2020高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題階段評(píng)估4練習(xí) 理

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1、專題階段評(píng)估(四) (本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以活頁形式分冊(cè)裝訂！) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下面有關(guān)棱錐的敘述錯(cuò)誤的是(　　) A．底面是多邊形，側(cè)面都是三角形的幾何體是棱錐 B．棱錐的側(cè)面都是三角形 C．底面是五邊形的棱錐是五棱錐 D．用平行于底面的平面截棱錐，截去一個(gè)小棱錐后剩下的部分是棱臺(tái) 答案：　A 2．一個(gè)與球心距離為1的平面截球體所得的圓面面積為π，則球的體積為 A.　　　　　　　　　 B. C. D．8π 解析：　由題意，球的半徑為R＝＝，故其體積V＝π()3＝，選

2、A. 答案：　A 3.(2020·遼寧卷)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是(　　) A．4 B．2 C．2 D. 解析：　設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則V＝x3＝2，∴x＝2.由題意知這個(gè)正三棱柱的左視圖為長(zhǎng)為2，寬為的矩形，其面積為2. 答案：　B 4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析：　取AD的中點(diǎn)E，分別連接EO，

3、A1E，顯然AM和EO，A1E都垂直，所以AM⊥平面A1EON，從而直線NO與AM異面垂直，故選C. 答案：　C 5．已知直線m、l和平面α、β，則α⊥β的充分條件是(　　) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α 解析：　由?/α⊥β，如圖. 由?/α⊥β，如圖. 由?/α⊥β，如圖. 所以選項(xiàng)A，B，C都不對(duì)．又選項(xiàng)D能推出α⊥β，所以D正確．故選D. 答案：　D 6．下列說法中正確的是(　　) ①角的水平放置的直觀圖一定是角 ②相等的角在直觀圖中仍然相等 ③相等的線段在直觀圖

4、中仍然相等 ④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 解析：　取任意角都可得到角的直觀圖，故①對(duì)，畫出等邊三角形的直觀圖可知相等的角在直觀圖中不一定相等，相等的線段在直觀圖中也不一定相等，故②③錯(cuò)，取任意多邊形，畫出直觀圖，原圖形中的平行直線在直觀圖中仍平行，故④對(duì)，故選C. 答案：　C 7．體積為52的圓臺(tái)，一個(gè)底面積是另一個(gè)底面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積是(　　) A．54 B．54π C．58 D．58π 解析：　設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，截去的圓錐與原圓錐的高分別為h，H，則＝，

5、 又πR2＝9·πr2，∴R＝3r，∴H＝3h. ∴πR2·H－πr2h＝52. 即πR2·H－π·R2·H＝52，∴πR2H＝54. 答案：　A 8．已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝(　　) A．2 B. C. D．1 解析：如圖，連接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC. ∴△ABC為直角三角形， ∴BC＝＝. 在Rt△BCD中，BC＝，BD＝1， ∴CD＝＝. 答案：　C 9.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

6、(　　) A．22π B．12π C．4π＋24 D．4π＋32 解析：　由幾何體的三視圖可得，此幾何體是上面一個(gè)球、下面一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，此幾何體的表面積S＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故選D. 答案：　D 10.如圖，設(shè)A是棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是(　　) A．有10個(gè)頂點(diǎn) B．體對(duì)角線AC1垂直于截面 C．截面平行于平面CB1D1 D．此多面體的表面積為a2 解析：　此多面體的表面積S＝6a2－3××a×a＋×a×a×＝a2＋a2

7、＝a2.故選D. 答案：　D 11．下列命題中錯(cuò)誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β 解析：　兩個(gè)平面α，β垂直時(shí)，設(shè)交線為l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線都平行于平面β，故A正確；如果平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正確；兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直時(shí)，易證交線與第三個(gè)平面垂直，故C正確；兩個(gè)平面α，β垂直時(shí)，平

8、面α內(nèi)與交線平行的直線與β平行，故D錯(cuò)誤． 答案：　D 12．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　如圖，連接BD交AC于O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則DD1＝1，DO＝，D1O＝， ∴cos∠DD1O＝＝＝. ∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為. 答案：　D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 13．(2020·上海卷)若圓錐的

9、側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________． 解析：　設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，則 ∴∴h＝＝＝， ∴圓錐的體積V＝π·12·＝π. 答案：　π 14．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為________． 解析：　由三視圖知該幾何體如圖所示，ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2， PC⊥面ABCD，PC＝2， ∴最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為PA， PA＝＝＝2. 答案：　2 15．在空間中，有如下命題： ①互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線； ②若平面α∥平

10、面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β； ③若平面α與平面β的交線為m，平面α內(nèi)的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β； ④若平面α內(nèi)的三點(diǎn)A，B，C到平面β的距離相等，則α∥β. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：?、僦?，互相平行的兩條直線的射影可能重合；②正確；③中，平面α與平面β不一定垂直，所以直線n就不一定垂直于平面β；④中，若平面α內(nèi)的三點(diǎn)A，B，C在一條直線上，則平面α與平面β可以相交，所以④錯(cuò)誤．綜上，只有命題②正確． 答案：　1 16．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則 ①棱AB與PD所在直

11、線垂直； ②平面PBC與平面ABCD垂直； ③△PCD的面積大于△PAB的面積； ④直線AE與直線BF是異面直線． 以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) 解析：　由條件可得AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，故①正確； 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯(cuò)； S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD＞PA知③正確； 由E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯(cuò)．故填①③. 答案：?、佗? 三、解答題(本大題共

12、6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證： (1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明：　(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD. 又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形． 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABC

13、D，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 18.(本小題滿分12分)如圖，已知點(diǎn)H在正方體ABCD－A′B′C′D′的對(duì)角線B′D′上，∠HDA＝60°. (1)求DH與CC′所成角的大??； (2)求DH與平面AA′D′D所成角的大?。? 解析：　以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz(圖略)． 設(shè)H(m，m,1)(m＞0)，則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連接BD.＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈，〉＝60°， ·＝||||cos〈，〉， 可得2m＝，解得

14、m＝， 所以＝. (1)因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈·〉＝45°，即DH與CC′所成的角為45°. (2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0,1,0)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DH與平面AA′D′D所成的角為30°. 19．(本小題滿分12分)一個(gè)幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐E－ABC組合而成的，點(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，其正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC，AE＝2. (1)求證：AC⊥BD； (2)求三棱錐E－BCD的體積． 解析：　(1)證明：因?yàn)镋A⊥

15、平面ABC，AC?平面ABC， 所以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因?yàn)锳C⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面EBD. 因?yàn)锽D?平面EBD，所以AC⊥BD. (2)因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC， 所以BC為圓O的直徑． 設(shè)圓O的半徑為r，圓柱的高為h，根據(jù)正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積可得， 解得 所以BC＝4，AB＝AC＝2. 因?yàn)镋A⊥平面ABC， 所以VE－BCD＝VE－ABC＋VD－ABC＝S△ABC×EA＋S△ABC×DA＝S△ABC×ED. 易知ED＝EA＋DA＝2＋2＝4.又因?yàn)锳B⊥AC，AB＝AC＝2， 所以S△ABC＝×AC

16、×AB＝×2×2＝4. 所以VE－BCD＝×4×4＝. 20．(本小題滿分12分)(2020·北京卷)如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面BCP. (2)求證：四邊形DEFG為矩形． (3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC 六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由． 解析：　(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PC. 又因?yàn)镈E?平面BCP， 所以DE∥平面BCP. (2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥

17、EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形． 又因?yàn)镻C⊥AB， 所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形． (3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下： 連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)． 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG. 分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN. 與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝EG， 所以Q為滿足條件的點(diǎn)． 21．(本小題滿分12分)(2020·江蘇卷) 如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在CC1上．設(shè)二

18、面角A1－DN－M的大小為θ. (1)當(dāng)θ＝90°時(shí)，求AM的長(zhǎng)； (2)當(dāng)cos θ＝時(shí)，求CM的長(zhǎng)． 解析：　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)CM＝t(0≤t≤2)，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N，M(0,1，t)． 所以＝，＝(0,1，t)，＝(1,0,2)． 設(shè)平面DMN的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則n1·＝0，n1·＝0. 即x1＋2y1＝0，y1＋tz1＝0. 令z1＝1，則y1＝－t，x1＝2t. 所以n1＝(2t，－t,1)是平面DMN的一個(gè)法向量． 設(shè)平面A1DN的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則n2

19、·＝0，n2·＝0.即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0. 令z2＝1，則x2＝－2，y2＝1. 所以n2＝(－2,1,1)是平面A1DN的一個(gè)法向量． 從而n1·n2＝－5t＋1. (1)因?yàn)棣龋?0°，所以n1·n2＝－5t＋1＝0，解得t＝. 從而M. 所以AM＝＝. (2)因?yàn)閨n1|＝，|n2|＝， 所以cos〈n1，n2〉＝＝. 因?yàn)椤磏1，n2〉＝θ或π－θ，所以＝， 解得t＝0或t＝. 根據(jù)圖形和(1)的結(jié)論可知t＝，從而CM的長(zhǎng)為. 22.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝，AC＝，AB＝2，BC＝

20、1，D是棱CC1的中點(diǎn)． (1)證明：A1D⊥平面AB1C1； (2)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論； (3)求二面角B－AB1－C1的余弦值的大?。? 解析：　(1)證明：根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB、CC1、CA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz. 則C(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0,0，)， C1(0，，0)，B1(1，，0)，A1(0，，)，D， 則＝， ＝(－1,0,0)，＝(1，，－)， ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即A1D⊥B1C1，A1D⊥AB1， ∵B1C1∩AB1＝B1

21、，∴A1D⊥平面AB1C1. (2)當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1. 證明如下： 取BB1的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，DE. ∵E、F分別為AB、BB1的中點(diǎn)， ∴EF∥AB1. ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可證FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. (3)設(shè)n＝(x，y，z)是平面ABB1的法向量， 由得 取z＝1，則n＝(，0,1)是平面ABB1的一個(gè)法向量． 又＝是平面AB1C1的一個(gè)法向量， 且〈，n〉與二面角B－AB1－C1的大小相等． 則cos〈，n〉＝ ＝＝. 故二面角B－AB1－C1的余弦值的大小為－.