湖南省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì)第2講 概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理

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1、專題七　概率與統(tǒng)計(jì)第2講　概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 真題試做 1．(2020·山東高考，理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查．為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C.則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為(　　)． A．7 B．9 C．10 D．15 2．(2020·陜西高考，理6)從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲乙

2、兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則(　　)． A.甲＜乙，m甲＞m乙 B.甲＜乙，m甲＜m乙 C.甲＞乙，m甲＞m乙 D.甲＞乙，m甲＜m乙 3．(2020·湖南高考，理15)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)． (1)若φ＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則ω＝__________； (2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為_(kāi)_________． 4．(2020·湖北高考，理20)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程

3、施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差； (2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率． 考向分析 概率部分主要考查了概率的概念、條件概率、互斥事件的概率加法公式、對(duì)立事件的求法，以及古典概型與幾何概型的計(jì)算，均屬容易題．統(tǒng)計(jì)部分選擇、填空都是獨(dú)立考查本節(jié)知識(shí)，解答題均與概率的分布列綜合

4、．預(yù)測(cè)下一步概率部分會(huì)更加注重實(shí)際問(wèn)題背景，考查分析、推理能力，統(tǒng)計(jì)部分在直方圖、莖葉圖、相關(guān)性部分都可單獨(dú)命題，且多為一個(gè)小題，解答題仍會(huì)與分布列結(jié)合． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　隨機(jī)事件的概率 (2020·江西高考，理18)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V)．

5、 規(guī)律方法 高考中，概率解答題一般有兩大方向．一、以頻率分布直方圖為載體，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)據(jù)特征：如平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等或古典概型；二、以應(yīng)用題為載體，考查條件概率、獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的期望與方差等．需要注意第一種方向的考查． 變式訓(xùn)練1 (2020·北京昌平二模，理16)某游樂(lè)場(chǎng)將要舉行狙擊移動(dòng)靶比賽．比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動(dòng)靶的概率分別是和p(0

6、 (2)我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍． 熱點(diǎn)二　古典概型與幾何概型 例2 (2020·北京高考，理2)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(　　)． A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 規(guī)律方法 較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題可以直接使用古典概型公式計(jì)算，較為復(fù)雜的概率問(wèn)題的處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進(jìn)行求解；二是采用間接解法，先求事件A的對(duì)立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 變式訓(xùn)練2 (1

7、)在長(zhǎng)為18 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　　)． A. B. C. D. (2)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X，Y，則log 2XY＝1的概率為(　　)． A. B. C. D. 熱點(diǎn)三　線性相關(guān) 例3 (2020·湖南高考，理4)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法

8、建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)． A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 規(guī)律方法 線性回歸的基本思想及應(yīng)用主要按以下步驟完成：①畫散點(diǎn)圖，檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；②數(shù)據(jù)計(jì)算，求回歸方程；③利用回歸方程，進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)． 變式訓(xùn)練3 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.

9、8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系． 試求：(1)線性回歸方程的回歸系數(shù)； (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 熱點(diǎn)四　獨(dú)立性檢驗(yàn) 列4 為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試．兩個(gè)班同學(xué)的成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示： 按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表： 成績(jī)與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) A班 20 B班 20 總計(jì) 40 (2)能否在犯錯(cuò)誤的

10、概率不超過(guò)0.050的前提下，認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)？ 附：K2的觀測(cè)值k＝ P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 規(guī)律方法 獨(dú)立性檢驗(yàn)是指利用2×2列聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上兩個(gè)分類變量有關(guān)系的方法．K2值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量X與Y有關(guān)系的可能性越大．要會(huì)用臨界值表判斷X與Y有關(guān)系的可信程度． 變式訓(xùn)練4 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： (1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

11、 (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下，認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 　　K2的觀測(cè)值k＝. 思想滲透 數(shù)形結(jié)合思想——解答統(tǒng)計(jì)問(wèn)題 用數(shù)形結(jié)合思想解答的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題主要有： (1)通過(guò)頻率分布直方圖研究數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)． (2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 求解時(shí)注意的問(wèn)題： (1)頻率分布直方圖中縱軸表示，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于這一組的頻率． (2)在頻率分布直方圖中，組距是一個(gè)固定值，故各小長(zhǎng)方形

12、高的比就是頻率之比． 下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料．(單位：cm) 區(qū)間 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人數(shù) 5 8 10 22 33 區(qū)間 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 人數(shù) 20 11 6 5 (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本的頻率分布圖，估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的百分比． 解：(1)頻率分布表如下：

13、 區(qū)間人數(shù) 頻數(shù) 頻率 [122,126) 5 [126,130) 8 [130,134) 10 [134,138) 22 [138,142) 33 [142,146) 20 [146,150) 11 [150,154) 6 [154,158) 5 　　(2)頻率分布直方圖如圖： (3)由圖估計(jì)，身高小于134 cm的學(xué)生數(shù)約占總數(shù)的19%. 1．某企業(yè)共有職工150人，其中高級(jí)職稱15人，中級(jí)職稱45人，初級(jí)職稱90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取各職稱的人數(shù)分別為(　　)． A．5,1

14、0,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16 2．(2020·江西高考，理9)樣本(x1，x2，…，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，…，ym)的平均數(shù)為(≠)．若樣本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均數(shù)＝α＋(1－α)，其中0<α<，則n，m的大小關(guān)系為(　　)． A．nm C．n＝m D．不能確定 3．(2020·安徽高考，理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則(　　)． A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù) B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等

15、于乙的成績(jī)的中位數(shù) C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差 D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差 4．(2020·福建高考，理6)如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為(　　)． A. B. C. D. 5．在抽查某產(chǎn)品的尺寸的過(guò)程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，抽查出的個(gè)體數(shù)在該組上的頻率是m，該組在頻率分布直方圖上的高為h，則|a－b|等于(　　)． A．h·m B. C. D．與m，h無(wú)關(guān) 6．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則

16、a的值為(　　)． A. B. C．5 D．3 7．有一種密碼，明文是由三個(gè)字符組成，密碼是由明文對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個(gè)字符組成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排列組成． 第一排 明文字符 A B C D 密碼字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密碼字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密碼字符 1 2 3 4 設(shè)隨機(jī)變量ξ表

17、示密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)． (1)求P(ξ＝2)； (2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．C　解析：由題意可得，抽樣間隔為30，區(qū)間[451,750]恰好為10個(gè)完整的組，所以做問(wèn)卷B的有10人，故選C. 2．B　解析：由題圖可得甲＝＝21.562 5，m甲＝20， 乙＝＝28.562 5，m乙＝29， 所以甲＜乙，m甲＜m乙． 故選B. 3．(1)3　(2)　解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)． (1)φ＝時(shí)，f′(x)＝ωcos. ∵f′(0)＝，即ωcos＝，∴ω＝3. (2)當(dāng)ωx

18、＋φ＝時(shí)，x＝； 當(dāng)ωx＋φ＝時(shí)，x＝. 由幾何概型可知，該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為 P＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 4．解：(1)由已知條件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列為： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋

19、10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 解：(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)總共有C36＝20種取

20、法，選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的取法有C13C34＝12種，因此V＝0的概率為P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值為0，，，，，因此V的分布列為 V 0 P 由V的分布列可得 E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝. 【變式訓(xùn)練1】 解：(1)設(shè)“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N，則事件M與事件N為對(duì)立事件，P(M)＝C30·0·3＝， P(N)＝1－P(M)＝1－＝. (2)設(shè)選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ，則ξ的可能取值為0,3,6,9. P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝C31··2＝；

21、P(ξ＝6)＝C32·2·＝； P(ξ＝9)＝3＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 3 6 9 P ∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝. 設(shè)選手甲在B區(qū)射擊的得分為η，則η的可能取值為0,2,4. P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝C21·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2. 所以η的分布列為 η 0 2 4 P (1－p)2 2p(1－p) p2 ∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p. 根據(jù)題意，有E(η)>E(ξ)， ∴4p>，∴

22、幾何概型，設(shè)所求事件為A，如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形區(qū)域?yàn)榭偠攘喀苔?，滿足事件A的是陰影部分區(qū)域μA，故由幾何概型的概率公式得：P(A)==. 【變式訓(xùn)練2】 (1)D　解析：AM的長(zhǎng)介于6～9 cm之間，這是一個(gè)幾何概型，p＝＝. (2)C　解析：總事件數(shù)為36種，而滿足條件的(X，Y)為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情形．p＝＝. 【例3】 D　解析：D選項(xiàng)中，若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重約為：0.85×170－85.71＝58.79(kg)． 故D不正確． 【變式訓(xùn)練3】 解：(1)制表如下： ＝4，＝5， 2i＝90，2i＝140.78

23、，iyi＝112.3 i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 于是有＝＝＝1.23； ＝－＝5－1.23×4＝0.08. (2)回歸直線方程為 ＝1.23x＋0.08， 當(dāng)x＝10年時(shí)， ＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(萬(wàn)元)，即估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元． 【例4】 解：(1)成績(jī)與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) A班 14 6

24、 20 B班 7 13 20 總計(jì) 21 19 40 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 k＝≈4.912>3.841. 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.050的前提下認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)． 【變式訓(xùn)練4】 解：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為14%. (2)K2的觀測(cè)值 k＝≈9.967. 由于9.967>6.635，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．B　解析：高級(jí)、中級(jí)、初級(jí)職稱的人數(shù)所占比例分別為＝0.

25、1，＝0.3，＝0.6.故選B. 2．A　解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m， ＝＝＝α＋(1－α)， 整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0， ∵≠， ∴αm＋(α－1)n＝0，即＝. 又0<α<，∴0<<1， ∴0<<1. 又n，mN＋，∴n

26、為＝. 5．C　解析：頻率分布直方圖中，＝高度，所以|a－b|＝，故選C. 6．A　解析：∵ξ～N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，∴2a－3與a＋2關(guān)于μ＝3對(duì)稱， ∴＝3，解得a＝. 7．解：(1)密碼中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個(gè)數(shù)字，注意到密碼的第1,2列分別總是1,2，即只能取表格第1,2列中的數(shù)字作為密碼． ∴P(ξ＝2)＝＝. (2)由題意可知ξ的取值為2,3,4三種情形． 若ξ＝3，注意表格的第一排總含有數(shù)字1，第二排總含有數(shù)字2，則密碼中只可能取數(shù)字1,2,3或1,2,4. ∴P(ξ＝3)＝＝. 若ξ＝4，則P(ξ＝4)＝＝或P(ξ＝4)＝1－－＝， ∴ξ的分布列為： ξ 2 3 4 P ∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.