數(shù)學第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型

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1、12.3幾何概型第十二章概率、隨機變量及其分布基礎(chǔ)知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習1.幾何概型幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ( 或 )成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為 .2.在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率的計算公式的概率的計算公式P(A) .知識梳理長度 面積體積幾何概型3.要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有 .4.隨機模擬方法隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以

2、便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.無限多個等可能性(2)用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法.這個方法的基本步驟是用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；計算頻率fn(A) 作為所求概率的近似值.題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖

3、形.()(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P .()基礎(chǔ)自測123456題組二教材改編題組二教材改編2.P137思考在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為答案解析1245633.P140T1有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是 答案解析124563P(A)P(C)P(D)P(B).解析答案124563124563題組三易錯自糾題組三易錯自糾5.在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù)x，若x

4、滿足|x|m的概率為 ，則m_.解析答案124563解析解析由|x|m，得mxm.36.在RtABC中，A30，過直角頂點C作射線CM交線段AB于點M，則|AM|AC|的概率為_.解析答案解析解析設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|AC|”.在AB上取點C使|AC|AC|，因為ACC是等腰三角形，事件D發(fā)生的區(qū)域D907515，構(gòu)成事件總的區(qū)域90，124563題型分類深度剖析1.某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是 解析答案題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型自主演練自主演練解

5、析解析如圖所示，畫出時間軸.小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當他的到達時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型，解析解析因為在DAB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是DAB，當射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在CAB內(nèi)，則區(qū)域H為CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為解析答案DE3.在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_.解析解析方程x22px3p20有兩個負根，解析答案求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)

6、化為長度(角度)，然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).思維升華思維升華命題點命題點1與平面圖形面積有關(guān)的問題與平面圖形面積有關(guān)的問題典例典例 (2017全國)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是_.題型二與面積有關(guān)的幾何概型多維探究多維探究解析答案解析解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形4.命題點命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題解析答案解析解析如圖

7、，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，命題點命題點3與定積分交匯命題的問題與定積分交匯命題的問題典例典例 如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為_.解析答案3211(4)|3xx求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (1)(2016全國)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1

8、，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為 解析答案解析解析由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知解析答案解析答案(3)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_.題型三與體積有關(guān)的幾何概型師生共研師生共研解析答案解析解析當P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，由幾何概型知，(2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為

9、1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_.解析答案解析解析過點M作平面RS平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐MABCD的高，顯然點M在平面RS上任意位置時，四棱錐MABCD的體積都相等.若此時四棱錐MABCD的體積等于 ，求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017湖南長沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，

10、現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是 解析答案解析解析魚缸底面正方形的面積為224，圓錐底面圓的面積為.所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1 ，故選A.典例典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點M，則CAM30的概率是_.(2)在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于 的概率為幾何概型中的“測度”現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯糾錯心得現(xiàn)場糾錯錯解展示錯解展示：錯解展示：(1)C90，CAM30，所求概率為現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯解析解析(1)點M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，“測度”是長度.設(shè)直角邊長為a，(2)設(shè)任取兩點所表示

11、的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1.糾錯心得糾錯心得(1)在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應(yīng)的“測度”是面積.課時作業(yè)1.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ，則陰影部分的面積是 基礎(chǔ)保分練解析答案123456789101112131415162.設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為 解析答案12345678910111213141516解析解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，滿

12、足yx的部分為如圖陰影部分所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為解析答案12345678910111213141516解析解析以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，123456789101112131415164.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨機投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過10次這樣的試驗，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為39，由此可估計 的值約為 解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516由幾何概型的概率計算公式，得所求概率121log ()2x 121log ()2x 解析答

13、案123456789101112131415166.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 12345678910111213141516解析解析根據(jù)題意，可得曲線ysin x與ycos x圍成的區(qū)域的面積為4(sincos )dxxx 4(cossin )|xx解析答案解析解析設(shè)事件“在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD”為事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3.如圖，區(qū)間4

14、,5的長度為9，定義域D的長度為5，123456789101112131415168.如圖，在面積為S的矩形ABCD內(nèi)任取一點P，則PBC的面積小于 的概率為_.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_.解析答案123456789101112131415161AA BDV1AABDV解析答案1234567891011121314151610.正方形的四個頂點A(1，1)，B(1

15、，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機投入到正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_.11.在區(qū)間，內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，求函數(shù)f(x)x22axb22有零點的概率.12345678910111213141516解解由函數(shù)f(x)x22axb22有零點，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|a，b，其面積S(2)242.事件A表示函數(shù)f(x)有零點，所構(gòu)成的區(qū)域為M(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，解答12.

16、已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率；解答12345678910111213141516解解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1，得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個.故滿足ab1的概率為(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率.解答12345678910111213141516解解若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y

17、)|1x6,1y6.滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.畫出圖象如圖所示，矩形的面積為S矩形25，13.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 技能提升練解析答案12345678910111213141516解析解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.所以整體圖形中空白部分面積S22.所以陰影部分面積為S32.123456789101112131415161234567891011121314151

18、6解答12345678910111213141516要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，即2ba.12345678910111213141516拓展沖刺練答案解析12345678910111213141516A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p3p1p2 D.p3p2p11234567891011121314151616.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.12345678910111213141516解答解解設(shè)甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24，0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當且僅當甲比乙早到達1 h以上或乙比甲早到達2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213141516A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.12345678910111213141516