2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 基本不等式(含解析)

《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 基本不等式(含解析)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 基本不等式(含解析)（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練基本不等式（含解析） l、（xx?山東卷）設(shè)正實(shí)數(shù)X,y,z滿足X2—3xy+4y2—z=0,則當(dāng) xy z 212 取得最大值時(shí)，x+y—z的最 xyz 大值為 A．0 c?4 () B．1 D．3 解析(1)由X2—3xy+4y2—z=0,得z=X2—3xy+4y2, .xyxi1 ?°zX2—3xy+4y2x4y' +——3 yx x4y 又X,y,z為正實(shí)數(shù)，???I+-|三4, 上式有最大值1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z=2y2. 答案：B 2、 22 已知x+y=1

2、,(x>0,y>0),則x+y的最小值為xy A． B．2 C． D．8 解析:Vx>0,y>0,.x+y=(x+y)?(|+勺= 4+2G+X>4+4\f?X=& xy 當(dāng)且僅當(dāng)y=X，即x=y=4時(shí)取等號(hào). yx 答案：D 3、⑴若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 24 28 C．5D．6 （2）若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是 A.4 5 B?3 yx D?4 C．2 13 解析⑴由x+3y=5xy可得喬+辰=1,.??3計(jì)4丫=（3汁4巧（盒+診=|+|+養(yǎng)+栄弟+詐5（當(dāng)且僅當(dāng)詈，即x=

3、1,y=2時(shí)等號(hào)成立）， ???3x+4y的最小值是5. ⑵由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy三2X（2x）X（3y）+3xy（當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立）,.：12xy+3xyW30，即xyW2,?：xy的最大值為2. 答案（1）C（2）C 33 4、設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù)，且2+x+2+y=1，則旳的最小值為 A. 4B.4爲(wèi) C．9D．16 OO 解析由2^x+2+y=1可化為xy=8+x+y,Vx,y均為正實(shí)數(shù)，?：xy=8+x+y28+2jxy（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立），即xy—^.'xy—8^0,解得\：'石三4,即xy±16，故xy的最小值為16.答案D

4、 5. （xx?泰安一模）若a,bGR，且ab>0,貝V下列不等式中，恒成立的是（）. 112 A.a+b三2\/abB.—+r>-;= vab&b ba C.—+匚22D.a2+b2>2ab ab 解析因?yàn)閍b>0,即a>0,b>0,所以￡+￥上2\：￥*=2. 答案C 6、設(shè)a>0,b>0.若a+b=l,貝吋+*的最小值是（）? 1 A.2B.4C.4D.8 —L「卄宀11a+ba+bba/ba,,ba卄，1「丹一 解析由題意a+b==+〒=2+a+b22+^'axb=4,當(dāng)且僅當(dāng)盯b，即a=b=2時(shí)，取等號(hào),所以最小值為4. 答案C 7. 已知a>0,b>

5、0,a,b的等比中項(xiàng)是1,且m=b+丄，n=a+￡,則m+n的最小值是(). ab A.3B.4C.5D.6 解析由題意知：ab=1,.：m=b+丄=2b,n=a+=2a,ab .?.m+n=2(a+b)三4\；ab=4. 答案B 9 8. 已知函數(shù)y=x—4+x+1(x>—1)，當(dāng)x=a時(shí)，y取得最小值b,則a+b=(). A.－3B.2C.3D.8 999 解析y=x—4+x+1=x+i+x+1—5，由x>—1,得x+i>o,x+i>0,所以由基本不等式得y 99 =x+1+x+1—5^2x+]心+1一5=1，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=x+1，即(x+1)2=9,所以x+1

6、 =3,即x=2時(shí)取等號(hào),所以a=2,b=1,a+b=3. 答案C 9. 若正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=2,則(1+2a)?(l+b)的最小值為. 解析(1+2a)(1+b)=5+2a+b^5+^''2ab=9.當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=1,b=2時(shí)取等號(hào). 答案9 xy 10. 已知x,yGR+，且滿足3+4=1，則xy的最大值為. xy/xyxy3 解析Vx>0,y>0且1=3+422\；j2，???xyW3.當(dāng)且僅當(dāng)3=4,即當(dāng)x=°,y=2時(shí)取等號(hào). 答案3 11. 函數(shù)y=a—(a>0,aM1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny—1=0(mn>0)上,貝比+牛的

7、最小值為 解析?.?y=a1—恒過點(diǎn)A(1,1),又TA在直線上， 11m+nm+nnm111 ?.m+n=1.wm+n^^T+_^=2+m+n三2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=§時(shí)，取“=”，?m+n的 最小值為4. 答案4 12. 已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求u=lgx+lgy的最大值； 解：Tx〉。，y>0, .??由基本不等式，得2x+5y22\/1而. T2x+5y=20, ???2叮10XyW2O,xyWIO，當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí)，等號(hào)成立. 因此 2x+5y=20, 2x=5y, ，x=5, 解得L=2, 此時(shí)xy有最大值10. .

8、?.u=lgx+lgy=lg(xy)Wlg10=1. 21 13?已知x>0,y〉0,且-+-=1,若x+2y>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()? xy A. (—8,—2]U[4,+^) B. (—8,—4]U[2,+^) C. (—2,4) D. (－4,2) 21 解析Vx>0,y>0且x+y=1, /、(21、4yx .?.x+2y=(x+2y)|-+-1=4+—+-\xyjxy 三4+24-?-=8，當(dāng)且僅當(dāng)翌=-, xyxy 即x=4,y=2時(shí)取等號(hào)， .(x+2y)=8,要使x+2y〉m2+2m恒成立， min 只需(x+2y)>m2+

9、2m恒成立， min 即8>m2+2m，解得一4〈m〈2. 答案D 14.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9，則x+3y的最小值為? (x+3y、 解析由已知，得xy=9—(x+3y),即3xy=27—3(x+3y)W(~2~J2，令x+3y=t,則t2+121—10820,解得t三6,即x+3y±6. 答案6 15?設(shè)x,yGR+，且x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是（）? A.40B.10C.4D.2 解析Vx,yGR+，.?.40=x+4y三2\S-=4寸X-，當(dāng)x=4y=20時(shí)取等號(hào)，/.xy<100,lgx+lgy=lgxyWlg100=2. 答案D

10、 16?某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為10萬元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)為第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,而且以后以每年2千元的增量逐年遞增,則這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的年平均費(fèi)用最少）（）? A.8B.9C.10D.11解析設(shè)使用X年的年平均費(fèi)用為y萬元. 0.2x2+0.2x 10+0.9x+2io 由已知，得y=x，即y=i+~x+jo(xwn*). 10x10x 由基本不等式知y^1+^,'—?^=3,當(dāng)且僅當(dāng)即x=10時(shí)取等號(hào)?因此使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬元. 答案C "3x—y—6W0, 若目標(biāo)

11、函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12, 17. 設(shè)x,y滿足約束條件x—y+220, 、x±0,y三0. 23 則a+b的最小值為()- D.4 25811 A.B~C.v 633解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分.當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x—y+2=0與直線3x—y—6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a +6b=12，即2a+3b=6. 所以a+b=〔a+b)? 2a+3b 6 13 (ba\ +〔a+bj 13256 三石+2=6(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)等號(hào)成立)

12、. 答案A 18. 已知向量a=(x—1,2),b=(4,y),若a丄b,則9x+3y的最小值為. 解析由a丄b得a?b=4(x—1)+2y=0,即2x+y=2.所以9x+3y三2"\/9x?3y=2"j32x+y=6. 答案6 2x 19?已知f(x)=x^? (1) 若f(x)>k的解集為｛x|x〈一3或X>—2｝，求k的值； (2) 若對(duì)任意x>0,f(x)Wt恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍. 解(1)f(x)>kkx2—2x+6k〈0, 由已知其解集為｛x|x<—3或x>—2｝, 得x1=—3,x2=—2是方程kx2—2x+6k=0的兩根, 22所以一2—3=匸，即k=

13、—5. ⑵Vx>0, f(x)= 2x X2+6 旦少 66x+x 由已知他)?對(duì)任意x〉o恒成立’故實(shí)數(shù)七的取值范圍是|_￥，+T 考點(diǎn)：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 1. 如圖，書的一頁的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2cm的邊，下、左、 右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁書的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為 解析設(shè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm，則ab=600,則中間文字部分的面積S=(a-2 —1)(b—2)=606—(2a+3b)W606—2、』6X600=486,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b，即a= 30，b=20時(shí)，S=486. max 答案30cm、20cm

14、 2. 某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè) 結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x(xGN*)名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為10(a—贏丿萬 元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.2x%. (1) 若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？ (2) 在(1)的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，貝臨的取值范圍是多少？ 解(1)由題意得:10(1000—x)(1+0.2x%)三10X1000， 即X2—500XW0,

15、又x>0，所以0〈xW500. 即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè). (2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為1o[a—5￡|x萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn) (3x\3x2 為10(1000—x)(1+0.2x%)萬元，則10(a—500jxW10(1000—x)(1+0.2x%),所以ax—^<1 000＋2x—x— 500 X2, 2x22x1000 所以ax<^+1000+x，即亦而+丁+1恒成立' 因?yàn)? 2 500x+ 當(dāng)且僅當(dāng)翥=詈，即x=500時(shí)等號(hào)成立? 所以aW5,又a〉0,所以0〈aW5，即a的取值范圍為(0,5]

16、. 3. (xx?北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均 x 倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為8天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng) 儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 (). A.60件B.80件C.100件D.120件 解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是8：0,存儲(chǔ)費(fèi)用是1，總的費(fèi)用是8：0+ 8_2 x?8=20，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)取等號(hào)，即x=80. 答案 B 4、已知直線l過點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求AABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程. 審題路線根

17、據(jù)截距式設(shè)所求直線l的方程n把點(diǎn)P代入，找出截距的關(guān)系式n運(yùn)用基本不等式求運(yùn)用取等號(hào)的條件求出截距n得出直線l的方程. △ABO xy 解設(shè)A(a,0)，B(0,b)，(a>0,b>0)，則直線l的方程為^+b=1， 32 ???l過點(diǎn)P(3,2),?：a+b=1? 326 ???1=a+b$2ab，即卩ab224. 132 ?:SAABo=2ab$12?當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=6，b=4? △ABO的面積最小，最小值為12. xy 此時(shí)直線l的方程為：6+4=1? 即2x＋3y－12=0. 5、小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電

18、子產(chǎn)品需投入 年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，W(x)=|x2+x(萬元).在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，w(x)=6x+孕一38(萬元).每件產(chǎn)品售價(jià)為5元.通3x 過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完. (1) 寫出年利潤(rùn)L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷售收入一固定成本一流動(dòng)成本) (2) 年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0

19、—3x2+4x—3； 當(dāng)x±8時(shí) L(x)=5x 6x＋ 100—38x .所以 3=35 L(x)= —~x2+4x—3,0VxV8, 3 (,100) 135-(x+-7-J 8. (2)當(dāng)0VxV8時(shí)，L(x)=—3(x—6)2+9. 此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)=9萬元, 當(dāng)x±8時(shí)，L(x)=35—Ix+ 100 =35—20=15, x 此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x= 100 x 時(shí), 即x=10時(shí)，L(x)取得最大值15萬元. *?*9<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利

20、潤(rùn)最大.最大利潤(rùn)為15萬元. 6、為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在xx年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即k 該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t三0)萬元滿足x=4—骯+jk為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分). (1) 將該廠家xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)； (2) 該廠家xx年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？ k3 解(1)由題意有1=4

21、—1，得k=3，故x=4—2七+]? Ay=1.5X6+12xXx—(6+12x)—t x /3\18 =3+6x—t=3+6(4—2t+1J—t=27—?±+]—t(t三0). t+2 91當(dāng)且僅當(dāng)十=t+2t+2 即t=2.5時(shí)等號(hào)成立, 故y=27— 18 2t+l —t=27.5— t+i W27.5—6=21.5. 當(dāng)且僅當(dāng), 91 可+2時(shí)' 等號(hào)成立，即t=2.5時(shí)，y有最大值21.5?所以xx年的年促銷費(fèi)用投入 2.5萬元時(shí),該廠家利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為21.5萬元． 7．小王于年初用50萬元購(gòu)買一輛大貨車，第一年因繳納各

22、種費(fèi)用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元．小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價(jià)格為(25—x)萬元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年)． (1) 大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？ (2) 在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=累計(jì)收入＋銷售收入—總支出) 解(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬元， 則y=25x—[6x+x(x—1)]—50(0VxW10,xWN)， 即y=—X2+20x—50(0VxW

23、10,xGN)， 由一X2+20x—50>0,解得10—^,'2