高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關性質 三 相似三角形的判定及性質教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、三 相似三角形的判定及性質 庖丁巧解牛 知識·巧學 一、三角形相似的預備定理 在初中，我們已經學過相似三角形的知識，其定義是如果兩個三角形的對應角相等，對應邊成比例，那么稱這兩個三角形相似.對于三角形相似，其中對應邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).利用上一節(jié)所學的平行線分線段成比例定理，可得預備定理:平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如圖1-3-2，△ABC中，DE∥BC，則由平行線分線段成比例定理，有，而由DE∥BC，易得∠D=∠B,∠E=∠C，又∠A是公共角，所以△ABC與△ADE具備相似的條件，即△ABC中，若DE∥BC，則

2、△ABC∽△ADE. 圖1-3-2 二、相似三角形的判定方法 判定兩個三角形相似的方法有: (1)定義法，即對應邊成比例，對應角相等的三角形是相似三角形.當然有了判定定理后，就不用定義判定了，這是因為定義中的條件太多，實際上并不需要. (2)平行法，即平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似.這就是預備定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1:兩角對應相等，兩三角形相似；②判定定理2:兩邊對應成比例、夾角相等,兩三角形相似；③判定定理3:三邊對應成比例,兩三角形相似. 方法點撥 在這些判定方法中，應用最多的是判定定理1，即兩角對應相等，

3、兩三角形相似.因為它的條件最容易尋求，實際證明當中，要特別注意兩個三角形的公共角.在連續(xù)兩次證明相似時，在第二次使用判定定理2的情況較多. 辨析比較 對于直角三角形相似的判定，除以上方法外，還有其他特殊的方法: (1)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似； (2)如果一個直角三角形的一條直角邊和斜邊與另外一個直角三角形的直角邊和斜邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似； (3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似. 在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的利用. 三、相似三角形的性質 如果兩個三角形相似，那么它們的形狀相同，只在大

4、小上有所區(qū)別，這兩個三角形的對應元素之間有很重要的關系，分別是:(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例；(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形的周長比等于相似比；(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方.利用這些關系，可以進行各種各樣的求值和證明. 問題·探究 問題 在初中，我們已經學過全等三角形，兩個全等三角形的大小、形狀是完全一樣的，相似三角形是形狀相同但大小不一樣的三角形，顯然，當兩個相似三角形的相似比為1的時候，相似三角形就成了全等三角形，那么，這兩

5、者之間有哪些聯(lián)系和差別呢？ 思路:鑒于相似三角形和全等三角形的類似點，在學習相似三角形的性質時，可以類比全等三角形的性質來研究. 探究:用表格的形式對兩者作比較: 全等三角形 相似三角形 1 對應邊相等 對應邊成比例 2 對應角相等 對應角相等 3 對應中線相等 對應中線的比等于相似比 4 對應角平分線相等 對應角平分線的比等于相似比 5 對應高相等 對應高的比等于相似比 6 周長相等 周長比等于相似比 7 面積相等 面積比等于相似比的平方 從兩者的對比中可以發(fā)現(xiàn)，當兩個相似三角形的相似比為1時，二者完全相同，所以我們研究相似三角

6、形的性質的時候，切記從相似比入手即可，涉及到線段的比均等于相似比，只有面積的比是相似比的平方. 典題·熱題 例1如圖1-3-3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，AE⊥AD交CB延長線于點E，則下列結論正確的是（ ） 圖1-3-3 A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 思路分析：本題考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法，用排除法結合條件易選出正確選項. 答案：C 深化升華 判定三角形相似，首先考慮兩角對應相等，特別是當圖

7、形中只有角的關系時，常常通過角的轉換實現(xiàn)角的相等關系，還應該多注意公共角這一隱含條件的使用. 例2如圖1-3-4所示，已知D是△ABC中AB邊上的一點，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，則四邊形BFED的面積等于（ ） 圖1-3-4 A.2 B.4 C.5 D.9 思路分析：由題易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4， ∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3. ∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴SBFED=5. 答案：C

8、 例3如圖1-3-5，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，試利用三角形相似的關系說明AD2=DC·AC. 圖1-3-5 思路分析：有一個角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分線， ∴∠CBD=36°，則可推出△ABC∽△BCD，進而由相似三角形的對應邊成比例推出線段之間的比例關系. 證明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC. ∴BC2=AB·CD.∴AD2=AC·CD. 深化升華 (1)有

9、兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應邊.(2)要說明線段的乘積式ab=cd或平方式a2=bc，一般都是先證明比例式或，再根據(jù)比例的基本性質推出乘積式或平方式. 例4如圖1-3-6，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F. 圖1-3-6 (1)求證:△ABC∽△FCD； (2)若S△FCD=5，BC＝10，求DE的長. 思路分析：第(1)問,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中點，ED⊥BC， ∴∠B=∠ECD.∴△AB

10、C∽△FCD. 第(2)問利用相似三角形的性質，作AM⊥BC于M，易知S△ABC=4S△FCD. ∴S△ABC=20，AM=4.又∵AM∥ED，∴，再根據(jù)等腰三角形的性質及中點，可以求出DE.也可運用△ABC∽△FCD，由相似比為2，證出F是AD的中點，通過“兩三角形等底等高，則面積相等”，求出S△ABC=20. (1)證明：∵DE⊥BC，D是BC中點，∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一：過點A作AM⊥BC，垂足為點M. ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ 2=4. 又∵S△FCD=5，∴S△ABC=20.

11、∵S△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM，∴. ∵DM=DC=，BM=BD＋DM，BD=BC=5， ∴∴DE=. 解法二：作FH⊥BC，垂足為點H. 圖1-3-7 ∵S△FCD=DC·FH，又∵S△FCD=5，DC=BC=5， ∴5=×5×FH.∴FH=2. 過點A作AM⊥BC，垂足為點M，∵△ABC∽△FCD， ∴=.∴AM=4. 又∵FH∥AM，∴==. ∴點H是DM的中點. 又∵FH∥DE，∴. ∵HC=HM＋MC=，∴.∴DE=. 例5如圖1-3-8，小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直

12、到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長是2 m. 圖1-3-8 (1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度. 思路分析：由題意,知△ABC與△ADE相似，這是因為兩個三角形均為直角三角形，并且這兩個三角形有一個公共角，由判定定理可得相似，利用對應邊成比例，可以獲得塔高. 解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下： ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴. ∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20

13、(m)，BC＝1.6 m. ∴.∴DE=16. 答:古塔的高度為16 m. 例6一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同學的加工方法符合要求？說說你的理由(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數(shù)可保留). (1) (2) 圖1-3-9 思路分析：兩個圖形中均有相似三角形，圖(1)中，即，可得正方形的邊長，圖(2)中可運用相似比等于對應高的比列出等式，進而求出正方形的邊長. 解

14、： 由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米. 如圖1-3-9(1)，若設甲加工的桌面邊長為x米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=米. 如圖1-3-9(2)，過點B作Rt△ABC斜邊上的高BH，交DE于P，交AC于H. 由AB=1.5米，BC=2米，S△ABC=1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米. 設乙加工的桌面邊長為y米， ∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC. ∴,即.解之，得y=,即x>y,x2>y2, ∴甲同學的加工方法符合要求. 深化升華 在三角形中有平行于一邊的直線時，通常考慮三角形相似，利用比值獲得線段的長或三角形的面積.