第二節(jié) 排列與組合復(fù)習(xí)講義

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1、第二節(jié) 排列與組合 - 備考方向明確 ■ 方向比努力更重要 復(fù)習(xí)目標(biāo) 學(xué)法指導(dǎo) 1. 了解排列、組合的概 念. 2. 了解排列數(shù)公式、組 合數(shù)公式. 3. 會用排列數(shù)公式、組 合數(shù)公式解決一些簡單 的實際問題. 弄清所取元素是否考慮順序，熟記排列數(shù)、 組合數(shù)公式是基礎(chǔ),掌握有限制條件的排 列、組合問題的常用方法是關(guān)鍵. _ 矢口識鏈條完善、 把散落的知識連起來 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 I I ” I I , I 排列與組合 排列與排列數(shù) 組合與組合數(shù) 定 義 排列:從n個不同元素中取 出m(mWn)個元素，按照一 定的順序排成一列，叫做從 n個不同兀素中取出

2、m個兀 素的一個排列. 排列數(shù):從n個不同元素中 取出m(mWn)個元素的所有 不同排列的個數(shù)叫做從n個 組合:從n個不同元素中取出m(mW n)個元素合成一組,叫做從n個不 同元素中取出m個元素的一個組 合. 組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m Wn)個元素的所有不同組合的個 數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個 元素的組合數(shù) 不同元素中取出m個元素的 排列數(shù) 公 排列數(shù)公式 人二n(n—1)(n—2)…(n—m+1) A m 組合數(shù)公式 式 n =n\ (n - m)\ =Am = n (n — l)(n — 2) (n — m +1) = n\ C

3、m n / \ n Am m\… m\(n - m )\ m 性 質(zhì) 二nX (n—1) X (n—2) X … A^n n X3X2X1二n!; 0!=1 =1； Co丄， n Cm Cn - m ' n n =+ Cm Cm C m-1 n+1 n n 備 注 n,m WN*且 mWn 妬展空回 1. 概念(公式)理解 (1) 組合與排列問題都是從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的計 數(shù)問題,它們的差別是:排列考慮元素順序,組合不考慮元素順序. (2) A二n(n-1)(n-2)???(n-m+1)的右邊第一個因數(shù)為n,后面每個因數(shù) Am

4、 n 都比前面因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是n-m+1,共m個因數(shù)相乘. (3) 公式C = Am體現(xiàn)了組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系. n A m m (4) 當(dāng) m,n 較大或?qū)凶帜傅呐帕袛?shù)或組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證 明時，常用公式A”二嚴(yán)+或6二寧匕- n (n - m)\ n m\\n — m 丿！ (5) 當(dāng)m> n時,常利用組合數(shù)的性質(zhì)將計算Cm轉(zhuǎn)化為計算Cn—m. 2 n n 2. 與排列(數(shù))組合(數(shù))有關(guān)的結(jié)論 Cx=Cy nn ⑴若 Cx = Cy,貝U x=y 或 x+y二n. (2) =n = ? Am Am—1， Am Cm Am * n n—1

5、 n n m (3) + + + … + = . Cm C m Cm Cm C m+1 m m+1 m+2 n n+1 (4) (n+l)! = (n+l) ? n!,(n+l)!-n!二n ? n!. (5)kCk=nCk—1 n n —1 溫故知新 l l ” I I " 1.若 A3 =10 A3 ,貝 n 等于( B ) 2n n (A)1 (B)8 (C)9 (D)10 解析：A3 =10 A3， 2n n 所以 2n(2n-1)(2n-2)=10n(nT)(n-2), 所以 n=8. 2?若C3 = C4，則n!的值為(C ) n n 3!(n - 3)

6、! (A)1 (B)20 (C)35 (D)7 解析：由C3 = C4,得n=7, nn 可求出 n! = 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 =35. 引(n — 3)! 引4! 3 x 2 x 1 3. 有5張卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5. (1) 從中任取4張,共有 種不同取法； (2) 從中任取4張，排成一個四位數(shù),共組成 個不同的四位 數(shù). 答案：(1)5 (2)120 4. 大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓，其中2人 恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有 種.(用數(shù)字作 答) 解析:先從3人中選擇2人看成

7、一個整體，有C2 =3(種)方法，再將這個 3 整體和另1個人安排坐四部電梯，有A2=12(種)方法，則不同的乘坐方 4 式有 3 X 12=36(種). 答案:36 - 高頻考點突破 ' 在訓(xùn)練中掌握方法 考點一排列的應(yīng)用問題 【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方 法總數(shù). (1) 選5人排成一排; (2) 排成前后兩排，前排3人，后排4人; (3) 全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾; (4) 全體排成一排，女生必須站在一起; (5) 全體排成一排， 男生互不相鄰. 解:(1)從7人中選5人排列， 有 A5 =7X6X5X4X3=2 5

8、20(種). 7 (2) 法一 分兩步完成， 先選 3 人站前排， 有A3種方法，余下4人站后排，有A4種方法， 74 共有 A3 ? A4 =5 040(種). 74 法二 （分排問題直排法）前排 3人,后排4 人,可視為7 人排成一排, 其中前3人為前排，后4人為后排,排法有A7=5 040（種）. 7 （3） 法一（特殊元素優(yōu)先法）先排甲，有5種方法，其余6人有A種排 6 列方法，共有5X A6 =3 600（種）. 6 法二（特殊位置優(yōu)先法）首尾位置可安排另6人中的兩人，有人2種排 6 法,其他有A5種排法， 5 共有 A2A5 =3 600（種）. 6

9、5 （4） （捆綁法）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有&種方 4 法，再將女生全排列，有A4種方法，共有A4 ? A4 =576 （種）. 4 4 4 （5） （插空法）先排女生，有A4種方法，再在女生之間及首尾5個空位中 4 任選3個空位安排男生，有A?種方法， 5 共有 A4 ? A=1 440（種）. 45 反思?xì)w納求解排列應(yīng)川問題的主要方法 直接 法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先 法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁 法 把相鄰兀素看作個整體與其他兀素起排列，冋時注意捆 綁元素的內(nèi)部排列 插空 法 對不相鄰問題，先考慮不

10、受限制的元素的排列,再將不相鄰的 元素插在前面元素排列的空檔中 定序 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元 問題 除法 處理 素的全排列 間接 法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 直接 法 分排問題按單排處理 di移訓(xùn)練 1. 四位男演員與五位女演員(包含女演員甲)排成一排拍照,其中四位 男演員互不相鄰,且女演員甲不站兩端的排法數(shù)為( A ) (B) A5 A4 - A4 A4 5 6 4 5 (D) (A) -2 A5 A4 A4 A4 5 6 4 5 (C)A5A4-2A4 A4 (D)A5 A4 -A4 A4 5 5 4 4

11、5 5 4 4 A5 A4 56 站在兩端的方法有2 A4 A4，因此所求排法數(shù)為A5A4-2 A4 A4 .故選A. 4 5 5 6 4 5 2.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須 解析：四位男演員互不相鄰可用插入法，有A5 A4種排法，其中女演員甲 排在前兩位， 節(jié)目乙不能排在第一位， 節(jié)目丙必須排在最后一位. 該臺 晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( B ) (A)36 種 (B)42 種 (C)48 種 (D)54 種 解析：分兩類，第一類：甲排在第一位時，丙排在最后一位，中間4個節(jié) 目無限制條件，有A4種排法;第二類：甲排在第二位時,從甲、乙、丙

12、之 4 外的3個節(jié)目中選1個節(jié)目排在第一位有C1種排法，其他3個節(jié)目有A3 33 種排法，故有Ci A3種排法.依分類加法計數(shù)原理，共有A4 + Ci A3 =42種編 3 3 4 3 3 排方案. 考點二組合的應(yīng)用問題 【例2】 有5名男生和3名女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的 課代表， 分別求符合下列條件的選法數(shù): (1) 有女生但人數(shù)少于男生; (2) 某女生一定要擔(dān)任語文課代表; (3) 某男生必須包括在內(nèi)， 但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表; (4) 某女生一定要擔(dān)任語文課代表， 某男生必須擔(dān)任課代表， 但不擔(dān)任 數(shù)學(xué)課代表. 解：(1)先選后排.符合條件的課代表人

13、員的選法有G C2 + C4 Ci )種,排 5 5 5 3 列方法有A5種，所以滿足題意的選法有(eg + C4Ci)? A5 =5 400(種). 5 5 5 5 3 5 (2) 除去該女生后，即相當(dāng)于挑選剩余的7名學(xué)生擔(dān)任四科的課代表， 有A4 =840(種)選法. 7 ⑶先選后排.從剩余的7名學(xué)生中選出4名有C4種選法，排列方法有 7 Ci A4種，所以選法共有C4 Ci A4 =3 360(種). 4 4 7 4 4 (4)先從除去該男生和該女生的6人中選出3人，有C3種選法，該男生 6 的安排方法有°種,其余3人全排列，有A3種，因此滿足題意的選法共 3

14、3 有 C3 Ci A3=360 (種). 6 3 3 反思?xì)w納組合問題常見以下兒個題型 (1) “含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些 元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩 下的元素中去選取. (2) “至少”或“至多”含有幾個元素的題型:解這類題必須十分重視 “至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解,用直接法 和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,考慮逆向思維,用間 接法處理. (3) 名額分配問題:將 n 個名額分給 m 個單位,每個單位至少有一個名 額可以看作將n個相同的小球放入m個盒子里,每個盒子里至少有一

15、 個小球，其放法為將n個小球串成一串?從(n-1)個間隙里選(m-1)個 插入隔板，有種放法，即名額分配問題隔板法. n-1 1.(2018 ?浙江杭州二中模擬)浙江省高考制度改革以來，學(xué)生可以從 7 門選考科目(物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治、技術(shù))中任意 選取3門作為自己的選考科目.目前報考C學(xué)校的A專業(yè)需要選考物 理、技術(shù)、化學(xué)， 報考 C 學(xué)校的 B 專業(yè)需要選考技術(shù)、政治、歷史， 同時報考A,B專業(yè)只要考生的選考科目中有一門滿足條件即可報考. 甲同學(xué)想報考C學(xué)校的A和B專業(yè)，則甲同學(xué)選擇選考科目的方法共 有( C ) (A)15 種(B)19 種(C)27 種(D)31

16、 種 解析:由已知可得，甲同學(xué)如果選了技術(shù)，那么他只要從剩下的6門科 目中任意選2門即可，此時有C2=15(種)選法?若甲同學(xué)不選技術(shù)，那 6 么他可以先從物理、化學(xué)中選擇1門,再從政治、歷史中選擇1 門, 最后從剩下的2門中選擇1門,此時有C1 C1 C1 =8（種）選法;或者同時選 222 擇物理和化學(xué),再從政治和歷史中選1門,此時有2種選法;或者同時 選擇政治和歷史,再從物理和化學(xué)中選1門,也有2種選法.故甲同學(xué) 選擇選考科目的方法共有15+8+2+2=27（種），故選C. 2. 有 4 位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”“立定跳遠(yuǎn)” “肺活量”“握力”“臺階”五個

17、項目的測試,每位同學(xué)上、下午各 測試一個項目,且不重復(fù).若上午不測“握力”項目,下午不測“臺階” 項目，其余項目上、下午都各測試1人則不同的安排方式有 種.（用數(shù)字作答） 解析：（分類討論思想）上午測試安排有A4種方式，下午測試分為：（1） 4 若上午測試“臺階”的同學(xué)下午測試“握力”，其余三位同學(xué)有2種 安排方式;（2）若上午測試“臺階”的同學(xué)下午不測試“握力”，則該 同學(xué)有Ci種安排方式，其余三位同學(xué)選1人測試“握力”，有Ci種安排 33 方式,其余兩人只有1種安排方式,則共有Ci ? Ci =9（種），因此安排方 33 式共有 A4 （2+9）=264（種）. 4

18、答案：264 考點三分組、分配問題 【例3】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式? （1） 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本; （2） 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; （3） 平均分成三份，每份2本; (4) 平均分配給甲、乙、丙三人,每人 2本; (5) 分成三份,1 份 4 本,另外兩份每份1 本; (6) 甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外兩人每人得1 本; (7) 甲得1 本,乙得1 本,丙得 4 本. 解:(1)無序不均勻分組問題. 先選1本，有C1種選法； 6 再從余下的5本中選2本，有C2種選法； 5

19、最后余下 3 本全選， 有 C3 種選法. 3 故共有C1 C2 C3 =60(種). 653 (2) 有序不均勻分組問題. 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有 Ci C2 C3 A3 =360 (種). 6 5 3 3 (3) 無序均勻分組問題. 分配方式有 C2C2C2 =15(種). 6 4 2 A3 3 (4) 有序均勻分組問題. 在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個人， 共有分配方式C6C4C2 ? A3 = C2 C2 C2 =90(種). A3 3 6 4 2 3 (5) 無序部分均勻分組問題.共有當(dāng)=15(種). A2 2

20、 (6) 有序部分均勻分組問題. 在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個人， 共有分配方式qgc： ? A3 =90(種). A2 3 2 (7) 直接分配問題. 甲選1本，有C1種方法;乙從余下的5本中選1本，有C1種方法，余下4 65 本留給丙，有C4種方法，故共有分配方式° Ci C4 =30（種）. 4 6 5 4 反思?xì)w納（1）均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問 題的常見題型.解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是 不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮 到是否與順序有關(guān);有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階 乘數(shù). （2）

21、 分配問題:先將元素分組， 再將各組排列， 或者逐一分配. 1 .將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，則不 同的分配方案有（ D ） （A）30 種（B）60 種（C）90 種（D）150 種 解析:5名教師分成3組有2，2，1;3，1，1兩種情況， 第一種情況的分法有C5 C3 =15（種）， A2 2 第二種情況的分法有C3 =10（種）， 5 所以5名教師分成3組的分法有15+10=25（種）， 3個組分配到3個班的分法有A3 =6（種）， 3 由分步乘法計數(shù)原理知不同的分配方案有 25X6=150（種）.故選 D. 2.某公司有五個不同部門，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來該公司實習(xí)，要求 安排到該公司的兩個部門，且每個部門安排兩人，則不同的安排方案 種數(shù)為（ A ） (A)60 (B)40 (C)120 (D)240 解析：由題意得，先將4名大學(xué)生平均分為兩組，共有畢=3(種)不同 A 2 的分法，再將兩組安排在其中的兩個部門，共有3X人2 =60(種)不同的 5 安排方法.故選 A.