大學(xué)數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)實(shí)用學(xué)習(xí)教案

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)實(shí)用實(shí)用第一頁，共20頁。導(dǎo)數(shù)概念的物理背景變速(bin s)直線運(yùn)動(dòng)的即時(shí)速度 極限思想：令 t t0，取平均速度的極限，則可得到在t0時(shí)刻的即時(shí)速度即0000()()()limtS ttS tV tt 直觀想法(xing f)：時(shí)間間隔越小，平均速度越接近即時(shí)速度。 如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則任意時(shí)刻的速度也就是平均速度;如果質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，該如何確定某一時(shí)刻的即時(shí)速度 呢？0( )V t 問題：設(shè)某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 S=S(t),我們可用一段時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移 除以所花的時(shí)間t, 得到平均速度，即00()()S ttS

2、tSVtt 00()( )SS ttS t第1頁/共20頁第二頁，共20頁。導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景(bijng)曲線的切線問題問題：如右圖所示，已知曲線及曲線上的一點(diǎn)M , 如何確定(qudng)曲線在點(diǎn) M 處的切線？ 過點(diǎn) M 作曲線的割線 MN，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N 沿曲線向定點(diǎn) M 靠攏時(shí)，割線 MN 則繞定點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置 MT , 得到(d do)曲線在點(diǎn) M 的切線。0,NMxxMNMT即當(dāng)時(shí)，割線切線MNTMNxyo0 x( )yf xT0( )f x0()f xx0 xxxy0000lim()() limxxKKf xxf xx 切線割線（）切線：割線的極限位置。上述過程可用極限式

3、表示如下：第2頁/共20頁第三頁，共20頁。導(dǎo)數(shù)(do sh) Derivative的概念也可記作0 xxd yd x0()xxd fxd xox xy 若這個(gè)極限(jxin)不存在，則稱在點(diǎn)x0 處不可導(dǎo)。 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x=x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得增量 x ( 點(diǎn) x0 +x 仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)， 相應(yīng)地函數(shù) y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y與x之比當(dāng) x0的極限存在，則稱函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) (derivable)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)(deriva 記

4、為 0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即在引例(yn l)中有00( )( ),V tS t0()Kfx切第3頁/共20頁第四頁，共20頁。0000( )()()limxxfxfxfxxx0000()()()limhf xhf xfxh導(dǎo)數(shù)(do sh)定義的不同形式lim自變量之差0函數(shù)值之差導(dǎo)數(shù) 自變量之差導(dǎo)數(shù)是函數(shù)(hnsh)變化率的精確描述，從數(shù)量方面刻畫了變化率的本質(zhì)0000()()lim()hf xhf xfxh與有什么關(guān)系？000000()( )()( )limlimhhf xhf xf xhf xhh(-1)0( )f x=hx用代替差商

5、解答(jid)第4頁/共20頁第五頁，共20頁。變化率問題(wnt)設(shè)某個(gè)變量 Q 隨時(shí)間(shjin) t 的變化而變化，時(shí)刻 t 取值 Q (t),0limtQt 0()( )limtQ ttQ tt 從時(shí)刻 t 經(jīng)過(jnggu) t 時(shí)間， 量 Q 的改變量為()( )QQ ttQ t 量 Q 的平均變化率為()( )QQ ttQ ttt 0tQt 令， 則得到 在時(shí)刻 的（瞬時(shí)）變化率：(1)求增量(2)求增量比(3)取極限導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。第5頁/共20頁第六頁，共20頁。導(dǎo)數(shù)的幾何意義(yy)Mxyo0 x( )yf xT0000(

6、 )()( )(,()yfxxfxyfxMxfx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。0tan()MTkfx法線是過切點(diǎn)(qidin)且與切線垂直的直線00( )(,()yf xM xf x曲線在點(diǎn)處000()()yyfxxx的切線方程為0001()()yyxxfx 法線方程為0()0)fx第6頁/共20頁第七頁，共20頁。求導(dǎo)數(shù)(do sh)步驟：00()();yf xxf x (1)求增量00()();f xxf xyxx(2)算比值00lim.x xxyyx (3)求極限例題 設(shè) ，求 2yx2xy解222224yxxx 4yxx0lim4xyx 所以24xy如果(rgu

7、)將式中的定點(diǎn)x=2改為任意點(diǎn)x,則有如下結(jié)果22000limlimlim 22xxxxxxyxxxxx 其結(jié)果表示(biosh)是x的函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。第7頁/共20頁第八頁，共20頁。若函數(shù) y=f (x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù) y=f (x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于任意 x I , 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣構(gòu)成(guchng)了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為原來函數(shù) y=f (x) 的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)derivative），記作：( )fxd yd x()d fxd xy0()( )( )limhf xhf xfxh0()( )limxf xxf xyx

8、 把 x0 換成 x , 可得或?qū)Ш瘮?shù)(hnsh)的概念00()( ) |xxfxfx點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)(hnsh)的關(guān)系如上例中22xx224xx第8頁/共20頁第九頁，共20頁。000()( )( )lim limlim00hhhf xhf xC Cf xhh 01lim2cos()sin22hhhxh 00sin2lim cos() lim22hhhhxhcosx利用(lyng)定義求導(dǎo)數(shù)舉例( ) (f xCC為常數(shù)）例1 求常值函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。解所以常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即0C( ) sinf xx例2 求正弦函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。(sin )cosxx 所以(cos )sinxx 同理可求得00()

9、( )( )limsin()sinlimhhf xhf xfxhxhxh解第9頁/共20頁第十頁，共20頁。0()limnnhxhxh122110 lim()nnnnnhnxC xhhnx1() ()xxR 對(duì)一般的冪函數(shù)有12220 l imnnnnhnxhCxhhh1()nnin iiniabC ab( ) nf xxn（ 為正整數(shù)）例3 求冪函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。0()( )( )limhfxhfxfxh解所以1()nnxn x 第10頁/共20頁第十一頁，共20頁。10(1) x541(2) x(4) x1(3) x例如(lr)2(5) x910 x59445()4xx 121()xx 112

10、21122xxx212x第11頁/共20頁第十二頁，共20頁。0log ()loglim aahxhxh01 lilog mahxhhx10lim log (1 ) hahhx10lim log (1) xhxahhx1log aex 1 l n xa( )log0,0af xx aa（）例4 求對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。0()( )( )limhfxhfxfxh解1(log)lnaxxa 所以(ln)x 特別(tbi)(lg)x 1x1ln10 x第12頁/共20頁第十三頁，共20頁。解 根據(jù)(gnj)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為11122214xxkyx 所以，所求切線方程為124()2yx

11、所求法線的斜率為21114kk 所求法線方程為112()42yx例5 求雙曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率，并寫出曲 線在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。1yx1,22440 xy即28150 xy即第13頁/共20頁第十四頁，共20頁。單側(cè)導(dǎo)數(shù)(do sh) 0000()()()limhf xhf xfxh 0000()()()limhf xhf xfxh 左導(dǎo)數(shù)(do sh) （derivative on the left） 右導(dǎo)數(shù) （derivative on the right）函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。000( )()limxxf xf xxx000( )()limx

12、xf xf xxx第14頁/共20頁第十五頁，共20頁。0( )(0)(0)lim0 xf xffx0sinsin0lim0 xxx0sinlim1xxx0tan0lim0 xxx0tanlim1xxxsin(0)2( ),(0).tan( 0)2xxf xfxx求 例6 已知0( )(0)(0)lim0 xf xffx解 因?yàn)?0)(0)1ff所以(0)1f ，從而第15頁/共20頁第十六頁，共20頁。函數(shù)(hnsh)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 函數(shù)(hnsh) f (x) 在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)。證明 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)( )f x0 x0)(limlim000 xxxfyxx .)(0連續(xù)

13、連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x 注意: 該定理(dngl)的逆定理(dngl)不成立.第16頁/共20頁第十七頁，共20頁。例7 討論(toln)函數(shù) f (x)= |x| 在點(diǎn) x=0 的連續(xù)性和可導(dǎo)性。xyOyx00lim( )lim()0 xxf xx(0)0f故函數(shù)(hnsh) f (x)= |x| 在點(diǎn) x=0 連續(xù)00lim( )lim( )(0)xxf xf xf即 0( )(0)lim0 xf xfx0lim1xxx0( )(0)lim0 xf xfx0lim1xxx(0)f(0)f故函數(shù)(hnsh) f (

14、x)= |x| 在點(diǎn) x=0 不可導(dǎo) 連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件00lim( )lim0 xxf xx解 函數(shù) f (x) 在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。第17頁/共20頁第十八頁，共20頁。解, ,是有界函數(shù)是有界函數(shù)x1sin01sinlim0 xxx處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin. .不不存存在在1 1和和1 1之之間間振振蕩蕩而而極極限限在在時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng) xyx0.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例8)(xf在x=0處不可(bk)導(dǎo)第18頁/共20頁第十九頁，共20頁。例9 求曲線 的通過點(diǎn)（0，4）的切線方程23xy 解 設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線(qixin)的斜率為 002323)(0 xxxfxx ),(00yx于是(ysh)所求切線方程可設(shè)為)(23000 xxxyy ),(00yx切點(diǎn)(qidin) 在曲線 上，故有23xy 2300 xy 切線通過點(diǎn)（0，4），故有)0(234000 xxy 解由上述兩個(gè)方程組成的方程組得8, 400 yx即得所求切線方程為3x-y-4=0第19頁/共20頁第二十頁，共20頁。