數(shù)學(xué)第3章 函數(shù) 第12講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

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1、 第三章函數(shù)第三章函數(shù) 第第12講講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 二次函數(shù)的概念及表示方法二次函數(shù)的概念及表示方法概念一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)表示方法(1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a0)；(2)頂點(diǎn)式：ya(xh)2k(a，h，k是常數(shù)，a0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；(3)交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常數(shù)，a0)，其中x1，x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)提示提示 (1)二次項(xiàng)系數(shù)a0；(2)ax2bxc必須是整式；(3)一次項(xiàng)系數(shù)可以為零，常數(shù)項(xiàng)

2、也可以為零，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可以同時(shí)為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)考點(diǎn)考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) 6 6年年4 4考考1 1二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)2.2.拋物線拋物線y yax2ax2bxbxc(a0)c(a0)的位置與的位置與a a，b b，c c的關(guān)系的關(guān)系1當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為yax2bxc(a0)，然后列三元一次方程組求解2當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值時(shí)，通常設(shè)表達(dá)式為ya(xh)2k(a0)，然后求解3當(dāng)已知拋物線與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)表達(dá)式為ya(xx1)(xx2)(a0)，然后求解考點(diǎn)考點(diǎn)

3、 3 二次函數(shù)表達(dá)式的確定二次函數(shù)表達(dá)式的確定6 6年年1 1考考考點(diǎn)考點(diǎn)4 二次函數(shù)圖象的平移二次函數(shù)圖象的平移拋物線yax2與ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中a相同，則圖象的形狀和大小都相同，只是位置不同它們之間的平移關(guān)系如圖：考點(diǎn)考點(diǎn) 5 二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程1一元二次方程ax2bxc0(a0)的解也就是二次函數(shù)yax2bxc( a0)圖象與x軸(即y0)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 拋物線的位置與系數(shù)的關(guān)系拋物線的位置與系數(shù)的關(guān)系【例1】2016棗莊中考如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)

4、的圖象如圖所示，給出以下四個(gè)結(jié)論：abc0，abc0，ab，4acb20.其中正確的結(jié)論有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)失分警示失分警示 根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號(hào)是二次函數(shù)中一類典型的數(shù)形結(jié)合問題，具有較強(qiáng)的推理性解題時(shí)應(yīng)注意開口方向與a的關(guān)系，拋物線與y軸的交點(diǎn)與c的關(guān)系，對(duì)稱軸與a，b的關(guān)系，拋物線與x軸交點(diǎn)數(shù)目與b24ac的符號(hào)的關(guān)系CC二次函數(shù)yax2bxc圖象經(jīng)過原點(diǎn)，c0，abc0，正確x1時(shí)，y0，abc0，不正確拋物線開口向下，a0.拋物線的對(duì)稱軸是x ， ，b0，b3a.又a0，b0，ab，正確二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，0，b24ac0，

5、即4acb20，正確綜上，可得正確結(jié)論有3個(gè)，即.23a2b23類型類型2 2 二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)【例2】2017泰安中考已知二次函數(shù)yax2bxc的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x1013y3131下列結(jié)論：拋物線的開口向下；其圖象的對(duì)稱軸為x1；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；方程ax2bxc0有一個(gè)根大于4，其中正確的結(jié)論有() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 1.求二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)一般用配方法得頂點(diǎn)式，直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；或代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式( ， )；已知對(duì)稱軸xm時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)就是m，將其代入解析式，即可求得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)2拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱性、增減性是考

6、查拋物線及其圖象性質(zhì)的重點(diǎn)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想使解題更加直觀，比如當(dāng)x1時(shí)，判斷abc的符號(hào)，當(dāng)x1時(shí)，判斷abc的符號(hào)a2b4abac42BB根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到對(duì)稱軸為x ，再由圖象中的數(shù)據(jù)可以得到當(dāng)x 時(shí)取得最大值，從而可以得到函數(shù)的開口向下以及當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小，然后根據(jù)x0時(shí)，y1，x1時(shí)，y3，可以得到方程ax2bxc0的兩個(gè)根所在的大體位置，從而可以判斷正確，錯(cuò)誤，正確，錯(cuò)誤，故選B. 23023232323類型類型3 3 二次函數(shù)圖象的平移二次函數(shù)圖象的平移【例3】2017麗水中考將函數(shù)yx2的圖象用下列方法平

7、移后，所得的圖象不經(jīng)過點(diǎn)A(1,4)的方法是()A向左平移1個(gè)單位 B向右平移3個(gè)單位C向上平移3個(gè)單位 D向下平移1個(gè)單位【思路分析思路分析】A平移后，得y(x1)2，圖象經(jīng)過A點(diǎn)，故A不符合題意；B.平移后，得y(x3)2，圖象經(jīng)過A點(diǎn)，故B不符合題意；C.平移后，得yx23，圖象經(jīng)過A點(diǎn)，故C不符合題意；D.平移后，得yx21，圖象不經(jīng)過A點(diǎn)，故D符合題意D技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 拋物線的平移就是將拋物線表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變(即a值不變)，平移頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)類型類型4 4 確定二次函數(shù)的解析式確定二次函數(shù)的解析式【例【例3 3】2017齊

8、齊哈爾中考如圖，已知拋物線yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，D是拋物線的頂點(diǎn)(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且SABP4SCOE，求P點(diǎn)坐標(biāo)注：二次函數(shù)yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ， ）. a2ba4bac42思路分析：思路分析：(1)將A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b，c的值，進(jìn)而可得到拋物線的解析式；(2)令x0，可得C點(diǎn)坐標(biāo)將函數(shù)解析式配方即得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)設(shè)P(x，y)(x0，y0)，根據(jù)題意列出方程即可求得y，即

9、得D點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)將點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)代入yx2bxc，拋物線的解析式為yx22x3.(2)令x0，則y3，C(0,3)yx22x3(x1)24，D(1,4)(3)設(shè)P(x，y)(x0，y0)，由題意，得OC3，AB4.y3.x22x33.解得x10(不合題意，舍去)，x22.P(2,3)技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 1.當(dāng)條件中a，b，c其中一個(gè)系數(shù)為已知時(shí)，一般選擇一般式求解；如果已知對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最值時(shí)，選擇頂點(diǎn)式；如果已知拋物線與x軸交點(diǎn)時(shí)，選擇交點(diǎn)式2求函數(shù)圖象構(gòu)成的幾何圖形面積，通常利用平行于坐標(biāo)軸的直線將幾何圖形分割成規(guī)則的三角形或者梯形求解六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)

10、 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)12012河北，12,3分如圖，拋物線y1a(x2)23與y2 (x3)21交于點(diǎn)A(1,3)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C.則以下結(jié)論：無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；a1；當(dāng)x0時(shí)，y2y14；2AB3AC.其中正確結(jié)論是()A B C D拋物線y2 (x3)21開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸的上方，無論x取何值，y2的值總是正數(shù)，故正確；把A(1,3)代入拋物線y1a(x2)23，得3a(12)23，解得a ，故錯(cuò)誤；由知a ，當(dāng)x0時(shí)，y1 (02)23 ，y2 (03)21 ，故y2y1 ，故錯(cuò)誤；拋物線y1 (x2)23與y2

11、 (x3)21交于點(diǎn)A(1,3)，y1的對(duì)稱軸為x2，y2的對(duì)稱軸為x3，B(5，3)，C(5,3)，AB6，AC4，2AB3AC，故正確21213232323121211635322122013河北，20,3如圖，一段拋物線yx(x3)(0 x3)，記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180得C3，交x軸于點(diǎn)A3；如此進(jìn)行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段拋物線C13上，則m .2一段拋物線yx(x3)(0 x3)，圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(3,0)將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A

12、2旋轉(zhuǎn)180得C3，交x軸于點(diǎn)A3；如此進(jìn)行下去，直至得C13，C13的解析式與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(36,0)，(39,0)，且圖象在x軸上方，C13的解析式為y13(x36)(x39)，當(dāng)x37時(shí)，y(3736)(3739)2，即m2.32015河北，25,11分如圖，已知點(diǎn)O(0,0)，A(5,0)，B(2,1)，拋物線l：y(xh)21(h為常數(shù))與y軸的交點(diǎn)為C.(1)l經(jīng)過點(diǎn)B，求它的解析式，并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yC，求yC的最大值，此時(shí)l上有兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1x20，比較y1與y2的大?。?3)當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且

13、這兩部分的比是14時(shí)，求h的值解：(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)(2,1)代入y(xh)21，得1(2h)21.解得h2.則該函數(shù)解析式為y(x2)21(或yx24x3)故拋物線l的對(duì)稱軸為直線x2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)(2)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，則yCh21.當(dāng)h0時(shí)，yC有最大值1，此時(shí)，拋物線l為yx21，對(duì)稱軸為y軸，開口方向向下，所以，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x1x20時(shí)，y1y2.(3)線段OA分為兩部分，且這兩部分的比是14，且O(0,0)或A(5,0)，把線段OA分為兩部分的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,0)或(4,0)把x1，y0代入y(xh)21，得0(1h)21，解得h10或h22.

14、但是當(dāng)h2時(shí)，線段OA被拋物線l分為三部分，不合題意，舍去同樣，把x4，y0代入y(xh)21，得h5或h3(舍去)綜上所述，h的值是0或5.42014河北，24,11分如圖，22網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，O九個(gè)格點(diǎn)拋物線l的解析式為y(1)nx2bxc(n為整數(shù))(1)n為奇數(shù)，且l經(jīng)過點(diǎn)H(0,1)和C(2,1)，求b，c的值，并直接寫出哪個(gè)格點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)；(2)n為偶數(shù)，且l經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和B(2,0)，通過計(jì)算說明點(diǎn)F(0,2)和H(0,1)是否在該拋物線上；(3)若l經(jīng)過這九個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)，直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù)解：(1

15、)n為奇數(shù)時(shí)，yx2bxc，l經(jīng)過點(diǎn)H(0,1)和C(2,1)，拋物線解析式為yx22x1，即y(x1)22.格點(diǎn)E(1,2)為該拋物線的頂點(diǎn)(2)n為偶數(shù)時(shí)，yx2bxc.l經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和B(2,0)，拋物線解析式為yx23x2.當(dāng)x0時(shí)，y21，點(diǎn)F(0,2)在該拋物線上，點(diǎn)H(0,1)不在該拋物線上(3)所有滿足條件的拋物線共有8條當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由(1)中的拋物線平移又得到3條拋物線，如圖1所示；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由(2)中的拋物線平移又得到3條拋物線，如圖2所示猜押預(yù)測(cè) 若二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，且關(guān)于x的方程ax2bxck有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則常數(shù)k的取值范圍是()A0k4B3k1Ck3或k1 Dk4答案：D