高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 二 平行線分線段成比例定理教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、三 相似三角形的判定及性質(zhì) 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 一、平行線分線段成比例定理 1.定理:三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 2.用符號(hào)語(yǔ)言表示:如圖1-2-1所示，a∥b∥c,則. 圖1-2-1 3.定理的證明：若是有理數(shù)，則將AB、BC分成相等的線段，把問題轉(zhuǎn)化為平行線等分線段，達(dá)到證明的目的，再推廣到整個(gè)實(shí)數(shù)范圍，其完整的推廣過程等學(xué)到高等數(shù)學(xué)時(shí)才會(huì)實(shí)現(xiàn). 4.定理的條件:與平行線等分線段定理相同，它需要a、b、c互相平行，構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行線a、b、c相交，即被平行線a、b、c所截.平行線的條數(shù)還可以更多.

2、 知識(shí)拓展 對(duì)于3條平行線截兩條直線的圖形，要注意以下變化(如圖121):如果已知是a∥b∥c，那么根據(jù)定理就可以得到所有的對(duì)應(yīng)線段都成比例，如等. 記憶要訣 對(duì)于平行線分線段成比例定理，可以歸納為等，便于記憶. 二、平行線分線段成比例定理的推論 1.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 2.符號(hào)語(yǔ)言表示:如圖1-2-2所示，a∥b∥c,則 (1) （2） 圖1-2-2 3.推論的證明：直接利用平行線分線段成比例定理，應(yīng)當(dāng)注意的是一定要將線段對(duì)應(yīng)好. 誤區(qū)警示 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常圖形中不會(huì)出現(xiàn)三條平行線

3、，此時(shí)要注意正確識(shí)別圖形，如圖123. 圖1-2-3 問題·探究 問題1 平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何區(qū)別與聯(lián)系？怎樣正確使用平行線分線段成比例定理？ 思路:從兩個(gè)定理的條件和結(jié)論兩方面進(jìn)行對(duì)比，可以找到它們的共同點(diǎn)和區(qū)別點(diǎn). 探究:我們學(xué)習(xí)的平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等(如圖1-2-4，若l1∥l2∥l3，AB＝BC，則DE=EF) . 圖1-2-4 圖1-2-5 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

4、如圖1-2-5,若l1∥l2∥l3,則. 比較這兩個(gè)定理可知:當(dāng)截得的對(duì)應(yīng)線段成比例,比值為1時(shí),則截得的線段相等,即當(dāng)=1時(shí),則有AB=BC,DE=EF,因此平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的擴(kuò)充,而平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例.平行線等分線段定理是證明線段相等的依據(jù),而平行線分線段成比例定理是證明線段成比例的途徑. 在使用平行線分線段成比例定理時(shí),要特別注意“對(duì)應(yīng)”的問題，如圖1-2-5中的線段AB、BC、AC的對(duì)應(yīng)線段分別是DE、EF、DF.由平行線分線段成比例定理有.根據(jù)比例的性質(zhì),還可以得到,. 為了掌握對(duì)應(yīng)關(guān)系，可根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的相對(duì)位置特征，把說

5、成是“上比全等于上比全”，把說成是“左比右等于左比右”，使用這種形象化語(yǔ)言，不僅能夠按要求或需要準(zhǔn)確地寫出比例式，而且也容易檢查比例式是否正確. 問題2 證明線段相等的問題較常見，而證題的方法隨著所學(xué)知識(shí)的不斷積累也逐漸增多.那么證明線段相等通常有哪些方法？我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的平行線分線段成比例定理及推論能發(fā)揮什么作用？ 思路:從學(xué)過的所有涉及線段相等的結(jié)論進(jìn)行總結(jié). 探究:根據(jù)題設(shè)的不同，證明線段相等可以利用全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等；等腰三角形、等腰梯形的兩腰相等；平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的對(duì)角線相等；關(guān)于直線成軸對(duì)稱或關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的線段相等，以及線段

6、的垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理等等.現(xiàn)在學(xué)了線段成比例的有關(guān)定理，也常用來(lái)證兩線段相等，其方法是利用條件中有的(或添作的)平行線或相似三角形，列出幾組比例式進(jìn)行比較而得出. 典題·熱題 例1如圖1-2-6所示，∠A=∠E，=，BD=8，求BC的長(zhǎng). 圖1-2-6 思路分析：要求BC，由于BC和BD是對(duì)應(yīng)線段，因此只要得出AC∥DE即可. 解： ∵∠A=∠E，∴AC∥DE. ∴(平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長(zhǎng)線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例). ∴=.∴BC=4. 誤區(qū)警示 在列比例式求某線段的長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)盡可能將需求的線段寫成比例式第一項(xiàng)，以減少比例變形，減少錯(cuò)誤.

7、 例2如圖1-2-7所示，DE∥BC，EF∥DC，求證:AD2=AF·AB. 圖1-2-7 思路分析：要證AD2=AF·AB，只要證，由于AF、AD、AB在同一直線上，因此上式不能直接用定理證，于是想到用過渡比.從基本圖形“A”型中立即可找到過渡比為. 證明：∵DE∥BC， ∴(平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例). ∵EF∥DC,∴. ∴,即AD2=AF·AB. 深化升華 等積式常常轉(zhuǎn)化為比例式證明，要善于從復(fù)雜圖形中識(shí)別出基本圖形中的公共部分(即)，它往往是構(gòu)成證明中的過渡比. 例3如圖1-2-8所示，已知直線FD和△ABC的BC邊交于D，與AC邊交

8、于E，與BA的延長(zhǎng)線交于F，且BD=DC，求證:AE·FB=EC·FA. 圖1-2-8 思路分析：本題只要證即可.由于與沒有直接聯(lián)系，因此必須尋找過渡比將它們聯(lián)系起來(lái)，因此考慮添加平行線進(jìn)行構(gòu)造. 證明：過A作AG∥BC，交DF于G點(diǎn). ∵AG∥BD,∴=. 又∵BD=DC,∴=. ∵AG∥BD,∴=. ∴=,即AE·FB=EC·FA. 變式方法 本題過點(diǎn)A還有一種方式作平行線構(gòu)造基本圖形，過B、C都有兩種方式作平行線構(gòu)造基本圖形. 例4如圖1-2-9，已知AD是△ABC的內(nèi)角平分線,求證:. 圖1-2-9 思路分析：AB、AC不在同一直線上，而BD和CD在同一直

9、線上.在同一直線上的兩條線段的比往往和平行線有關(guān)，所以我們考慮不妨作一條平行線. 證明：過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E, ∵AD∥EC,∴ 又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.∴. 深化升華 此題是三角形的內(nèi)角平分線定理，即三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊成兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例. 例5某同學(xué)的身高1.60米，由路燈下向前步行4米，發(fā)現(xiàn)自己的影子長(zhǎng)2米，求這個(gè)路燈的高？ 圖1-2-10 思路分析：結(jié)合光的直線傳播，建立如圖1-2-10所示的三角形，根據(jù)人體與路燈桿平行將題目轉(zhuǎn)化為成比例線段，代入數(shù)值可以

10、獲得結(jié)果. 解：如圖1-2-10，AB表示同學(xué)的身高，CD表示路燈的高. ∵AB∥CD,∴ ∴CD==4.8(米). 答:路燈高為4.8米. 例6如圖1-2-11，從Rt△ABC的兩直角邊AB、AC向三角形外作正方形ABFG及ACDE，CF、BD分別交AB、AC于P、Q點(diǎn)，求證:AP=AQ. 圖1-2-11 證明：∵AB∥GF,AC∥ED， ∴,即AP=,AQ=. ∵CA=ED,GF=BA,CG=BE,∴AP=AQ. 例7如圖1-2-12，四邊形ABCD中，AC、BD交于O，過O作AB的平行線，與AD、BC分別交于E、F，與CD的延長(zhǎng)線交于K，求證:KO2=KE·KF. 圖1-2-12 思路分析：KO、KE、KF在一條直線上，要證明KO2=KE·KF，即要證，顯然要尋找中間比，現(xiàn)有圖形無(wú)法將線段KO、KE、KF與平行線分線段成比例定理及其推論聯(lián)系起來(lái)，若延長(zhǎng)CK、BA，設(shè)它們交于H，則圖形中出現(xiàn)如上題所說的兩個(gè)基本圖形,這就不難將進(jìn)行轉(zhuǎn)換而找到中間比. 證明：延長(zhǎng)CK、BA，設(shè)它們交于H， ∵KO∥HB,∴.∴,即. ∵KF∥HB,同理可得.∴,即KO2=KE·KF. 深化升華 本題所作的輔助線，不僅構(gòu)造了兩個(gè)常見的基本圖形，而且可以直接利用三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理，找到與的中間比，使問題得以突破,也可以由兩個(gè)基本圖形直接得到.