江蘇省南通市通州區(qū)2020年高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí) 單元檢測一 直線與方程

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1、高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測一 直線與方程 一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分． 1．直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是____ __． 2．若直線的傾斜角的余弦值為，則與此直線垂直的直線的斜率為____ __． 3．兩條直線ax＋y－4＝0與x－y－2＝0相交于第一象限，則實數(shù)a 的取值范圍是____ __． 4．設(shè)直線l與x軸的交點是P，且傾斜角為α，若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為α＋45°，則α的取值范圍為____ __． 5．直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是_

2、___ __． 6．已知點A(－2,4)、B(4,2)，直線l過點P(0，－2)與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值 范圍是____ __． 7．已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對稱，則直線l2的斜率為____ __． 8．過點P(1,2)作直線l，使直線l與點M(2,3)和點N(4，－5)距離相等，則直線l的方程為 ____ __． 9．如圖，已知A(4，0)、B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是____ __． 10．一

3、條直線過點P(1,2)且被兩條平行直線4x＋3y＋1＝0和4x＋3y＋6＝0截取的線段長為，求這條直線的方程____ __． 11．設(shè)l1的傾斜角為α，α∈(0，)，l1繞其上一點P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角得直線l2，l2的縱截距為－2，l2繞P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)－α角得直線l3：x＋2y－1＝0，則l1的方程為________． 12．已知b>0，直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0與直線x－b2y＝0互相垂直，則ab的最小值等于_______． 13．已知△ABC的兩個頂點坐標(biāo)為B(1,4)、C(6,2)，頂點A在直線x－y＋3＝0上，若△ABC的面積為21.則頂點A的坐標(biāo)為____

4、 __． 14．已知0

5、 17．(本小題滿分14分) 已知三條直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l(fā)3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三條直線能圍成三角形． 18．(本小題滿分16分) 已知三直線l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直線l2：－4x＋2y＋1＝0和 l3：x＋y－1＝0且l1與l2的距離是． (1)求a的值； (2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l1的距離是P點到l2距離的；③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶？若能，

6、求出P點的坐標(biāo)；若不能，說明理由． 19．(本小題滿分16分) 已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程． 20．(本小題滿分16分) 將一塊直角三角板（角）置于直角坐標(biāo)系中，已知， 點是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中部分（）受損壞，要把損壞的部分鋸掉，可 用經(jīng)過的任意一直線（M、N可分別與O、B重合）將其鋸成． (

7、1) 求直線的斜率的取值范圍； (2) 若點滿足，這樣的直線是否存在，如不存在，請說明理由；若存在，求出此時直線的方程； (3) 如何確定直線的斜率，才能使鋸成的的面積最大和最小，并求出最值？ 高一數(shù)學(xué)暑假自主學(xué)習(xí)單元檢測一參考答案 一、填空題： 1．答案：－2或1 解析：由a＋2＝，∴a＝－2或1． 2．答案：－ 解析：設(shè)直線的傾斜角為θ，由題意知，cosθ＝，θ∈(0，)， ∴sinθ＝，k＝tanθ＝＝.∴與此直線垂直的直線的斜率為－． 3．答案：(－1,2)

8、 解析：由得由x＞0，y＞0， 得，解得，－1＜a＜2. 4．答案：0°＜α＜135° 解析：由，∴0°＜α＜135°. 5．答案：[0，]∪[，π) 解析：由直線xcosα＋y＋2＝0，所以直線的斜率為k＝－. 設(shè)直線的傾斜角為β，則tanβ＝－，又因為－≤－≤，即－≤tanβ≤， 所以β∈[0，]∪[，π)． 6．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：由kPA＝－3，kPB＝1，由圖得直線l的斜率k的取 值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 7．答案： 解析：∵l2、l1關(guān)于y＝－x對稱，∴l(xiāng)2的方程為－x＝－2y＋3，即y＝

9、x＋， ∴l(xiāng)2的斜率為. 8．答案：4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 解析：直線l為與MN平行或經(jīng)過MN的中點的直線，當(dāng)l與MN平行時，斜率為－4，故直線方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)l經(jīng)過MN的中點時，MN的中點為(3，－1)，直線l的斜率為－，故直線方程為y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0. 9．答案： 2 解析：分別求P關(guān)于直線x＋y＝4及y軸的對稱點，為P1(4,2)、P2(－2,0)，由物理知識知，光線所經(jīng)路程即為＝2. 10．答案：x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0 解析： (1)當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x＝1，

10、與兩直線交點A(1，－)，B(1，－)，∴AB＝＝≠.∴x＝1不是所求直線． (2)當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則所求直線的方程為y－2＝k(x－1)， 它與兩已知直線分別聯(lián)立方程組，求出它與兩已知直線的交點坐標(biāo)分別是A(，)， B(，)．由AB2＝()2＋()2＝2，得k＝7或k＝－. 故所求直線的方程為x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0. 11．答案：2x－y＋8＝0 解析：∵l1⊥l3，∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝＝－. ∵l2的縱截距為－2，∴l(xiāng)2的方程為y＝－x－2. 由∴P(－3,2)， l1過P點，∴l(xiāng)1的方程為2x－y＋8＝0. 12．答案：2

11、解析：由兩條直線垂直可得：－·＝－1，解得a＝， 所以ab＝·b＝＝b＋.又因為b>0，故b＋≥2 ＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝，即b＝1時取“＝”． 13．答案：(7,10)或(－5，－2) 解析：點C(6,2)到直線x－y＋3＝0的距離為d＝＝，因為點A在直線x－y＋3＝0上，可以驗證點B(1,4)也在直線x－y＋3＝0上，所以設(shè)A(x，y)． 又因為直線x－y＋3＝0的傾斜角為45°，所以|AB|＝＝|1－x|，所以三角形面積S＝|AB|d＝×|1－x|·＝21.所以x＝7或x＝－5.故A點坐標(biāo)為(7,10)或(－5，－2)． 14．答案：　 解析：l1：k(x-2)-2y+8=0過定

12、點(2,4)，l2：k2(y-4)=4-2x也過定點(2,4)，如圖，A(0,4-k)，B(2k2+2,0)，S=′2k2′4+(4-k+4)′2′=4k2-k+8. 當(dāng)k=時，S取得最小值. 二、解答題： 15．解： (1)法一：當(dāng)sinθ＝0時，l1的斜率不存在，l2的斜率為零，l1顯然不平行于l2. 當(dāng)sinθ≠0時，k1＝－，k2＝－2sinθ，欲使l1∥l2，只要－＝－2sinθ，sinθ＝±， ∴θ＝kπ±，k∈Z，此時兩直線截距不相等．∴當(dāng)θ＝kπ±，k∈Z時，l1∥l2. 法二：由A1B2－A2B1＝0，即2sin2θ－1＝0，得sin2θ＝，∴sinθ＝±，由B1

13、C2－B2C1≠0， 即1＋sinθ≠0，即sinθ≠－1，得θ＝kπ±，k∈Z，∴當(dāng)θ＝kπ±，k∈Z時，l1∥l2. (2)∵l1⊥l2 ∴A1A2＋B1B2＝0，∴2sinθ＋sinθ＝0，即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)， ∴當(dāng)θ＝kπ，k∈Z時，l1⊥l2. 16．解：（1）設(shè)直線的方程為，則直線與坐標(biāo)軸的交點為、 依題設(shè)有，得，則直線的方程為 （2）設(shè)直線的方程為，則由，解得或 則直線方程為或即或 17．解： (1)若l1，l2，l3三條直線交于一點．顯然m≠4，若m＝4，則l1∥l2. 由，得l1，l2的交點坐標(biāo)為(，)． 代入l3的方程得－3m·－4＝

14、0.解得m＝－1或m＝， ∴當(dāng)m＝－1或m＝時，l1，l2，l3交于一點． (2)若l1∥l2，則m＝4，若l1∥l3，則m＝－，若l2∥l3，則m∈?. (3)若l1∥l2∥l3，則m∈?. 綜上知：當(dāng)m＝－1或m＝或m＝4或m＝－時，三條直線不能構(gòu)成三角形， 即構(gòu)成三角形的條件是 m∈(－∞，－1)∪(－1，－)∪(－，)∪(，4)∪(4，＋∞)． 18．解： (1)∵l2：2x－y－＝0，∴l(xiāng)1與l2的距離d＝＝，∵a＞0，∴a＝3. (2)設(shè)存在點P(x0，y0)滿足②，則P點在與l1、l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上， 且＝·，即c＝或c＝，∴2x0－y0＋＝

15、0或2x0－y0＋＝0， 若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式有： ＝， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|.∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0， ∵P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能， 聯(lián)立解得(舍去) 由 得∴ P(，)即為同時滿足條件的點． 19．解： (1)證明：直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解之得， ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)． (2)由方程知，當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為－， 在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有， 解之得k＞0； 當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，合題意，故k≥0. (3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．依題意得，解得k＞0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時l：x－2y＋4＝0． 20．解： (1)由圖知，, 設(shè)直線的斜率為，直線與不能相交，所以， （2）直線的方程為，令得 令得 ∵，∴∴ ∴的方程為，此時和BP重合． （3）由（2）知,點到直線的距離為 而函數(shù)在上是增函數(shù)，故當(dāng)取得最大值當(dāng)時， 取得最小值（最小值也可用基本不等式直接得到）.