2018年高考數(shù)學(xué) 黃金100題系列 第37題 三角形中的不等問(wèn) 理

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1、第 37題 三角形中的不等問(wèn)題 I．題源探究·黃金母題 【例1】海中一小島，周圍內(nèi)有暗礁，海輪由西向東航行，望見(jiàn)該島在北偏東70°，航行以后，望見(jiàn)這島在北偏東60°，如果這艘輪船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？ 【解析】根據(jù)題意作出如下圖，其中設(shè)為島所在位置，是該輪船航行前后的位置，過(guò)作于，根據(jù)題意知，在△ABC中，，，， ∴=10°，∠CBD=30°， 由正弦定理得，， ∴=≈15．7560， ∴≈7．878＞3．8， ∴沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)． 答：沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)． 精彩解讀 【試題來(lái)源】人教版A版必修5第24頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第2題． 【母題評(píng)析】此題考查利用

2、正余弦定理解與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題，是常考題型． 【思路方法】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，為島所在位置，是該輪船航行前后的位置，過(guò)作于，根據(jù)題意知，在△ABC中，，，，要判斷是否觸礁，即需要計(jì)算C點(diǎn)到直線AB的距離CD，在△ABC中利用正弦定理計(jì)算出BC，在通過(guò)解直角三角形即可求出CD． II．考場(chǎng)精彩·真題回放 【例2】【2021年高考北京理數(shù)】在ABC中，． 〔1〕求 的大??； 〔2〕求 的最大值． 【解析】〔1〕由余弦定理及題設(shè)得， 又∵，∴；〔2〕由〔1〕知， ，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值． 【例3】【2021高考山東理數(shù)】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

3、 〔Ⅰ〕證明：a+b=2c； 〔Ⅱ〕求cosC的最小值． 【解析】由題意知， 化簡(jiǎn)得， 即． 因?yàn)?，所以? 從而．由正弦定理得． 由知， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 故 的最小值為． 【命題意圖】此題主要考查利用正余弦定理和三角公式求與三角形有關(guān)的三角式的范圍問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，考查學(xué)生利用正余弦定理及相關(guān)知識(shí)解決與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題． 【難點(diǎn)中心】解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練學(xué)三角恒等變形能力，形成解題的模式和套路 【例4】【2021高考湖南，理17】

4、設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角． 〔1〕證明：； 〔2〕求的取值范圍． 【解析】〔1〕由及正弦定理，得，∴，即， 又為鈍角，因此，故，即． 〔2〕由〔1〕知，， ，∴， 于是= =， ∵，∴， 因此，由此可知的取值范圍是． III．理論根底·解題原理 考點(diǎn)一 三角形中的不等關(guān)系 1．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； 2．任一角都大于00而小于1800，任意兩角之和也是大于00而小于1800；3 3．．設(shè)角A是一三角形的內(nèi)角，那么； 4．在銳角三角形中，任意兩角之和也是大于900而小于1800； 5．在同一三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大

5、邊 考點(diǎn)二 與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題類型 常以三角形中的不等和最值問(wèn)題為載體，考查運(yùn)用三角變換、正余弦定理、根本不等式、平面向量等知識(shí)和方法求取值范圍或值域或求值，要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力、三角恒等變形能力以及準(zhǔn)確的計(jì)算能力．對(duì)這類問(wèn)題要認(rèn)證讀題，利用相關(guān)知識(shí)將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊角條件，利用正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的純邊或純角的函數(shù)問(wèn)題，再利用根本不等式或函數(shù)求值域的方法處理之． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題或解答題的形式出現(xiàn)，一般中檔題，考查綜合運(yùn)用正余弦定理及相關(guān)知識(shí)與方法解綜合問(wèn)題的能力． 【技能方法】 1．

6、與平面向量結(jié)合的三角形問(wèn)題，常利用平面向量的知識(shí)將向量條件或問(wèn)題化為三角形的邊角條件或問(wèn)題，再利用正余弦定理化為純邊或純角條件或問(wèn)題求解，如在中，由． 2．與數(shù)列結(jié)合的三角形問(wèn)題，常利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)將條件或問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的邊角條件或問(wèn)題，再利用正余弦定理化為純邊或純角條件或問(wèn)題求解． 3．三角形中的取值范圍問(wèn)題或最值問(wèn)題，常常利用正余弦定理化成純邊問(wèn)題，利用根本不等式或重要求最值，或者化成純角問(wèn)題，利用三角公式化成一個(gè)角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)求最值，要注意角的范圍． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 在求與三角性有關(guān)的最值〔范圍〕問(wèn)題時(shí)，常先利用正余弦定理將其化為角的三角函數(shù)，再利用三角

7、形內(nèi)角和定理消去角的個(gè)數(shù)，結(jié)合題中的條件和消去角的范圍確定留下角的范圍，利用三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求解，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤①?zèng)]有進(jìn)一步確定留下角的范圍；②在求最值時(shí)沒(méi)有結(jié)合三角函數(shù)圖像求最值而是直接代角范圍的端點(diǎn)值，應(yīng)盡量防止之． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 關(guān)于三角形邊的代數(shù)式的范圍〔最值〕問(wèn)題 【例5】【2021黑龍江哈爾濱九中二?！吭O(shè)函數(shù)． 〔1〕求的最大值，并寫(xiě)出使取最大值時(shí)的集合； 〔2〕中，角的邊分別為，假設(shè)，求的最小值． 【答案】〔1〕2， ；〔2〕1． 試題解析：〔1〕 的最大值為2． 要使取最大值， ， 故的集合為 〔2〕，即． 化簡(jiǎn)得 ，只

8、有． 在中，由余弦定理， ． 由知，即，當(dāng)時(shí)取最小值1．， 【例6】【2021山西懷仁縣一中高二上期開(kāi)學(xué)考】在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，． 〔1〕求； 〔2〕假設(shè)，求的取值范圍． 〔2〕由〔1〕得：， 其中，． 【方法總結(jié)】對(duì)于三角形中邊的代數(shù)式的最值問(wèn)題，假設(shè)是三角形中最大〔小〕邊長(zhǎng)問(wèn)題，先根據(jù)角判定三邊的大小關(guān)系，再用正弦定理或余弦定理求解；假設(shè)是關(guān)于兩邊以上的齊次代數(shù)式，假設(shè)能求得兩邊的和或積為常數(shù)，可以利用根本不等式求最值，也可以利用正弦定理化為對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)式的最值，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個(gè)角的三角式函數(shù)最值問(wèn)題，再利用三角公式化為一個(gè)角的三角函

9、數(shù)在某個(gè)范圍上的最值問(wèn)題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍． 【跟蹤練習(xí)】 【2021湖北華中師大一附中高三五月適應(yīng)性考試】在中，，假設(shè)最長(zhǎng)為，那么最短邊的長(zhǎng)為 ． 【答案】 考向2 關(guān)于三角形角的三角函數(shù)式的范圍〔最值〕問(wèn)題 【例7】【2021貴州遵義一聯(lián)】在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且． 〔1〕求角的大??； 〔2〕假設(shè)的面積，求的值． 【解析】〔1〕由，得，即，解得或〔舍去〕，因?yàn)椋? 〔2〕由，得．由余弦定理，得．由正弦定理，得． 【方法總結(jié)】對(duì)于三角形中角的三角函數(shù)式的最值問(wèn)題，假設(shè)是三角形

10、某個(gè)角余弦的最值問(wèn)題，常用余弦定理化為邊，利用根本不等式求最值；假設(shè)是含有多個(gè)角三角函數(shù)式的最值問(wèn)題，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個(gè)角的三角式函數(shù)最值問(wèn)題，再利用三角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)在某個(gè)范圍上的最值問(wèn)題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍． 【跟蹤練習(xí)】 【2021重慶一中高二下學(xué)期期中】在中，，那么的最小值為〔 〕 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由有，通分化簡(jiǎn)有，由正弦定理有，由余弦定理有①，化簡(jiǎn)得，代入①有，所以的最小值為，選D． 考向3 關(guān)于三角形面積的最值問(wèn)題 【例8】【2021

11、河北石家莊二中三?！咳鐖D，在 中，角 的對(duì)邊分別為 ， ． 〔1〕求角 的大?。? 〔2〕假設(shè) 為外一點(diǎn)， ，求四邊形面積的最大值． 【答案】〔1〕〔2〕 試題解析：解：〔1〕在 中， ．有 ， ，那么 ，即 ，那么 ． 〔2〕在 中， ，又 ， 那么為等腰直角三角形， ，又 ， ， 當(dāng) 時(shí)，四邊形 的面積最大值，最大值為． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2021江西質(zhì)檢】如下圖，在平面四邊形中，，，，，那么四邊形的面積的最大值是 ． 【答案】． 【方法總結(jié)】對(duì)三角形中面積的最值問(wèn)題，假設(shè)一角為定值，常用余弦定理及根本不等式求出這個(gè)角兩邊積的

12、最值，即可利用面積公式求出面積的最值，也可以利用正弦定理化為對(duì)角的三角函數(shù)式的最值問(wèn)題，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個(gè)角的三角式函數(shù)最值問(wèn)題，再利用三角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)在某個(gè)范圍上的最值問(wèn)題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍；假設(shè)鄰邊的積為定值，先求出夾角的正弦的取值范圍，即可求出三角形面積的最值． 2．【2021云南玉溪三?！康膬?nèi)角的對(duì)邊分別為，且． 〔1〕求； 〔2〕假設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，求面積的最大值． 【解析】〔1〕因?yàn)椋? 由正弦定理知， 即， ， ． 又由為的內(nèi)角，故而，所以． 又由為的內(nèi)角，故而

13、 所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 又， 故而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值 sin<，故a－b的取值范圍是． 考向4 與解三角形有關(guān)的其它最值〔范圍〕問(wèn)題 【例9】【2021江蘇南通如皋第一次聯(lián)考】如圖，矩形ABCD是某小區(qū)戶外活動(dòng)空地的平面示意圖，其中AB＝50米，AD＝100米，現(xiàn)擬在直角三角形OMN內(nèi)栽植草坪供兒童踢球娛樂(lè)〔其中，點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，OM⊥ON，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上〕，將破舊的道路AM重新鋪設(shè)．草坪本錢為每平方米20元，新道路AM本錢為每米500元，設(shè)∠OMA＝θ，記草坪栽植與新道路鋪設(shè)所需的總費(fèi)用為f(θ)． 〔1〕求f(θ)關(guān)于θ函數(shù)關(guān)系式，并

14、寫(xiě)出定義域； 〔2〕為節(jié)約投入本錢，當(dāng)tanθ為何值時(shí)，總費(fèi)用 f(θ)最??？ 【答案】〔1〕f(θ)＝，其定義域?yàn)?；?〕 試題解析：〔1〕據(jù)題意，在Rt?OAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，據(jù)平面幾何知識(shí)可知∠DON＝θ，在Rt?ODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以O(shè)N＝，所以f(θ)＝＝＝ ，據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，θ取最小值；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定義域?yàn)椋? 〔2〕由〔1〕可知，f(θ)＝， ， ＝＝＝，令＝0，得，其中，列表： θ ↘ 極小值 ↗ 所以當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用 f(θ)取最小值，可節(jié)約投入本錢． 【跟蹤練習(xí)】 【2021浙江杭州模擬】在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，． 〔Ⅰ〕求角的大?。? 〔Ⅱ〕假設(shè)，且是銳角三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】〔I〕；〔II〕． 【解析】 試題分析：〔Ⅰ〕由及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用得，從而可求得，即可解得的大小；〔Ⅱ〕由得，由是銳角三角形，，可求得的取取值范圍，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．