，y)落在區(qū)域內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不等式組表示的區(qū)域如圖所示，陰影部分的面積為×(2－)×(1＋1)＝，則所求的概率為，故選D. 10.函數(shù)y＝loga(x＋

10、3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為________. 答案　8 解析　由已知可得定點(diǎn)A(－2，－1)，代入直線方程可得2m＋n＝1，從而＋＝(＋)(2m＋n)＝＋＋4≥2 ＋4＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m時(shí)取等號(hào). 11.已知ab＝，a，b∈(0，1)，則＋的最小值為________. 答案　4＋ 解析　因?yàn)閍b＝，所以b＝， 則＋＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋2 ＝2(＋)＋2 ＝(＋)[(4a－1)＋(4－4a)]＋2 ＝[3＋＋]＋2 ≥(3＋2)＋2＝4＋(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時(shí)，取等號(hào)).

11、 12.變量x，y滿足約束條件若z＝2x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m＝______. 答案　1 解析　由可行域知，直線2x－y＝2必過直線x－2y＋2＝0與mx－y＝0的交點(diǎn)，即直線mx－y＝0必過直線x－2y＋2＝0與2x－y＝2的交點(diǎn)(2，2)，所以m＝1. 13.(2020·上海)若x，y滿足則x－2y的最大值為________. 答案?。? 解析　令z＝x－2y，則y＝x－.當(dāng)在y軸上截距最小時(shí)，z最大.即過點(diǎn)(0，1)時(shí)，z取最大值，z＝0－2×1＝－2. 14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是________. 答案　[－1，] 解析　作出可行域，如圖△ABC內(nèi)部(含邊界)，表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)與P(5，6)連線斜率，kPA＝＝－1，kPC＝＝，所以－1≤≤.