2020高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 變化的快慢與變化率教案1 北師大版選修1-1

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1、變化的快慢與變化率 一、教學(xué)目標(biāo) (1) 理解瞬時(shí)速度,會(huì)運(yùn)用瞬時(shí)速度的定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 (2)理解瞬時(shí)變化率概念, 實(shí)際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn):瞬時(shí)速度,瞬時(shí)變化率概念及計(jì)算 難點(diǎn):瞬時(shí)變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義 三、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí)引入 1、什么叫做平均變化率? 2、如何精確地刻畫物體在某一瞬間的速度呢? (二)、例題分析 例1:一個(gè)小球從高空自由下落,其走過的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為其中,g為重力加速度,試估計(jì)小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度. 分析:當(dāng)時(shí)間t從t0變到t1時(shí),根據(jù)

2、平均速度公式 , 可以求出從5s到6s這段時(shí)間內(nèi)小球的平均速度 (m/s). 我們有時(shí)用它來近似表示t=5s時(shí)的瞬時(shí)速度。為了提高精確度,可以縮短時(shí)間間隔,如求出5~5.1s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 (m/s)。 用它來近似表示t=5s時(shí)的瞬時(shí)速度. 如果時(shí)間間隔進(jìn)一步縮短,那么可以想象,平均速度就更接近小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度. 解:我們將時(shí)間間隔每次縮短為前面的,計(jì)算出相應(yīng)的平均速度得到下表: t0/s t1/s 時(shí)間的改變量 (Δt)/s 路程的改變量 (Δs )/m 平均速度/(m/s) 5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.0

3、1 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5 … … … … 可以看出,當(dāng)時(shí)間t1趨于t0=5s時(shí),平均速度趨于49m/s,因此,可以認(rèn)為小球在t0=5s時(shí)的瞬時(shí)速度為49m/s。從上面的分析和計(jì)算可以看出,瞬時(shí)速度為49m/s的物理意義是,如果小球保持這一刻的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的話,每秒將要運(yùn)動(dòng)49m. 例2:如圖所示,一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒,長(zhǎng)為10m。x(單位:m)表示OX這段棒長(zhǎng),y(單位:kg)表示OX這段棒的質(zhì)量,它們滿足以下

4、函數(shù)關(guān)系: 。 估計(jì)該合金棒在x=2m處的線密度. 分析:一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長(zhǎng)度,就是這段合金棒的平均線密度. 解:由,我們可以計(jì)算出相應(yīng)的平均線密度得到下表 x0/s x1/s 長(zhǎng)度x的改變量 (Δx)/m 質(zhì)量y的改變量 (Δs )/kg 平均線密度 /(kg/m) 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2 … … … … 可以看出,當(dāng)x

5、1趨于x0=2m時(shí),平均線密度趨于0.71kg/m,因此,可以認(rèn)為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m。從上面的分析和計(jì)算可以看出,線密度為0.71kg/m的物理意義是,如果有1m長(zhǎng)的這種線密度的合金棒,其質(zhì)量將為0.71kg. (三)、抽象概括:對(duì)于一般的函數(shù),在自變量x從x0變到x1的過程當(dāng)中,若設(shè)Δx= x1-x0,,則函數(shù)的平均變化率是 , 而當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率就趨于在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢. (四)、交流思考 思考:速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率又是什么呢? 1、速度的平均變化率: 2、瞬時(shí)加速度:當(dāng)無限趨近于0 時(shí),無限趨

6、近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱為t=t0時(shí)的瞬時(shí)加速度. (五)、鞏固提高 1、一輛汽車按規(guī)律s=3t2+1做直線運(yùn)動(dòng),求這輛汽車在t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度. 解析:∵Δs=3(3+Δt)2+1-(3×32+1)=3Δt2+18Δt, ∴==3Δt+18. ∵當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí),無限趨近于18, ∴這輛汽車在t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度的大小為18. 2、 某物體做勻速運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程是s=vt+b,則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中其平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度分別是多少? 解析: ∴當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí),無限趨近于常數(shù)v,即物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度都是v. 四、課堂小結(jié) 1、瞬時(shí)變化率的定義 2、求瞬時(shí)變化率的步驟 五、布置作業(yè) 課本習(xí)題 3、4、5

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